Lecture1

Report
‫המחלקה לניהול תעשייתי‬
‫סמסטר א'‪ ,‬תשע"ב‬
‫רגרסיה לינארית‪ ,‬ניתוח שונות‬
‫ותכנון ניסויים סטטיסטיים‬
‫הרצאה ‪1‬‬
‫רגרסיה פשוטה‬
‫מרצה‪ :‬אולגה גרצ'קו‬
‫‪1‬‬
‫מבנה הקורס‬
‫שעת קבלה‪ :‬יום ה' ‪ 15:30-16:30‬בתאום מראש‬
‫דוא"[email protected] :‬‬
‫דרישות הקורס‪:‬‬
‫• נוכחות בהרצאות – מומלץ‪.‬‬
‫• הכנת תרגילי בית‪.‬‬
‫התרגילים יימסרו בזוגות‪ .‬במהלך הסמסטר‪ ,‬ייבדקו לכל סטודנט לפחות ‪ 2‬תרגילים עם ציון‪,‬‬
‫אך לא תינתן הודעה מראש איזה תרגיל ייבדק‪ .‬חובת הגשה‪ :‬לפחות ‪ 80%‬מהתרגילים‪.‬‬
‫הציון הסופי יהיה פרופורציית התרגילים שנמסרו (יחסית למספר התרגילים שיש חובה‬
‫למסרם) מוכפלת בציון הממוצע של התרגילים שנבדקו‪ .‬תרגיל לא מלא או ברמת איכות‬
‫ירודה לא ירשם‪.‬‬
‫• מבחן סוף סמסטר‪.‬‬
‫ציון הקורס‪:‬‬
‫תרגילי בית ‪.10%‬‬
‫מבחן סוף סמסטר – ‪. 90%‬‬
‫חובת קבלת ציון עובר במבחן סוף סמסטר‪ :‬כן‬
‫ספרי הקורס‪:‬‬
‫‪1. Montgomery, D. C., Peck, E. A., Vining, G. G. Introduction to Linear‬‬
‫‪Regression Analysis, Wiley-Interscience, 4th edition, 2006. Chapters 1-4.‬‬
‫‪2. Montgomery, D.C. Design and Analysis of Experiments, 6th edition, Wiley,‬‬
‫‪2005. Chapters 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10.‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרת רגרסיה‬
‫• ‪ – y‬משתנה מקרי התלוי במשתנים בלתי תלויים ("משתנים‬
‫מסבירים")‪.‬‬
‫• מודל של רגרסיה הוא מודל סטטיסטי שבא להחליף מודל‬
‫המקשר משתנה תלוי ומשתנים בלתי תלויים דרך קשר‬
‫פונקציונאלי (חד ערכי)‪:‬‬
‫‪yi  0  1 x1i  2 x2i   n xni   i‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ –x1,x2,…,xn‬משתנים מסבירים ב"ת‬
‫‪ – β1, β2,…, βn‬פרמטרים קבועים באוכלוסיה (מקדמי הרגרסיה)‬
‫‪ – εi‬שגיאה (גורמי רעש) בתצפית ‪i‬‬
‫נחפש קשר בין התוחלת של ‪ y‬כתלות בקבוצת המשתנים‬
‫המסבירים‪.‬‬
‫נתאר קשר זה בעזרת קשר מתמטי‪:‬‬
‫‪E  y | x1, x2 , xn   f  x1, x2 , xn ‬‬
‫‪3‬‬
‫הגדרת רגרסיה‬
‫מודל רגרסיה לינארית מגדיר קשר סטטיסטי בין משתנה תלוי‬
‫לקבוצת משתנים בלתי תלויים‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪ – y‬כמות יבול שבועי בחלקה מסוימת בחממה‬
‫‪ – x1‬כמות השקייה יומית‬
‫‪ – x2‬כמות חומר דשן בחלקה‬
‫‪ – x3‬אחוז לחות בחממה עליו ניתן לשלוט‬
‫קשר מתמטי (פונקציונאלי‪ ,‬דטרמיניסטי) – )‪y=f(x1, x2, x3‬‬
‫אולם קשר זה לא קיים במציאות כי סביר להניח שקיימים‬
‫גורמים נוספים שלא נלקחים בחשבון‪ .‬גורמים אלו נקראים‬
‫גורמי רעש‪ .‬במקרה שלנו למשל‪ ,‬טמפרטורה‪ ,‬טפילים‪,‬‬
‫שגיאות מדידה וכו'‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪4‬‬
‫רגרסיה לינארית פשוטה‬
‫• מבוססת על משתנה בלתי תלוי אחד – ‪( x‬רק גורם אחד‬
‫משפיע)‬
‫• מניחה קשר ליניארי בין התוחלת של ‪ y‬ל‪x-‬‬
‫• אם ‪ xi, yi‬הינן דגימות ‪ i‬של משתנים ‪ x‬ו‪ y -‬בהתאמה‪ ,‬אזי‬
‫‪yi  0  1 xi   i‬‬
‫• כאשר ‪ εi‬הינה שגיאה ה‪ β0, β1 ,i-‬הינם פרמטרים (מקדמי‬
