### x - Yogha Roxana

```MODUL V :
INTEGRAL TAK TENTU DAN
INTEGRAL TENTU
1
INTEGRAL TAK TENTU
Fungsi
Proses turunan
Diferensial
-------------------------------------------------------------------------------------------------------dy
dF ( x )
y=F(x)
dy=F′(x)dx=f(x)dx

 F ( x )  f ( x )
dx
y=x4+10
dy
dx
dy
dx

d
dx
(x
4
 10 )  4 x
3
dy=d(x4) = 4x3 dx
d

(sin 2 x )  2 cos 2 x
y = sin 2x
dy = d(sin2x) = 2cos2x dx
dx
dx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Diferensial
Proses anti turunan
Fungsi anti turunan
-------------------------------------------------------------------------------------------------------dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx
y=F(x) + C
 F ( x )dx
d(x4) = 4x3 dx

d(sin2x) = 2cos2x dx
 2 cos
3
 f ( x )dx

4 x dx 

4
d( x )
2 xdx 
y=x4+c
 d (sin 2 x )
y = sin 2x + c
--------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Rumus Umum Dasar Integral Tak Tentu
(1).


f ( x ) dx  F ( x )  c
( 2 ). D x

f ( x ) dx  f ( x )

 dF(x)  F(x)  c
( 4 ). kf(x)dx  k f(x)dx



[ f ( x )  g ( x )] dx 

x
n 1
1
n
a ( n  1)
1

(11 ). sin axdx  
f ( x ) dx 

g ( x ) dx

n1
1
n
n 1
( 7 ) ( x  a ) dx 
(x  a)
c

n1
1
n
n 1
( 8 ) ( a  x ) dx  
(a  x )
c

n1
n
( 6 ) x dx 
( ax  b )
n 1
( b  ax )
c
n 1
c
Rumus integral trigonometri
Rumus integral
Jika n bilangan rasional, n-1
1
a ( n  1)
(10 ) ( b  ax ) dx 
(3).
( 5 ).
1
n
( 9 ) ( ax  b ) dx 
c

(12 ). cos axdx 

(13 ). sec
2
ax 
a
1
a
1
a
cos ax  c
sin ax  c
tan ax  c

(14 ). sec ax tan axdx 

(15 ). csc

2
axdx  
1
a
1
a
sec ax  c
cot ax  c
(16 ). csc ax cot axdx  
1
a
csc ax  c
3
Rumus aturan rantai
Jika u=g(x) dan du=g′(x) dx, dan n-1, maka


n

( 2 ). f [ g ( x )] g ( x ) dx 
1
n
(1). [ g ( x )] g ( x ) dx  u du 
n1
u
n 1
c 
5 ).

5
3
4
3
 1) dx , u  x
1

2
1/ 3
2 ). x 3 x  1 dx , u  ( x  1)

3 ). x
4 ).
34
x
x
 4 1 x
2
n1
[ g ( x )]
n 1
c
 f (u )du  F (u )  c  F [ g( x )]  c
Soal-soal
1). x ( x
1
 1 dx , u  ( x
dx , u  (1  x )
2
6 ).
1/ 4
 1)
7 ).
1/ 4
8 ).
x
3
 5 1 x2
bx
2 1/ 5
dx , u  (1  x )
7
 a ( x 4  b )( a  1)
bx
5
 3 ( x 2  a )4

bx
(x
2
dx , u  ( x
 b)
dx , u  ( x
2
 a)
dx , u  ( x
2
 a)
5
 a)
4
1/ a
1/ 3
1/ 2
3
4
Integral Tertentu Luas Daerah R
Andaikan R daerah diatas sumbu x, dibatasi oleh y=f(x), axb
y
Partisilah interval tertutup [a,b] menjadi n
bagian, dengan panjang partisi, xi=xi+1-xi.
