pptx - Institut für Theoretische Astrophysik

Report
Spezielle Relativitätstheorie
Vorlesung von
Prof. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond
in Zusammenarbeit mit
Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke
Institut für Theoretische Astrophysik
Universität Heidelberg
Die ersten Gedankenexperimente:
Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion
Einsteins Gedanken-Experiment
Zug fährt mit einer
Geschwindigkeit vzug in
einen Bahnhof ein.
Achtung: Der Zug bremst
nicht ab, sondern fährt
mit konstanter
Geschwindigkeit weiter.
Frage: Bewegt sich der
Zug oder bewegt sich
der Bahnhof?
Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
Bahnsteig
Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
Bahnsteig
Einsteins Gedanken-Experiment
Zug
vx=vzug
Bahnsteig
Einsteins Gedanken-Experiment
L
vx=vzug
Einsteins Gedanken-Experiment
y
Raum-Koordinaten
(vom Bahnhof aus gesehen)
L
vx=vzug
x
Einsteins Gedanken-Experiment
GeschwindigkeitsKoordinaten
vy
(vom Bahnhof aus
gesehen)
æ v
zug
ç
v ball =
ç v ball,0
è
ö
÷
÷
ø
2
v ball = v 2ball,0 +vzug
vy=vball,0
vx=vzug
vx
Einsteins Gedanken-Experiment
GeschwindigkeitsKoordinaten
v‘y
(vom Zug aus gesehen)
æ 0
v'ball = çç
è v ball,0
v'ball = v ball,0
ö
÷
÷
ø
v‘y=vball,0
v‘x=0
v‘x
Einsteins Gedanken-Experiment
L
Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einem
Lichtpuls
(vom Zug aus gesehen)
L
Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einem
Lichtpuls
(vom Bahnhof aus
gesehen)
L
Einsteins Gedanken-Experiment
GeschwindigkeitsKoordinaten
vy
(vom Bahnhof aus
gesehen)
æ v
zug
ç
v licht =
ç vy
è
ö
÷
÷
ø
2
v licht = v 2y +vzug
=c
vy
vx=vzug
vx
Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einem
Lichtpuls
(vom Zug aus gesehen)
L
Wenn der Lichtpuls am
Zeitpunkt t=0 gesendet
wird, zu welchem
Zeitpunkt t erreicht er
die Kamera?
t=
L
c
Einsteins Gedanken-Experiment
Jetzt mit einem
Lichtpuls
(vom Bahnhof aus
gesehen)
L
Aufgabe: Berechne wie
viel länger es vom
Bahnhof aus gesehen
dauert.
Wenn der Lichtpuls am
Zeitpunkt t=0 gesendet
wird, zu welchem
Zeitpunkt t erreicht er
die Kamera?
Zeit-Dilatation
Jetzt mit einem
Lichtpuls
(vom Bahnhof aus
gesehen)
Die Person im Zug
L
ist jedoch völlig
überzeugt, dass der
Puls zum Zeitpunkt
t‘=L/c ankommt!
Also: seine Uhr läuft
langsamer:
t ' = t 1- (vzug / c)2
Wenn der Lichtpuls am
Zeitpunkt t=0 gesendet
wird, an welchem
Zeitpunkt t erreicht er
die Kamera?
L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
Problem: Denkt der Mensch im
Zug nicht auch, dass unsere Uhr
(am Bahnhof) langsamer als
seine Uhr läuft??
Antwort: Ja; aber dazu später...
