Арифметическая прогрессия

Report
Основные понятия
 Определение. Числовую последовательность ,
каждый член которой, начиная со второго, равен
сумме предыдущего члена и одного и того же числа
d , называют арифметической прогрессией .
При этом число d называют разностью
прогрессии.
 Таким образом, арифметическая прогрессия-это
числовая последовательность (а ) , заданная
рекуррентно соотношениям: A1=a, an=an-1+d

(n=2, 3,4…) ( a и d –заданные числа).
Можно ли, глядя на числовую последовательность,
определить, является ли она арифметической
прогрессией? Можно . Если вы убедитесь в том, что
разность между членом постоянна ( т.е. a2-a1=a3a2=a4-a3=…), то перед вами- арифметическая
прогрессия. Разумеется, при этом предполагается,
что обнаруженная закономерность справедлива ,
но и для всей последовательности в целом.
Пример1. 1, 3, 5, 7, 9, 11,…. .
Это арифметическая прогрессия, у которой A1=1 ,
d=2.
Очевидно , что арифметическая прогрессия
является возрастающей последовательностью,
если d>0 , и убывающей , если d<0.
Формула n-го члена
арифметической прогрессии
 Способ задания функции арифметической прогрессии , о котором идет
речь в определении, является рекурретным. во многих чаях он неудобен :
чтобы вычислить например . а100, надо предварительно найти
предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную
работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n- го









члена, т.е. перейти к аналитическому заданию арифметической
прогрессии.
Рассмотрим арифметическую прогрессию а1, а2, а3, … аn, … с разностью d.
Имеем:
А1=а1,
А2=а1+d,
A3=a2+d=(a1+d)+d=a1=2d
A4= а3+d=(a1+2d)+d=a1=3d
A5= а4 +d=(a1+3d)+d=a1=4d и т.д.
Нетрудно догадаться , что для любого номера n справедливо равенство
An=a1 +(n-1)d
Эта формула n-го члена арифметической прогрессии.
Перепишем формулу
 Перепишем формулу n-го члена арифметической
прогрессии An=a1+(n-1)d в виде an=dn+(a1-d)и
введем обозначения: an =y, a1 –d=m. Получим :
y=dn+m или, подробнее, y=dx+m,x∊N.
 Значит, арифметическую прогрессию можно
рассматривать как линейную функцию (y=dx+m) ,
заданную на множестве N натуральных чисел.
угловой коэффициент этой линейной функции
равен d- разности арифметической прогрессии.
Пример
2.
Дана арифметическая прогрессия а , а а
1
2,
3,
… аn, …
А)Известно, что a1=5, d=4. найти а22
Б)Известно , что a1=-2, d=3 , an =118 .найти n.
В)Известно , что d=-2, а39=83. Найти а1
Решение. Во всех случаях в основе решений лежит формула n-го
члена арифметической прогрессии:
An=a1+(n-1)d
А) а22=а1+21d=5+21*4=89
Б) аn= a1+(n-1)d
118=-2+(n-1)*3
118=3n-5
N=41
В) A15=a1+14d
-35=7+14d
d=-3
Ответ: а)а22=89 б) аn= 41 в) A15=-3.
Формулы суммы членов конечной
арифметической прогрессии.





Пусть дана конечная арифметическая прогрессия
÷ а1, а2, а3, … аn-2, аn-1 an.
Обозначим через Sn сумму ее членов
Sn=a1+a2+a3+…+ аn-2+ аn-1+ an.
Рассмотрим конкретный пример отыскания Sn.
Дана конечная арифметическая прогрессия 1. 2 , 3,
…, 98, 99, 100. Сумму ее членов вычислим
следующим образом:
 S100=1+2+3+…+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(
50+51)=101+101+101+…+101=101*50=5050
Примерно та же идея используется для вычисления
суммы членов произвольной конечной
арифметической прогрессии.
Для начала заметим, что
a2+an-1=a1+an .
в самом деле, по определению арифметической
прогрессии a2 =a1+d аn-1= аn-d. Значит,
a2+ аn-1=(a1+d) + (an-d) = a1+an.
 Иногда оказывается полезной несколько
видоизмененная формула суммы n членов
арифметической прогрессии. Если в формуле для
sn, учесть , что аn=a1+(n-1)d, то получим:
 Преимущество этой формулы состоит в том что sn
можно вычислить, зная a1 и d и не вычисляя аn.
Характеристическое свойство
арифметической прогрессии
 Пусть дана арифметическая прогрессия а1, а2, а3, …
аn, … рассмотрим три ее члена, следующие друг за
другом: аn-1, аn+1 известно , что
An-d=an-1
An+d=an+1
Сложив эти равенства ,получим:
 Это значит , что каждый член арифметической прогрессии,
кроме первого(и последнего в случае конечной прогрессии),
равен среднему арифметическому предшествующего и
последующего членов.
 Верно и обратное: если последовательность ( an ) такова, что
для любого n> 1 выполняется равенство
 То ( an ) – арифметическая прогрессия.
 В самом деле, последние равенство можно переписать в виде
an - an-1 = an+1 – an
Это значит , в частности . Что а2-a1=a3-a2=a4-a3 , и т.д. Иными
словами, разность между любым членом
последовательности предшествующим ему всегда одна и та
же, а это и означает, что задана арифметическая прогрессия.
Теорема
Тем самым мы доказали следующею теорему.
Числовая последовательность является
арифметической прогрессией тогда и только
тогда, когда каждый ее член, кроме первого( и
последнего в случае конечной
последовательности), равен среднему
арифметическому предшествующего и
последующего членов( характерическое
свойство арифметической прогрессии).
Работу выполняла:
 Ярковая Анжелика

similar documents