Luas empat persegi panjang ke-i adalah :
y=f(x)
A i  f ( x i ) x i
R
f(xi )
x
a=x1
xi xi+1
Misalkan Sn adalah jumlahan n luas empat
persegi panjangnya, maka :
b=xn
n
Sn 
 f ( x i ) x i
Jumlah Reimann
i1
xi=xi+1-xi
A i  f ( x i ) x i
Jika n membesar, maka xi0, maka :
n
f ( x i ) x i

n 
A ( R )  lim
i1
5
Contoh
Hitunglah luas daerah R berikut ini
xi  2  i
Ambil, x i  x i
6
n
Dengan demikian,
y
f(xi) = xi+2 =
4i
n
Sn 



i1
x
a=2
b=8
xi 
82
n

6
n n
f ( x i ) x i 
i1
n
y=x+2
6
 24
36


2
 n
n

i1
66

4  i 
nn

 24
i  
n

n
n
 1  n2  i
36
i1
i1
2
 36   n  n 
 24 
 


 n  
2
 n 
 n   2 
18
 42 
n
18 

lim
42


  42
A(R) =
n 
n 
n
6
Jumlah Reimann
INTEGRAL TERTENTU
Andaikan f fungsi yang terdefinisikan
[a,b] menjadi n partisi, xi = xi+1 –xi,
titik pada [xi,xi+1]. Bentuk jumlahan :
Andaikan f fungsi yang terdefinisikan
pada interval tertutup [a,b]. Fungsi f
[a,b], jika
f ( x i ) x i

|P | 0
lim
n
Rp 
n
 f ( x i ) x i
i1
i1
Jumlahan Rp diatas disebut jumlah
Reimann. Ilustrasi sebagai berikut
y
Y=f(x)
ada. Integral tertentu f dari a sampai
b dinyatakan oleh,
b
a f ( x )dx
b
x=b
x=a
x
n
f ( x i ) x i

a f ( x )dx  |Plim
| 0
i1
1) f(x) disebut integran
2) a batas bawah dan b batas atas
7
Teknik Menghitung Integral Tentu
(1) Tentukan daerah definisi f
(2) Buat partisi P pada [a,b]
xi 
ba
n
(3) Carilah rumus xi dan f(xi)
(4) Hitung jumlah Reimann :
n
Rp 
Contoh 2 :
2
Hitunglah :  ( x 3  x 2  2 x ) dx
1
Jawab
Sketsa grafik fungsi yang dimaksud
y
n
 f ( x i ) x i   f ( x i ) x i
i1
f(x) = x3-x2-6x
i1
(5) Hitung integral tentunya yakni :
n
b
f ( x i ) x i

 a f ( x )dx  |Plim
| 0
i1
x
a=-1
b=2
n
f ( x i ) x i

n 
 lim
i1
8
Menghitung integral tentu dengan definisi
 Daerah definisi f(x)
 Menghitung jumlah Reimann
[a,b] = [-1,2]
 Panjang partisi P
xi 
2  (  1)
n

n
Rp 
3
i1
n
 Menghitung rumua xi dan f(xi)
3
x i   1  i  x i   1  i 
n
6
9 2
2
x  1 i 
i
i
2
n
n
x
9
27 2 27 3
3
 1  i 
i 
i
i
2
3
n
n
f(xi) 
9
n
i

n
36 2 27 3
i 
i
2
3
n
n

9
36 2 27 3  3
 i 
i 
i 
2
3
n
n
n
n

27 
1
3
1

1


18
2





2 
n
n n2

 81 
2
1
 
 1  
4 
n n2

 Menghitung integral tertentu
2
1
3
(x  x
2
27 
1
1



2
n


n 
 2 x ) dx  lim

3
1
 lim  18  2  
n n2
n 


27
2
 
 81 
2
1
 
 1  
4
n n2


 36 
81
4
9
4
9






TEOREMA DASAR KALKULUS
Rumus 1. Andaikan f kontinu pada
interval tertutup [a,b] dan andaikan F
sembarang anti turunan dari f di
[a,b]. Maka,
b
a
Rumus 3. Substitusi Integral Tentu