Zeit-Dilatation
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
Zug
t' = 0
L
Bahnsteig
t=0
Zeit-Dilatation
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
Zug
L
t ' = 0.5
c
L
Bahnsteig
L
t=
c
Zeit-Dilatation
Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)
Zug
L
t' =
c
L
Bahnsteig
L
t = 2.0
c
Lorentzkontraktion
Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab:
(vom Zug aus gesehen)
Die Dauer ist nun:
t' =
L
2L
c
vom Zug aus
gesehen, und
t=
2L
1
c 1- (v zug / c)2
vom Bahnhof aus
gesehen
Lorentzkontraktion
Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in
Fahrtrichtung des Zuges geht:
(vom Zug aus gesehen)
Die Dauer ist nun:
L
t' =
2L
c
vom Zug aus
gesehen, und
t=
2L
1
c 1- (v zug / c)2
vom Bahnhof aus
gesehen
Lorentzkontraktion
Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu
dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich
2L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz...
Aufgabe:
(a) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten
Spiegel erreicht.
(b) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei
der (bewegte) Kamera ist.
(c) Zeige, dass dies um den Faktor 1/ 1- (v zug / c)2 zu lange
dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.
Lorentzkontraktion
Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu
dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich
2L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
ist?
Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu
welchem Zeitpunkt t1 erreicht der Puls den Spiegel?
xlichtpuls (t) = ct
xspiegel (t) = L + vzugt
xlichtpuls (t1 ) = xspiegel (t1 )
L
t1 =
c - v zug
Und zu welchem Zeitpunkt t2 fällt der Puls in die Kamera?
xlichtpuls (t) = ct1 - c(t - t1 )
xkamera (t) = vzugt
xlichtpuls (t2 ) = xkamera (t2 )
t2 =
2L
1
c 1- (v zug / c)2
Lorentzkontraktion
Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass
die Dauer des Experiments
2L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
ist, aber wir wissen, dass es eigentlich
2L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
sein muss... Was ist los?
Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich
Längen in Fahrtrichtung verkürzen!
Lorentzkontraktion
Statt L müssen wir Lvbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen
(aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!):
t=
2Lvbhag
1
c
1- (v zug / c)2
Und mit der Lorentzkontraktion
Lvbhag = L 1- (vzug / c)2
erhält man dann wieder die richtige Antwort:
2L
1
t=
c 1- (v zug / c)2
Lorentzkontraktion
Lvbhag = L 1- (vzug / c)2
Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion
Leiter bewegt sich,
Garage steht still:
Garage bewegt sich,
Leiter steht still:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ladder_Paradox_GarageScenario.svg
Relativitätsprinzip
• Galilei und Newton wussten schon, dass absolute
Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung
haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies
heißt Galilei-Invarianz.
• Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man
problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug
stillsteht.
• Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch
absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine
bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst,
so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion.
Diese sehen aber asymmetrisch aus!
Raum-Zeit Diagramme
Raum-Zeit-Diagramme
Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegung
durch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum
horizontal und Zeit vertikal.
Beispiel: rennende Person
Raum-Zeit-Diagramme
Raum-Zeit-Diagramme
Raum-Zeit-Diagramme
Raum-Zeit-Diagramme
Supermarkt
Wohnung
Büro
„Weltlinie“
Lunchroom
Raum-Zeit-Diagramme
„Ereignisse“
Die Geburt deines Kindes
Die Hochzeit eines Freundes
Deine Hochzeit
Deine Geburt
Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D
t
Etwas schwieriger
um damit zu
arbeiten...
x
y
Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=„4D“)
Sorry, Powerpoint
kann leider noch
keine 4-D Grafen
erstellen...
Versuchen Sie es in 30
Jahren wieder...
Noch schwieriger
um damit zu
arbeiten...
Galilei Invarianz
Bahnhof
Der Zug fährt aus
dem Bahnhof
raus...
Zug
Galilei Invarianz
Bahnhof
Zug
...oder der
Bahnhof fliegt vom
Zug weg...
Wer hat recht?
