La Integral Definida

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UNIDAD 5
La Integral
“La Integral Indefinida, Métodos de Integración, La integral
Definida”
Dr. Daniel Tapia Sánchez
En esta actividad aprenderás a:
 Interpretar el concepto de la
Integral.
 Calcular
la
integral
de
funciones específicas.
 Utilizar
el
concepto
de
integral para calcular áreas.
El cálculo integral es un campo de las matemáticas muy amplio, y su aplicación se
extiende a una gran cantidad de áreas del conocimiento.
En general, podemos clasificar las integrales como indefinidas o indefinidas, las cuales
hacen referencia a sustituir valores numéricos en el resultado o dejarlo en términos de la
variable independiente. Básicamente, el procedimiento para resolverlas es idéntico hasta
antes de realizar la sustitución. Las principales diferencias entre la integral indefinida y
definida se encuentra en su aplicación, ya que a través de esta última, podemos calcular
áreas y volúmenes, lo cual es muy útil en muchos casos prácticos.
5.1 La Integral
Indefinida.
5.1 Integral indefinida
Lo opuesto a una derivada es una antiderivada o
integral indefinida.
La integral indefinida de una función f(x) se
denota como
Y está definida por la propiedad
Esto quiere decir que la integral es la operación
inversa de la derivada.
Existen dos aspectos muy importantes que debemos tomar
en cuenta para resolver integrales:
• Para resolver una integral, solo debemos aplicar la fórmula
que coincida con la estructura de la función.
• Sin embargo, para que la función coincida con la fórmula,
debemos asegurarnos de que el término dx sea la diferencial
de x. De no ser así, debemos “completar” la integral. Por
ejemplo,
La diferencial de x es dx, por lo tanto la integral
está “completa” y podemos aplicar la fórmula
correspondiente.
La diferencial de 2x es 2dx. Para que la integral esté
“completa” le falta un 2 a dx y es necesario
completarla. Si colocamos un 2 como numerador,
debemos agregar también un 2 como denominador para que
la función no se altere. Es decir, es como si
multiplicáramos la función por 1 (en este caso, 2/2).
La función quedaría de la siguiente forma después de
completarla:
• Si la integral fuera
La diferencial de -2x es -2dx. Para que la integral
esté “completa” le falta un -2 a dx y es necesario
completarla. Si colocamos un -2 como numerador,
debemos agregar también un -2 como denominador para
que la función no se altere. La función quedaría de la
siguiente forma después de completarla:
Otro aspecto muy importantes que debemos tomar
en cuenta es que si
• Cuando calculamos la integral de una función,
suponemos que dicha función es el resultado de una
derivada, así que lo que estamos obteniendo mediante
la integral es la función original antes de
derivarla.
• Debido a que la derivada de una constante es cero, no
es posible saber si existía o no alguna constante
dentro de la función original.
• Es por eso que una función tiene un número infinito
de integrales, que difieren por una constante
aditiva. Por eso al resultado siempre le debemos
sumar una constante C. En las diapositivas
siguientes aprenderemos más sobre esta propiedad.
La integral de una función
idénticamente cero.
La integral indefinida de una función cuya
derivada es idénticamente cero
donde C es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función idénticamente
cero es una constante
La integral indefinida de una constante.
Función constante
La integral indefinida de la función constante:
Donde c es una constante.
La integral indefinida de la función identidad.
La integral indefinida de la función identidad:
Donde c es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una potencia de x.
La integral indefinida de la función
Donde c es una constante arbitraria.
es:
La integral indefinida de una potencia de 1/x.
Para una función de la forma
Dado que
Entonces:
Interpretación geométrica:
Miembros de la familia de antiderivadas de
x
f x   x 2
x3
3
3
x3
-1
3
x3
2
3
x3
1
3
x3
-2
3
x3
3
Por eso siempre debemos
agregar al resultado una
constante C, debido a que
no sabemos exactamente
a qué curva representa el
resultado.
En la siguiente diapositiva encontrarás algunas
fórmulas inmediatas de integración, sin
embargo, para poder continuar, es necesario
que tengas una tabla de integrales más
completa, la cual puedes encontrar en cualquier
libro de cálculo o en algún manual de fórmulas
matemáticas.
Fórmulas de antiderivadas

x n 1
x dx 
C
n 1

1
dx  ln x  C
x

e x dx  e x  C

co s xdx  se nx  C
n
 sen xdx   cos x  C
n  1

se c2 xdx  ta nx  C
 se cx ta nxdx  se cx  C


1
1  x2
dx  se n1 x  C
1
1
dx

ta
n
x C
2
1 x
Propiedades de la Integral
PRIMERA
La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales
indefinidas de las funciones sumandos.
Es decir:
 [ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx =  f (x) dx +  g (x) dx + ..  k (x) dx.
Ejemplos
 [ 3.x2 + 2.x + 4] dx =  3.x2 dx +  2.x dx +  4 dx = x3 + x2 + 4.x + C
 [ cos x – sen x] dx =  cos x dx +  – sen x dx = sen x + cos x + C
 [ ex + 2x ] dx =  ex dx +  2x dx = ex + (2x / ln 2) + C
 [ 7.x6 + 3x – cos x – 9] dx =  7.x6 dx +  3x dx –  cos x dx –  9 dx =
= x7 + (3x / ln3) – sen x – 9.x + C
Propiedades de la integral
SEGUNDA
La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x)
es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función
f (x).
Simbólicamente:
 k .f (x) dx = k  f(x) dx
Ejemplos
(Ya resueltos al ser integrales inmediatas)
 3.ex dx = 3. ex dx = 3.ex + C
 5.cos x dx = 5. cos x dx = 5.sen x + C
 (5 / x) dx = 5.  (1 / x) dx = 5. ln x + C
 (7 / 16.√x) dx = (7 / 8). (1 / 2.√x) dx = (7 / 8).√x + C
Sea la función polinómica
f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9.
Dicha función es la suma de las funciones
f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x 2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9
Según las propiedades previas :
 [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx =
=  11. x5 dx +  5. x3 dx -  7. x2 dx +  7x dx +  9 dx =
11. x6
5. x4
7. x3
7. x2
= ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C
6
4
3
2





x
a
ax dx =
+ C, para cualquier a > 0
ln a

 Para a = e se obtiene  ex dx = ex + C

Tipo general




f '(x)
Ejemplo:





1  2 x3
1 x3
x e dx = 3  3x e dx = 3 e + C

2
x3
af(x)
af(x)
dx =
+ C, para a > 0
ln a





sen x dx = – cos x + C
Tipo general




f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C
Ejemplo:





e3x sen (e3x + 5) dx =
1 
1
3x
3x
3x
3
e
sen
(e
+
5)
dx
=
–
cos
(e
+ 5) + C
3 
3





cos x dx = sen x + C
Tipo general




f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C
Ejemplo:





e7x cos (e7x + 5) dx =
1 
1
7x
7x
7x
7
e
cos
(e
+
5)
dx
=
sen
(e
+ 5) + C
7 
7


1
1 x
2
dx  arcsen( x)  C
Tipo
general



g '(x)
dx = arcsen g(x) + C
1 - [g(x)]2
Ejemplo:



e3x

6x dx = 
1 – e

e3x
1
dx = 
3
1 – (e3x)2
3e3x
1
3x
3x 2 dx = 3 arcsen e + C
1 – (e )
1

  1 + x2 dx = arctg x + C

Tipo
general
f ( x)
 1 f (x) dx  arctg(x)  C
2
Ejemplo:
1

1

1 
2
dx
=

2 dx =

2
2 dx =
1
+
(
2x)
 1 + 2x
2  1 + ( 2x)

 
1
arctg
2


2x  C
5.2 Métodos de
Integración.
Todas las integrales que coinciden con alguna de
las fórmulas de integración, se resuelven
directamente. Solo debemos asegurarnos de
que la integral está completa.
Sin embargo, existen algunos problemas en los
cuales no podemos aplicar directamente alguna
fórmula, en cuyo caso, debemos recurrir a algún
método de integración como los que se
presentan a continuación.
Integración por partes
Cuando necesitamos obtener la derivada de un producto
de funciones:
Para simplificar la expresión, es común hacer un cambio
en la notación:
De esta forma, la fórmula de la integral por partes queda
de la siguiente forma:
Ejemplos de integración por partes:
Algunas ocasiones es necesario aplicar más de una vez la
integral por partes para poder llegar al resultado:










2 x
x
x e dx = x e – e 2x dx = x e – 2  x e dx =
u dv
u dv
2 x
2 x
x
u = x2  du = 2x dx
dv = ex . dx  v = ex
2 x
u = x  du = dx
dv = ex . dx  v = ex
x




= x e – 2[xe – ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C
Ejemplos de integración por partes:






sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) –  cos (ln x) . dx =

u
u
dv
dv
u = sen (L x)  du = cos(L x) . (1/x) . dx u = cos (L x)  du = – sen(L x) . (1/x) . dx
dv = dx  v = x
dv = dx  v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) – sen(ln x) . dx . Despejando la integral buscada queda:





1
sen(ln x) . dx = x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C
2
Integración por sustitución o cambio de
variable:
Para calcular una integral por cambio de variable:
•
Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral
inmediata.
•
Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.
du = g'(x) dx
Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio poniendo g(x)
de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.
•
 1
 1
 1
 
dx =  u . eu . du = 
du = ln | u | + C = ln | ln x | + C
 x ln x
 u
 e u
deshacer el cambio
Cambio ln x = u  dx / x = du  dx = x. du = et du

x = eu
Ejemplos de integración por sustitución o
cambio de variable:





3
x
1 3 4
1
x + 2 dx = 4 4x x + 2 dx = 
4

4
1 4
1 u1/2
u du =
=
(x + 2)3 + C
+C
4
41
+1
2
Cambio x4 + 2 = u  4x3 . dx = du
deshacer el cambio
Ejemplos de integración por sustitución o
cambio de variable:





1
1  3 .
1 t4
sen 2x cos 2x dx =  t dt =
=
sen4 2x + C
+
C
2
8
2 4
3
.
Cambio sen 2x = t  2 cos 2x . dx = dt
deshacer el cambio
5.3 La Integral Definida.
La Integral Definida:
b
Si f es positiva, la integral definida
 f x dx nos da el área de
a
la región comprendida entre la curva y=f(x) y el eje X, en el
intervalo [a, b].
y
y = f (x)
b
 f x dx  AR
R
0
a
x
b
a
Es decir, si sustituimos los límites
señalados en la integral definida,
podemos determinar el área
debajo entre la curva de la función
y el eje x
La Integral Definida:
Para calcular la integral definida de una función, el procedimiento es, en un
principio, idéntico al de la integral indefinida, solo que una vez aplicada la
fórmula de integración correspondiente, debemos sustituir los límites señalados
en la integral.
A continuación analizaremos un ejemplo, y, a manera de procedimiento,
plantearemos los siguientes pasos :
Dada la integral:
1. Resolver la integral:
2. Sustituir la variable independiente por el límite superior y hacer lo mismo con
el límite inferior. Restar ambos resultados:
2. Simplificar:
Ejemplos de Integral Definida:

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