Andaikan g mempunyai turunan
kontinu pada [a,b], dan andaikan f
kontinu pada daerah nilai g, dan F
anti turunan fungsi f pada [a,b], maka
b
f ( x ) dx  [F ( x )] a  F ( b )  F ( a )
Rumus 2. Misalkan fungsi f kontinu
misalkan x sembarang titik dalam
[a,b]. Jika F fungsi yang didefinisikan
oleh,
F( x ) 
x
g (b )
a [ f ( g ( x ))] g ( x )dx  g ( a ) f ( u )du
 [ F ( u )]
a
f ( t ) dt
g (b )
 F [ g ( a )]  F [ g ( b )]
g (a )
Kasus khusus, jika n-1, maka :
x
maka :
d
b
b
n
n
 xn 
b a
n
x dx  
 
n1
a
 n  1 a

b
f ( t ) dt  f ( x )

dx a
10
Contoh :
2
 1 ( x
3
 x
2
2
1 4 1 3

2
 2 x ) dx 
x  x  x c
4

3

 1
3
4
3
 (2 ) 4



(2 )
(

1
)
(

1
)
2
2
 

 (2 )  c   

 (  1)  c 
3
3
 4
  4

8
9
 16
 1 1

 
  4      1  
3
4
 4
 4 3

4
1
x ( x  1 )dx 
4
1
(x
3/2
 x
1/2
4
2 5 / 2 2 3 / 2 
)dx   x
 x

3
5
1
 2( 4 )5 / 2 2( 4 )3 / 2
 


5
3


64
5

16
3

2
5

2
3

  2 (1 ) 5 / 2 2 (1 ) 3 / 2


 
5
3
 




116
15
11
CONTOH

3
2
3
x
2
(x
Substitusi
4
 1 ) dx
:
(1) u  x
2
 1, x
(2) Perubahan
2
 u  1 , 2 xdx
 du
batas
x 
2,u  (
2)
x 
3 ,u  (
3)
2
2
-1  1
-1  2
3


2
2
1
x
3
(x
2
(u  1 )( u
6
1 u
u 5



2 
5
 6
4
 1 ) dx
4


3
2
x
2
(x
2
 1)
4
x dx
1 2
1

5
4
)
du  
(
u

u
)du

1
2
 2

2

1  64
32
1
1 







2  6
5
6
5

1
12
Soal-soal Latihan
4
(1)
2
x
x    dx
x
2
1
3
(2)
0
2
(3 )
1
(4)
x
0
0
x
(5 )
0
2
(6)
0
5
dx , u  ( x
3
x
33
x
3
1/ 2
(8 )
 1)
x
2
a
1/ 2
2
x
(10 )
 1)
dx , u  ( 4 x  1)
0
(11 )
(12)
 1
x

dx , u  ( 7 x  1)
x ( 3 x  1)
2
1/ 3
1/ 2
2
0 3 7 x  1
1
2
4x  1
0

 dx


x 4 3 x  1 dx , u  ( 3 x  1)
1
(9 )
dx , u  x  1
 1 dx , u  ( x
1
5
1
x ( x  1)
3
(7 )
x  1 dx , u  ( x  1)
x
 x2
2

x

2
 2
x

4
5
x
3
3
x
2
3
(x
2
a
1/ 4
1/ 3
dx , u  3 x  1
 1 dx , u  ( x
3
 1)
5
 1)
4
dx , u  ( x
2
1/ 2
 1)
13
1/ 3
Integral Hasil Fungsi Logaritma
Rumus Dasar (1)
x
(2)
Tabel Integral
(1)
(2)
(3 )
(4)
(5 )
dx
 ax  b
x
 ax  b
1

a
1
x
a
x
 u du  ln | u |  c
b


x
2
dx 
a
2

( 8 ) cot xdx

( 7 ) sec xdx  ln | sec x  tan x |  c
a
2
1
2a
ln
15 ).  x

( 9 ) csc xdx   ln | csc x  cot x |  c
2
a
xa
xa
 ln | x 
m
  ln | csc x |  c
  ln | sin x |  c
ln | ax  b |  c
 x 2  a 2 dx  2 ln | x
dx
  ln | cos x |  c
1
1
 x2  a2

( 6 ) tan xdx  ln | sec x |  c
dx  ln | x |  c
ln | ax  b |  c
dx 
1
Trigonometri
n
x
2
2
| c
13 ).
c
a
ln x dx 
2
x

| c
m 1
x
n
n
ln x
m1

n
ln x dx 
x
x
m  1
2
x
a
m
ln
2
x
n1
n1
dx 
n 1
ln x 
x
2
x
n1
( n  1)
a
2
2
c
c
x dx  c
14
Contoh :
Selesaikanlah integral tak tentu berikut ini
(1).