‘
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x=1
Das bedeutet: x=0
an t≠0 hat eine
andere Bedeutung
in den zwei
Bezugssystemen
x=0
Bahnhof und Zug
haben eigene
Zeitachsen
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x‘=1
x‘=0
Wir können durch
eine KoordinatenTransformation
vom (x,t) ins (x‘,t)System wechseln.
x'(t) = x(t) - vzugt
‘
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x=1
Das bedeutet: x=0
an t≠0 hat eine
andere Bedeutung
für den zwei
Bezugssystemen
x=0
Bahnhof und Zug
haben eigene
Zeitachsen
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x=1
Das bedeutet: x=0
an t≠0 hat eine
andere Bedeutung
für den zwei
Bezugssystemen
x=0
Bahnhof und Zug
haben eigene
Zeitachsen
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x‘=1
x‘=0
Wir können durch
eine KoordinatenTransformation
vom (x,t) ins (x‘,t)System wechseln.
x'(t) = x(t) - vzugt
‘
Galilei Transformation
Bahnhof
Zug
x‘=1
x‘=0
Wir können durch
eine KoordinatenTransformation
vom (x,t) ins (x‘,t)System wechseln.
x'(t) = x(t) - vzugt
‘
Inertialsystem (inertiales Bezugssystem)
Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn
eine geradlinige gleichförmige Bewegung als
x(t) = x0 - vt
geschrieben werden kann.
Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x‘,t)
welches von (x,t) abgeleitet ist durch
x'(t) = x(t)+ C - ut
(mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und
zwar völlig gleichwertig.
Weltlinie & Raumzeit-Geschwindigkeit
2s
1s
0s
æ dt/dt ö
÷
V=ç
ç dx/dt ÷
è
ø
æ 1 ö
÷
V = çç
÷
v
è x ø
vx
(Zeit)
(Raum)
Relativistische
Raum-Zeit-Diagramme
(„Minkowski-Diagramme“)
Hermann Minkowski
"Die Anschauungen über Raum und Zeit, die
ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf
experimentell-physikalischem Boden
erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre
Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an
sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig
zu Schatten herabsinken und nur noch eine
Art Union der beiden soll Selbständigkeit
bewahren.“
(Hermann Minkowski, 80th Assembly of
German Natural Scientists and Physicians,
September 21, 1908)
Minkowski Diagramme
Für die Gedankenexperimente
ersetzen wir die t-Achse durch
eine ct-Achse (also wir
multiplizieren die Zeit mit der
Lichtgeschwindigkeit).
Die Zeitache hat jetzt
auch Dimension
„meter“
Lichtkegel
Jetzt bewegt
sich Licht entlang
diagonalen Linien mit
±45∘ Winkel
Lichtkegel
Mehrere Lichtkegel
Zwei Lichtpulse,
unterschiedliche Orte
Mehrere Lichtkegel
Zwei Lichtpulse,
unterschiedliche
Ort und Zeit
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
RaumzeitGeschwindigkeit für
stillstehende Person
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
RaumzeitGeschwindigkeit für
bewegende Person
æ dct/dct ' ö
÷
V=ç
ç dx/dct ' ÷
è
ø
t‘ ist die Zeit so wie die
bewegte Person sie
wahrnimmt.
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Dieser RaumzeitGeschwindigkeitsvektor
liegt immer auf der
gestrichelte Linie.
Grund: Zeitdilatation!
æ dct/dct ' ö
÷
V=ç
ç dx/dct ' ÷
è
ø
t‘ ist die Zeit so wie die
bewegte Person sie
wahrnimmt.
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
æ dct/dct ' ö
÷
V=ç
ç dx/dct ' ÷
è
ø
Aufgabe: Zeige, dass
dieser RaumzeitGeschwindigkeitsvektor
folgendermaßen aussieht:
æ 1 ö
V=
ç
÷
1- (v / c)2 è v / c ø
1
t‘ ist die Zeit so wie der
bewegender Mensch sie
wahrnimmt.
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
æ 1 ö
V=
ç
÷
2
1- (v / c) è v / c ø
1
Aufgabe: Zeige, dass
dies eine Hyperbel ist, d.h.
dass die Zeit- und RaumKomponente Vct bzw Vx
folgende Gleichung
befolgen:
V -V =1
2
ct
2
x
t‘ ist die Zeit so wie der
bewegender Mensch sie
wahrnimmt.
