Gaub-E1-8

Report
§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg
Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V
F(r )  Fp  Fg  FR  m d 2r /dt2  r(r ) V du(r )/dt
-grad p∆V
rg∆V
Analytische Lösungen nur für besondere Fälle,
numerische Lösungen oft aufwändig
u (r ,t) spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf
Hängt u (r ) nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die
Ortskurve r (t ) eines Volumenelements folgt der Strömungslinie u (r )



WS 2014/15
1
Bei laminarer Strömung bleibt die
Nachbarschaft von Stromfäden
erhalten!
Bei idealen Flüssigkeiten ist die
Reibung vernachlässigbar,
bei zähen dominiert sie
2
Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
Im Strömungsfeld u (r ,t) hat ein Volumenelement nach dt den Weg
dr  udt zurückgelegt und ist an den Ort r udt gelangt.
Dort hat es die Geschwindigkeit u  du  u (r  udt,t  dt)
 in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit
=> Auch
 ändern!
z.B. durch Querschnittsreduktion
Die Beschleunigung 
eines Volumenelements hat zwei Beiträge:
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit u /t am selben Ort
Andere Geschwindigkeit am neuen Ort
u /r  r /t
du x u x u x dx u x dy u x dz



=> In Komponentenschreibweise:  
dt
t x dt y dt z dt

dito für y und z
Gaub

ux
dui ui
u i


uk


dt
t k rk
uy
uz
3
Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
für stationäre Strömungen
=0
du u
  (u )u
dt t
mit
Konvektionsbeschleunigung
u x
x

u y
u  
x

u z

x
u x
y
u y
y
u z
y
u x 
z 

u y 
z 

u z 
z 

Bei idealen Flüssigkeiten Reibung
Vernachlässigbar => Eulergleichung

du u
1

 (u  )u  g  grad p   2u
dt t
r
Navier-Stokes Gleichung
Gaub

WS 2014/15
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Kontinuitätsgleichung
Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse
dM / dt = r A1 ux1 = rA2 ux2 = const
=> ux1 / ux2 = A2 / A1
Def: Massenflussdichte
In V sei die Masse
j r u
M   r dV
V
Sie ändert sich durch den Fluss durch
die Oberfläche
S
M
  r u dS   j dS
t 
S
S
Gauss
r
u
dS

div(
r
u
)
dV


(Bronstein

S
V
dbx dby dbz
div(b )  b 


dx
dy
dz



t
 r dV   
V

V
)
r
dV   div(ru )dV
t
V
r
 div(r u )  0
t
Bernoulli-Gleichung
Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich
der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden
Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu
bewegen benötigte Arbeit:
∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1
dito für den dünnen Teil:
∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2
Die geleistete Arbeit erhöht die
potentielle Energie des Systems!
Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant!
p1 ∆V1 + ½ ru12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ ru22 ∆V2
=> p1 + ½ ru12 = p2 + ½ ru22
Gaub
da ∆V1 = ∆V2 = ∆V
=> p + ½ ru2 = p0 = const
BernoulliGleichung
Statischer Staudruck Gesamtdruck
Druck
(bei u = 0)
6
Bernoulli-Gleichung
Gaub
Bernoulli-Gleichung
Gaub
8
Laminare Strömung
Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wird
Bsp.: Blut in den Adern  Wasserleitungen
Experiment:
z
du z
F
Viskose Schubspannung
  
A
dx
F,v
 FR    A 

d

x
du z
dx
Viskose Reibung
 = Viskosität = dynamische Zähigkeit
 ~ eE
0 / k BT
thermisch aktivierte Hüpfprozesse
Gaub
WS 2014/15
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Abschätzung der Randschichtdicke im
unendlich ausgedehnten Medium
Platte der Fläche A wird um ihre Länge
L in viskoser Flüssigkeit verschoben
z
F,u0
Dazu benötigte Arbeit:
u(x)
L
du
dx
u
  A L  0
D
WR   FR  L    A  L 
D
x
Dabei mitgeführte Flüssigkeit: dm  r  A  dx
r
1  2
 Ekin   u  dm 
2
2 
D

0
 2  x 2 
1
2
A

r

D

u
2
u

u


A

dx




0
 0  0 D  
3


Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert
Ekin  W
R
Gaub
3L
D
r  u0
10
Beliebige Strömung in z-Richtung mit
z
uz (x0+dx)
uz (x0)
uz (x0-dx)
u z u z