‫הרגרסיה) לא ידועים שאפשר לאמוד אותם על סמך מדגם‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪5‬‬
‫קו רגרסיה תיאורטי על סמך כל‬
‫אוכלוסיה‪:‬‬
‫המודל הוא מודל ביחס לכל‬
‫האוכלוסיה‪.‬‬
‫פרמטר – גודל קבוע שמאפיין‬
‫התפלגות לא ידועה‪.‬‬
‫‪ yi‬פחות ערך הקו זוהי שגיאה ‪εi‬‬
‫‪0  1 x‬‬
‫‪0‬‬
‫הנחות המודל‬
‫‪, V  xi   0, i .1‬כלומר ‪ xi‬הינו קבוע או משתנה מקרי‬
‫מנוון‪ εi ,‬סופג את כל הרעש‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ε‬הינו משתנה מקרי מפולג נורמלית ‪ , i‬‬
‫‪i ,  j i  j‬‬
‫‪2‬‬
‫בלתי מתואמים (‪.)cov=0‬‬
‫‪ i ~ N  0, ‬‬
‫• הסיבות להפרעה‪:‬‬
‫• שגיאות מדידה‬
‫• החסרת משתנים (יתכן וקיימים משתנים נוספים שלא‬
‫נלקחו בחשבון ולא נמדדו)‬
‫• טעות בקביעת המודל (למשל‪ ,‬מודל לא ליניארי)‬
‫• מטרות המודל‪:‬‬
‫• כוח הסבר לתופעות‬
‫• יכולת ניבוי‬
‫• בקרה על תהליכי החלטה‬
‫‪7‬‬
‫טענות המודל‬
‫‪ yi .1‬הינו משתנה מקרי כי ‪ εi‬הינו משתנה מקרי‪.‬‬
‫‪E  yi | xi   0  1xi .2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪E  yi   E  0  1 xi   i   E  0  1 xi   E  i  ‬‬
‫‪E  yi ‬‬
‫שינוי שולי‪ 1 :‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪ 0  1 xi  0  0  1 xi‬‬
‫הקשר בין תוחלת משתנה התלוי לבין המשתנה הבלתי תלוי‬
‫הוא קשר ליניארי – הנגזרת קבועה‪ .‬כלומר‪ ,‬שינוי שולי ב‪x -‬‬
‫משנה את ‪ y‬בערך קבוע ‪.β1‬‬
‫‪8‬‬
‫טענות המודל‬
‫‪ .3‬השונות של ‪( y‬מידת פיזור סביב קו רגרסיה) קבועה ולא‬
‫תלויה ב‪:x -‬‬
‫‪V  yi   V  0  1xi   i   V  i ‬‬
‫‪ .4‬מדידות של משתנים תלויים לא מתואמים ביניהן‪:‬‬
‫‪cov  yi , y j   0, i  j‬‬
‫‪9‬‬
‫אמידת הפרמטרים‬
‫• את ‪ β0, β1‬נאמוד בעזרת אומדנים ‪ b0‬ו‪ b1-‬ונקבל את משוואת‬
‫הישר ‪ yˆ  b0  b1x‬הידוע גם כ‪"-‬ישר מותאם"‪.‬‬
‫• נשתמש בשיטת הריבועים הפחותים (קריטריון מינימום‬
‫‪ )SSE‬כדי למצוא את הישר המותאם‪.‬‬
‫‪0  1 x‬‬
‫המרחק בין‬
‫המרחק בין‬
‫תצפית לישר‬
‫המותאם‬
‫‪b0  b1x‬‬
‫‪ei‬‬
‫‪i‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪yˆ i‬‬
‫‪b0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪yi   0  1 xi   i‬‬
‫‪10‬‬
‫‪yi  b0  b1 xi   i‬‬
‫‪yˆ  b0  b1 x‬‬
‫תצפית לישר‬
‫התוחלות‬
‫המותנות‬
‫ערך החזוי (ערך‬
‫שמעריכים שיהיה‬
‫על סמך הישר‬
‫אותו אמדנו‬
‫באמצעות המדגם‬
‫שיטת ריבועים הפחותים לאמידת הפרמטרים‬
‫ בין‬e  y  yˆ ‫ כלומר סכום ריבועי המרחקים‬, SSE   e
i
i
2
i
i
•
yˆ  b0  b1x ‫התצפיות לישר המותאם‬
SSE -‫ כך ש‬b1-‫ ו‬b0 ‫ (נחשב‬SSE ‫• אנו רוצים את מינימום של‬
:)‫יהיה מינימאלי‬
n
n
n
SSE   e    yi  yˆi     yi  b0  b1 xi 
i 1
2
i
2
i 1
2
i 1
‫משוואות‬
n
n
SSE
‫ נורמליות‬ b0  y  b1 x
 0   yi  nb0  b1  xi
‫של ריבועים‬
b0
i 1
i 1
‫הפחותים‬
n
n
n
S xy
SSE
2
 b1 
 0   xi yi  b0  xi  b1  xi
S xx
b1
i 1
i 1
i 1
n
x
x
i 1
n
i
n
,y 
y
i 1
i
n
11
‫שיטת ריבועים הפחותים לאמידת הפרמטרים‬
b0  y  b1x
b1 
sxy
sxx
 n  n 
  yi   xi  n
n
S xy   yi xi   i 1  i 1    yi  xi  x 
n
i 1
i 1
2