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel
Die gestrichelte
Hyperbel ist also die
ct‘=1 Linie. Sie ist nicht
horizontal (wie
klassisch) sondern eine
Hyperbel wegen der
Zeit-Dilatation.
Was ist „gleichzeitig“?
Das Prinzip der Uhren-Synchronisation
und die Vermischung von
Raum und Zeit
Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (1905)
Wie synchronisiert man Uhren?
Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir über
Radio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob die
Uhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht
(das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum
Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen
wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist
es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und
damit ist die Information schon „veraltet“.
Aufgabe: Überlegt euch eine Methode („protocoll“)
womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob
die Uhren synchron laufen.
Wie synchronisiert man die Uhren?
Erde
Mars
Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehen
Für den
Raumschiffpiloten
bewegen sich Erde
und Mars
Man sieht: Die „Linie
der synchronen
Ereignisse“ ist nun
gekippt!
Erde
Mars
Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!
Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt?
Aufgabe: Beweise, dass
das Längenverhältnis A/a
dasselbe ist wie B/b, also
dass A/a=B/b.
B
A
a
b
Autobahnpolizei
Jeweils nur Auto „A“ messen:
A
Die Uhr „A“
geht langsamer
(Zeit-Dilatation)
B
Jeweils nur bei Blitzer „B“ messen:
A
B
Die Uhr gemessen
von Station „B“
geht schneller!
Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel
Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug
vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit
anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d
gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit
später sieht die Lage so aus:
Zug
a
b
c
d
e
f
g
Bahnsteig
A
B
C
D
E
F
G
Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum
ist Uhr „d“ hinterher im Vergleich zu „D“? (2) Warum ist Uhr „b“
weiter als „D“? (3) Warum ist Uhr „a“ weiter als Uhr „g“?
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie
Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die
Wellen sich in allen Richtungen gleich aus:
Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich
nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
Die Ente kann also „messen“ dass sie bewegt, indem sie sieht
dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist.
Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende
Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im
Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
a≠b
a
b
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung
a=b
b
a
Mit fast-Lichtgeschwindigkeit
durch Tübingen fahren...
Intermezzo:
Koordinatentransformationen,
Matrizen, Vektoren
Die Lorentz-Transformation
Zwei Inertialsysteme
Das eine Inertial Koordinatensystem (blau)
Das andere Inertial Koordinatensystem (grün)
Beide Systeme (gesehen vom blauen)
Beide Systeme (gesehen vom grünen)
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
Zeit-Vektoren
ct
Licht-Vektoren
Raum-Vektoren
x
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
LorentzKoordinatenTransformation zum
Bezugssystem mit
v>0.
Wichtig: Zeit-Vektoren
bleiben Zeit-Vektoren,
Raum-Vektoren bleiben
Raum-Vektoren und
Licht-Vektoren bleiben
Licht-Vektoren.
ct
x
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren
Lorentz-VektorTransformation
(Beschleunigung)
in positive Richtung.
ct
x
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man
folgendermaßen schreiben:
æ V' ö æ
æ V ö
ö
ç 0 ÷ = ç A B ÷ç 0 ÷
ç V1 ' ÷ è C D øç V1 ÷
è
ø
è
ø
Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren
Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten,
müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A.