0
y
z
u z
 dx  ...
x
Taylor-Entwicklung linearisiert
uz(x0+dx)  u z ( x0 ) 
 FR  dFR (x0  dx)  dFR (x0 )

u z 
 u z

   dy  dz 



x

x

x0  dx
x0 




dx
u z
2 u z
uz
FR    dy  dz
 2  dx 
dV = dx dy dz

x
x
 x0 x
x
x0
2 u z
   dx  dy  dz  2
Allgemein:
x
2uz 2uz 2uz 
2

uz
dF



dV



 R z
 2
2 
2 



d
V

y
z 
x
x 2
   dV    u z

LaplaceOperator:
2
2
2
 2  2  2
x
y
z
=>
FR      u  dV
11




x 0 
Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten
z
p(z+dz)
Druckdifferenz
treibt Fluss:
z1+dz
dz
p = p(z)
z1
dy
dx
-d
+d
p(z)
x
dp dp

0
dx dy
Druckkräfte:
dF ( z1 )  dx  dy  pz1 
dF ( z1  dz )  dx  dy  pz1  dz 
dp


 dx  dy   p z1  
 dz 
dz


dp
dp
dF ( z1 )  dx  dy   dz  dV 
dz
dz
Gaub
WS 2014/15
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Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft
dp
 dV
dz
d 2u
1 dp


 dz
dx 2
    u  dV  
du
x dp

 C1
dx
 dz
x 2 dp
u
 C1  x  C2
2 dz
Randbedingungen des Experiments:
Symmetrie
du
0
dx x  0
u(d )  u(d )  0
keine Strömung an den Plattenrändern
u(x) 
Gaub

1 dp 2
d  x2
2 dz
d 2 dp
C2 
2 dz

WS 2014/15
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Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr
analog zu vorherigem
Beispiel:
dA
Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung
du
r 2  p    2r  L
dr
r
r + dr
R
u (r ) 
L

r
mit u(R) = 0
u(r) 
dV
dz
 dA   dA  u (r )
dt
dt

p
 r 'dr '  C
2L

p 2 2
R r
4L


durch Hohlzylinder mit dem
Innenradius r und der Dicke dr fließt
pro Zeiteinheit:
dV
 2r  dr  u(r )
dt
Fluß durch gesamten Zylinder:
V

t
Gaub
WS 2014/15
R
 2r  u(r )  dr
r 0
14


R
V
2  p
 
 r  R 2  r 2  dr
t r 0 4L
R

  p  2 R
3


R

r

d
r


r

d
r




2L  r 0

r 0

  p  2 1 2 1 4 
R  R  R 
2 L 
2
4 
V
  R4
  R 4 p
I 
 p 

t
8L
8 z
Hagen-Poiseuille-Gesetz
 3rRK u0 
Viskose Reibung einer Kugel : FR  6 RK u0 1

8 

(Herleitung Oseen)
Stokessches Gesetz
2 RK 2
Experiment Kugellfall
=>   g
rK  rFl 

9 u0
Gaub
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Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz
Mittlere
Geschwindigkeit
Charakteristische
Länge
Wichtig für Ähnlichkeitstransformation.
r U  L  2  Ekin 
Modell halber Grösse verhält sich in
Re 


 WRe ibung 
Medium halber Viskosität gleich
Re  1000
Turbulenz
typisch
1
laminare Strömung
L  mm
in Wasser:

10
Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar

Problem Micro Fluidics:
http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath
Durchmischung nur durch
Diffusion möglich
 x  x0   N
x0
Gaub
x2
  
D
WS 2014/15
~ 1 μm/sec
Life at Low Reynolds Numbers:
”Swimming in molasses, walking in a hurricane“
Dean Astumian
Reynolds number:
R=
≈
dvr
e.g. bacterium

10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3
10-3
R=
Thermal noise power:
10-5
kg/ms
=> No turbulences!
Pth ≈
≈
kBT
thermal relaxation time
4*10-21 J
10-10 s
≈ 10-11 W
Compare to power of motors:
Pmech ≈ 10-12-10-17 W!
See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39
17
Intracellular Traffic
over Long Distances
Axon
See Joe Howard et al. MPI Dresden
Manfred Schliwa et al. LMU
Melanocyte
Gaub
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