3x  5
 x 2  6 x  16
( 2 ).
dx
Jawab :
(i). x2 + 6x – 16 = (x + 3)2 – 25
(ii). 3x – 5 = 3(x + 3) – 14
(iii). u = x + 3, du = dx
3x  5
 x 2  6 x  16

dx 
3 u  14
 ( x  3 ) 2  25
dx
14 du
 u 2  25 du   u 2  25   u 2  25


3
2
3
2
ln | u
ln | x
2
2
 25 | 
14
2(5 )
 6 x  16 | 
ln
7
5
u5
u5
ln
c
x2
x8

x
2
dx
 8 x  20
Jawab :
(i). x2 – 8x + 20 = (x – 4)2 + 4
(ii). 6x + 8 = 6(x – 4) + 32
(iii). u = x – 4, du = dx
3 ( x  3 )  14
3 udu
6x  8
c
6x  8


x

2

dx 
 8 x  20
6 u  32
du 

 4
 6 u
2
 4  32 ln | u 
 6 x
2
 8 x  20
 32 ln x  4 
(x  4)
6 udu
2
u
6 ( x  4 )  32
u
x
2
2

 4
u
2

2
dx
4
32 du
u
2
 4
 4 | c
 8 x  20  c
15
Rumus Integral Eksponensial Asli
1 ax
dx  e
c
a

ax

u

n ax
(1). e
( 2 ). e du  e
( 3 ). x e
u
Contoh :
x
e
Selesaikanlah
dx
2x
e
4
Jawab
Misalkan, u = ex, du = ex dx

c
n ax
dx 
x e

a
n
a
x
n  1 ax
e
dx

e
e
2x
x
 4
Contoh :
3
2 1 x
Selesaikanlah
x e
dx
Jawab
Misalkan, u = 1 – x3, du = –3x2 dx


2 1 x
3
x e
1
dx  
1
3
e
1 x
3
ax
cos bx dx 
a
2



1
x 2
u
2
 4
2( 2 )
ln

4
ln
e
e
x
x
( e dx )
 4
1
1
1
x
(e )
2
1 u
 1 (1  x 3 )

e du 
e c 
e
c

3
3
3
12 ).  e

(  3 x dx )
u
e
dx 
du
u2
u 2
2
 2
c
c
ax
b
2
( b sin bx  a cos bx )  c
16
Integral Hasil Invers Fungsi Trigonometri
Rumus-rumus
(1).

1
a
2
x
dx  sin
2
1 x 
 c
a
1 x 
  cos
( 2 ).
1
 a2  x2
dx 
1
x
1
x
2
a
2
tan
a
 
( 3 ).

Contoh : Hitunglah
1
a
dx 
 c
a
1 x 
cot
1
a
 c
a
1 x 
sec
 c
a
1 x 
 c
a
1 x 
  csc
 c
a
a
1
5x  6
7  6x  x
2
dx
Jawab :
(1). 7 + 6x – x2 = 7 – (x2 – 6x + 9) + 9
= 16 – (x – 3)2
(2). 5x – 6 = 5(x – 3) + 15 – 6
= 5(x – 3) + 9
(3). u = x – 3, du = dx
Maka :
5x  6



7  6x  x
( 5 u  9 )du
16  u
2
  5 16  u
2
2
dx 



5( x  3 )  9
2
dx
16  ( x  3 )
5 udu
9 du

2
2
16  u
16  u
 9 sin

 1 u 
 c
4
2
 1 x  3 
  5 7  6 x  x  9 sin 
c
 4 
17
6x  5
 x 2  8 x  24 dx
Contoh : Hitunglah
Jawab :
(1). x2 – 8x + 24 = (x2 – 8x + 16) + 8
= (x – 4)2 + 8
(2). 6x – 5 = 6(x – 4) + 24 – 5
= 6(x – 4) + 19
(3). u = x – 4, du = dx
Maka :
6x  5
 x 2  8 x  24
6 u  19

 u2  8

6
2
ln | u
 3 ln | x
2
2
dx 
6 ( x  4 )  19
 ( x  4 )2  8
dx
8|
2 2
tan
 8 x  24 | 
19
2 2


c
2 2
u
tan
1 x  4 
3x  5
 (x  5)

1
3x  5
x
2
dx
 10 x  7
Jawab :
(1). x2 + 10x + 7 = (x2 + 10x + 25) – 18
= (x + 5)2 – 18
(2). 3x + 5 = 3(x + 5) – 15 + 5
= 3(x + 5) – 10
(3). u = x + 5, du = dx
Maka :
du
19
 (x  5)
Hitunglah

c
2
2



2
x  10 x  7
3 ( x  5 )  10
 (x  5)
u
dx
(x  5)
3 u  10
2
2
dx
 18
du
u  18
 3 ln | u 

10
3 2
u
2
sec
 18 |
 1


c
3 2
u
18
METODE SUBSTITUSI
Kasus 1. Integran Memuat Bentuk Persamaan Kuadrat
(1).
Ax  B
 x 2  bx  c
dx
dan
( 2 ).