x
 i 
n
n
2
i 1


2
S xx   xi 
   xi  x 
n
i 1
i 1
n
b1 
 n  n 
  yi   xi 
n
 i 1  i 1 
y
x


i i
n
i 1


  xi 
n
2
 i 1 
x


i
n
i 1
n
2
12
‫פיתוח נוסחאות עבור ריבועים הפחותים‬
:b0 ‫מציאת‬
SSE
 2  yi  b0  b1 xi   0
b0
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 yi   b0   b1 xi  0
n
n
i 1
i 1
 yi  nb0  b1  xi  0
n
n
i 1
n
i 1
n
nb0   yi  b1  xi
b0 
y
i 1
n
i
 b1
x
i 1
n
n
i
x
x
i 1
n
i
n
,y 
y
i 1
i
n
b0  y  b1x
13
‫פיתוח נוסחאות עבור ריבועים הפחותים‬
SSE
 2  yi  b0  b1 xi  xi  0
b1
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
:b1 ‫מציאת‬
 yi xi   b0 xi   b1 xi2  0
2
y
x

b
x

b
x
 i i 0  i 1 i
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2
y
x

y

b
x
x

b
x


 ii
 i 1 i
1
n
 n
xi

  yi
n
i 1
i 1

y
x


b

i i
1
n
n

i 1



 n
n
  xi  b1  xi2
 i 1
i 1


14
‫פיתוח נוסחאות עבור ריבועים הפחותים‬
n
n
y
i 1
n
 yi xi 
i
i 1
:)‫ (המשך‬b1 ‫מציאת‬
n
n
x
i 1
n
 xi  b1
i 1
i
n
n
i 1
i 1
2
x

b
x
 i 1 i
2
n





 
 n
  yi   xi 
  xi  
n
 i 1  i 1   b  x 2   i 1  
y
x


i i
1 i

n
n
i 1
i 1






n
n



  yi   xi 
n
 i 1  i 1 
y
x


i i
n
b1  i 1
2
n


  xi 
n
2
 i 1 
x


i
n
i 1
n
n
15
‫תכונות של ‪ b0‬ו‪b1 -‬‬
‫• הם משתנים מקריים (כי הם תלויים ב‪)y -‬‬
‫• הם אמדים ליניאריים כפונקציה של תצפיות‬
‫• הם אמדים חסרי הטיה ל‪ β0 -‬ו‪β1 -‬‬
‫• מבין כל אמדים הליניאריים שהם פונקציות של תצפיות וחסרי‬
‫הטיה הם מסיגים שונות מינימאלית‬
‫‪16‬‬
‫דוגמה‬
‫בוחנים את הקשר בין גודל מנת הייצור לשעות העבודה שיש‬
‫להשקיע כדי לייצר מנה זו‪.‬‬
‫נתונים נתוני המדגם (‪ 10‬תצפיות)‪:‬‬
‫יש למצוא‪:‬‬
‫א) משוואת קו רגרסיה בשיטת‬
‫הריבועים הפחותים‪.‬‬
‫ב) כמה שעות עבודה נצפה‬
‫להשקיע במנת ייצור‬
‫שגודלה ‪ 30‬על פי‬
‫החישובים בסעיף א'?‬
‫‪17‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪73‬‬
‫‪50‬‬
‫‪128‬‬
‫‪170‬‬
‫‪87‬‬
‫‪108‬‬
‫‪135‬‬
‫‪69‬‬
‫‪148‬‬
‫‪132‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
‫סכומים‬
xi
30
20
60
80
40
50
60
30
70
60
500
yi
73
50
128
170
87
108
135
69
148
132
1100
xi*yi
2190
1000
7680
13600
3480
5400
8100
2070
10360
7920
61800