Substitusi :
i ). x
2
 bx  c  x
2
b
 bx   
2
Ax  B

2
x
2
dx
 bx  c
b
 
2
2
b

 c  x  
2

2
b
c 
2
2
b
b

ii ). Ax  B  A  x    B  A
2
2

iii ). u  x 
Contoh : (1).
b
2
, du  dx
4x  5
 x 2  6 x  11
dx
dan
( 2 ).

5x  4
x
2
dx
 8 x  10
19
( 3 ).

Ax  B
c  bx  x
2
dx
i ). 9  6 x - x
Substitusi :
i ). c  bx - x
Substitusi :
2
b
c 
2
2
b
c 
2
2
2

b
2
  x  bx    
2 


b

 x  
2

b
2
, du  dx
Contoh :

4x  6
9  6x  x
2
dx
6
9 
2
2
6

 x  
2

 18  ( x  3 )
2
2
ii). 4x + 6 = 4(x – 3) + 6 +12
2
= 4(x – 3) + 18
iii). u = x – 3, du = dx
b
b

ii ). Ax  B  A  x    B  A
2
2

iii ). u  x 
2
4x  6


9  6x  x

4 u  18
18  u
 4 18  u
2
2
2
dx 

4 ( x  3 )  18
18  ( x  3 )
2
du
 18 sin
1


c
3 2 
u
20
dx
Kasus 2 : Integran memuat bentuk pangkat pecahan dari a + bx, yakni.
n
( a  bx )
m
 ( a  bx )
m /n
Substitusi :
1/ 3
i ). u  ( x  2 )
Substitusi :
iii ). 4  ( x  2 )
 a  bx
Contoh :
m /n
u
 4  3 ( x  2 ) 2 dx
 4u
m
1
2
3u
2
 4  3 ( x  2 ) 2 dx   4  u 2 du

1
3/2
n n 1
ii ). dx  u
du
b
iii ).( a  bx )
 x2
2
1/ n
n
3
ii ). dx  3 u du
i ). u  ( a  bx )
u
,u

 12

12
u2

 3  du 
ln
 3u  c
2
2( 2 ) u  2
4u

1/ 3
 3 ln
(x  2)
1/ 3
(x  2)
2
2
1/ 3
 3( x  2 )
c
21
Kasus 3 : Integran memuat bentuk pangkat pecahan dari a + bxn , yakni.
m
a  bx
n
Substitusi :
i ). u  ( x
Substitusi :
i ). u 
u
m
ii ).bnx
x
m
a  bx
n
 a  bx
n
n 1
dx  mu
n 1
dx 
m
bn
3
 4  3 ( x 4  4 ) 2 dx
1/ 3
 3)
,u
3
 x
4
3
3 2
ii ). 4 x dx  3 u du , x dx  u du
4
3
iii ). 4 
m 1
du
u
m 1
du
2
3
(x
4
 3)
3
2
 4u
2
x
3
4
u
2
 4  3 ( x 4  4 ) 2 dx  3  4  u 2 du
Contoh :
x
4


4
3
4
3



4
4 4
u2


 1 du  
ln
 u  c
2
3  2( 2 ) u  2

4u

3
ln
3
x
x
4
4
3 2
3 2

43
3
x
4
3 c
22
Soal-soal Latihan
Selesaikanlah integral tak tentu berikut ini
(1).
( 2 ).
( 3 ).
( 4 ).
( 5 ).
1
 x  2b
a


bx
x
ax
4
x a ab
( 6 ).

(x  a)
2/3
7
dx
( 7 ).
b
b 1
b  (x
ax
a  (x
x2
dx
1
(x
b
b
 b)
 a)
2/3
dx
( 8 ).


4  (x
ax
(x
b
b
 b)
2/3
1
x b a
dx
dx
( 9 ).
 a)
 x  2a
(10 ).
 b)
2/3
dx
2b 1
b 1 b
x
b
3
bx
4
dx
 x  2b
2/3
dx
b
x
x b a
dx
x
x a ab
dx
23
11 ) 
12 ) 
ax
15 ) 
 bx  b
(x  a) x
2
 2 ax  b
x  2b x  a  a  b
ax  b
2 ab  2 ax  x
2
(x  a) x
x
2 bx  a
x
2
 2 ax  ab
dx
2 bx  a
x
2
dx
 2 ax  ab
dx
dx
 2 ax  2 ab
bx  a
2
17 ) 
dx
2 ax  b
2
16 ) 
dx
1
13 ) 
14 ) 
2
 2 ax  4 ab
dx
24
```