  yi   xi 
n
 i 1  i 1 
y
x


i i
n
i 1
n
b1 
xi^2
900
400
3600
6400
1600
2500
3600
900
4900
3600
28400
‫פתרון דוגמה‬
‫תחילה נחשב נתונים‬
:b1 ‫הדרושים לחישוב‬
n
x
i 1
i
 500
n
y
i 1
i
 1100
2
 n 
  xi   25000
 i 1 
n
 yi xi  61800
i 1
n
2
x
 i  28400
i 1
n


x
 i 
n
2
 i 1 
x


i
n
i 1
n
2
1100 500
61800 
10

2
25000
28400 
10
18
‫פתרון דוגמה‬
‫כעת נחשב את ‪:b0‬‬
‫‪b0  y  b1x‬‬
‫‪n‬‬
‫‪500‬‬
‫‪ 50‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪ 110‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪y‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b0  110  2 50  10‬‬
‫‪xi^2‬‬
‫‪900‬‬
‫‪400‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪6400‬‬
‫‪1600‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪900‬‬
‫‪4900‬‬
‫‪3600‬‬
‫‪28400‬‬
‫‪xi*yi‬‬
‫‪2190‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪7680‬‬
‫‪13600‬‬
‫‪3480‬‬
‫‪5400‬‬
‫‪8100‬‬
‫‪2070‬‬
‫‪10360‬‬
‫‪7920‬‬
‫‪61800‬‬
‫תשובה לסעיף א'‪ :‬משוואת קו רגרסיה הינה‪:‬‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫‪19‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪73‬‬
‫‪50‬‬
‫‪128‬‬
‫‪170‬‬
‫‪87‬‬
‫‪108‬‬
‫‪135‬‬
‫‪69‬‬
‫‪148‬‬
‫‪132‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪110‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪500‬‬
‫‪50‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫סכומים‬
‫ממוצעים‬
‫פתרון דוגמה‬
‫סעיף ב'‪ :‬כמה שעות עבודה נצפה להשקיע במנת ייצור שגודלה‬
‫‪ 30‬על פי החישובים בסעיף א'?‬
‫פתרון סעיף ב'‪:‬‬
‫נציב במשוואת קו רגרסיה שמצאנו בסעיף א' ‪:30‬‬
‫‪yˆi  10  2xi  10  2 30  70‬‬
‫כלומר עבור מנה בגודל ‪ 30‬יש להשקיע ‪ 70‬שעות ייצור‪.‬‬
‫בפועל לפי נתוני השאלה‪ ,‬עבור מנה של ‪ 30‬נתונה דגימה של ‪.73‬‬
‫‪yˆ1  70, y1  73‬‬
‫נחשב שגיאה‪:‬‬
‫עבור תצפית מס' ‪ )x8=30, y8=69( 8‬השגיאה היא שונה‪:‬‬
‫‪e1  y1  yˆ1  73  70  3‬‬
‫‪e8  y8  yˆ8  69  70  1‬‬
‫הערך החזוי לפי רגרסיה שונה מערך במדגם בפועל‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫בניית רווחי סמך לפרמטרים ‪ β0‬ו‪β1 -‬‬
‫מצאנו אמדים נקודתיים עבור מקדמי הרגרסיה‪ .‬כעת נמצא‬
‫רווחים בהם נמצאים ‪ β0‬ו‪:β1 -‬‬
‫‪~ N  0,1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ~ N   ,‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x ~ N   , ˆ  ‬‬
‫‪~ tn  p‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ – n‬גודל המדגם‬
‫‪ – p‬מספר הפרמטרים הנאמדים לצורך חישוב ˆ‪‬‬
‫‪21‬‬
‫בניית רווחי סמך לפרמטרים ‪ β0‬ו‪β1 -‬‬
‫במקרה שלנו ‪ p=2‬מאחר ואמדנו ‪ 2‬פרמטרים (‪.)b0, b1‬‬
‫‪ b0‬מתפלג‪:‬‬
‫‪ b1‬מתפלג‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪b0 ~ N  0 ,‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪nS xx‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪b1 ~ N  1 ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪S xx ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2‬לא ידועה‪ ,‬לכן נציב במקומה אמד (‪.)MSE‬‬
‫‪22‬‬
‫בניית רווחי סמך לפרמטרים ‪ β0‬ו‪β1 -‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪b0  0‬‬
‫‪~ tn  2‬‬
‫‪ˆb0‬‬
‫‪b1  1‬‬
‫‪~ tn  2‬‬
‫‪ˆ b1‬‬
‫נבנה רווח‬
‫סמך ברמת‬
‫מובהקות ‪:α‬‬
‫‪23‬‬
‫בניית רווחי סמך לפרמטרים ‪ β0‬ו‪β1 -‬‬
‫אמד לסטיית תקן של ‪ b0‬הינו‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪MSE‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪nS xx‬‬
‫‪ˆ b ‬‬
‫אמד לסטיית תקן של ‪ b1‬הינו‪:‬‬
‫‪MSE‬‬
‫‪ˆ b1 ‬‬
‫‪S xx‬‬
‫כאשר ‪( MSE‬ממוצע ריבועי הטעויות) הינו‪:‬‬
‫‪SSE‬‬
‫‪MSE ‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪24‬‬
‫‪0‬‬
‫בניית רווחי סמך לפרמטרים ‪ β0‬ו‪β1 -‬‬
‫אם כך‪ ,‬רווח סמך עבור ‪ b0‬הינו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b0   0‬‬
‫‪P  t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   1‬‬
‫‪ n2,1 2‬‬
‫‪n  2,1 ‬‬
‫ˆ‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪P  b0  t‬‬
‫‪  b0   0  b0  t‬‬
‫‪  b0   1  ‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ובאופן דומה‪ ,‬רווח סמך עבור ‪ b1‬הינו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪P  b1  t‬‬
‫‪  b1  1  b1  t‬‬
‫‪  b1   1  ‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪n  2,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫משמעות של רווח סמך‪ :‬אם נדגום הרבה מדגמים וכל מדגם נבנה‬
‫רווח סמך‪ ,‬אזי בהסברות ‪ 1-α‬מקדם באמת ייפול תחום זה‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫נחזור לדוגמה ונמצא רווחי סמך למקדמים‬
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
‫סכומים‬
xi
30
20
60
80
40
50
60
30
70
60
500
yi
73
50
128
170
87
108
135
69
148
132
1100
yˆ i
70
50
130
170
90
110
130
70
150
130
1100
yˆi  10  2 xi
P  2  t8,0.975
ei
3
0
-2
0
-3
-2
5
-1
-2
2
0
e^2
9
0
4
0
9
4
25
1
4
4
60
: ˆ b ‫ כעת נחשב את‬:β1 ‫עבור‬
1
2
SSE  e
60
MSE 


 7.5
n  2 n  2 10  2
2
 n 
  xi 
n
5002
i 1


2
S xx   xi 
 28400 
 3400
n
10
i 1
ˆ b1 
MSE
7.5

 0.047
S xx
3400
:β1 ‫נציב בנוסחא של רווח סמך עבור‬
0.047  1  2  t8,0.975 0.047   0.95
P 1.89  1  2.11  0.95
:‫אורך רווח סמך‬
2.11  1.89  0.22
26
‫נחזור לדוגמה ונמצא רווחי סמך למקדמים‬
‫כעת נחשב רווח סמך עבור ‪:β0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪28400 7.5‬‬
‫‪MSE ‬‬
‫‪ 2.5‬‬
‫‪10 3400‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪nS xx‬‬
‫‪ˆ b0 ‬‬
‫‪e^2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪4‬‬
‫‪25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪60‬‬
‫‪yˆ i‬‬
‫‪ei‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫נציב בנוסחא של רווח סמך עבור ‪:β0‬‬
‫‪2.5   0  10  t8,0.975 2.5   0.95‬‬
‫‪70‬‬
‫‪50‬‬
‫‪130‬‬
‫‪170‬‬
‫‪90‬‬
‫‪110‬‬
‫‪130‬‬
‫‪70‬‬
‫‪150‬‬
‫‪130‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪yˆi  10  2 xi‬‬
‫‪P 10  t8,0.975‬‬
‫‪P  4.235  1  15.765  0.95‬‬
‫אורך רווח סמך‪15.765  4.235  1.53 :‬‬
‫‪27‬‬
‫‪yi‬‬
‫‪73‬‬
‫‪50‬‬
‫‪128‬‬
‫‪170‬‬
‫‪87‬‬
‫‪108‬‬
‫‪135‬‬
‫‪69‬‬
‫‪148‬‬
‫‪132‬‬
‫‪1100‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪60‬‬
‫‪80‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪70‬‬
‫‪60‬‬
‫‪500‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫סכומים‬

similar documents