Man erhält also:
æ V' ö æ
æ V ö
ö
ç 0 ÷ = ç A B ÷ç 0 ÷
ç V1 ' ÷ è B A øç V1 ÷
è
ø
è
ø
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die
Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich
bewegenden und einer stillstehenden Person
folgendermaßen aussehen:
æ V
ç b0
ç Vb1
è
ö
æ 1 ö
1
÷=
ç
÷
2
÷
è v/c ø
1(v
/
c)
ø
æ V
ç s0
ç Vs1
è
ö æ
ö
1
÷=ç
÷
÷ è 0 ø
ø
Aufgabe: Wenn man Vb aus Vs erhalten möchte indem man
eine Lorentz-Transformation anwendet:
æ V
ç b0
ç Vb1
è
ö æ
æ V
ö
÷ = ç A B ÷ç s0
÷ è B A øç Vs1
ø
è
ö
÷
÷
ø
leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form:
æ V ' ö æ g gb
ç 0 ÷=ç
ç V1 ' ÷ ç g b g
è
ø è
öæ V ö
÷ç 0 ÷
÷ç V1 ÷
øè
ø
wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit
β folgendermaßen definiert sind:
g=
1
1- (v / c)
2
=
1
1- b
2
b =v/c
Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert,
und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die
Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den
ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.
Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm
Zug-Ende
Zug-Anfang
Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm
Zug-Ende
Zwar wird die xKomponente des
Raumvektors größer,
der Zug wird kürzer.
Zug-Anfang
Zukunft und Vergangenheit
Was geschieht zuerst?
ct
ct
B
D
x
C
A
Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder
ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?
x
Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit
Meine
Zukunft
Ereignisse die
„räumlich getrennt“
von mir sind
Ereignisse die
„räumlich getrennt“
von mir sind
Meine
Vergangenheit
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Jetzt machen
wir eine LorentzTransformation
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Jetzt machen
wir eine LorentzTransformation
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...
Und reisen wieder
mit über-LichtGeschwindigkeit
(diesmal sogar noch
etwas schneller)
zurück.
Also reisen mit
überlichtGeschwindigkeit
führt zu
Absurditäten...
Jetzt treffen wir uns
selbst... Hallo, wie
geht es mir?
Lorentz-Transformationen an anderen Stellen
Lorentz-Transformation
zentriert auf dem unteren
(roten) Ereignis:
Lorentz-Transformationen an anderen Stellen
Lorentz-Transformation
zentriert auf dem oberen
(grünen) Ereignis:
Weltlinie und Eigenzeit
ct‘=6
ct
ct‘=5
ct‘=4
ct‘=3
ct‘=2
ct‘=1
x
Zwillingsparadoxon
ct
Aufgabe: Löse dieses
Paradoxon.
x
Und jetzt... E=mc2
Energie-Impuls-Vektor
æ c ö
P = mcV=mg ç
÷
è v ø
Energie-Impuls-Vektor
Doppel so große Masse
æ c ö
P = mcV=mg ç
÷
è v ø
Energie-Impuls-Vektor
æ c ö
P = mcV=mg ç
÷
è v ø
Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ≈1) müsste etwas
rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen,
sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was
wir aus dem täglichen Leben kennen.
Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie:
p = mv
Ekin = mv
1
2
2
Die Raumkomponente von P (P1) wird für v<<c tatsächlich der
Newtonsche Impuls.
P1 = mg v » mv=p
Energie-Impuls-Vektor
æ c ö
P = mcV=mg ç
÷
è v ø
Die Zeitkomponente von P (P0) ist etwas kniffliger. Zunächst
würde man sagen, dass im Limes v<<c:
P0 = mg c » mc
Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der
Lorentzfaktor γ schauen:
g=
1
1- (v / c)
2
Energie-Impuls-Vektor
Man kann dies für v<<c annäheren mit:
1ævö
g=
» 1+ ç ÷
2
2ècø
1- (v / c)
1
2
Aufgabe: Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel,
verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt:
1
1
2
» 1+ ( 0.01)
2
2
1- 0.01
Energie-Impuls-Vektor
Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c):
é 1 æ v ö2 ù 1 é
1 2ù
2
P0 = mg c » mc ê1+ ç ÷ ú = êmc + mv ú
û
2
êë 2 è c ø úû c ë
Offenbar gilt also:
P0c = mc + Ekin
2
Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse
offenbar Energie entspricht, und zwar Emasse=mc2.
Energie-Impuls-Vektor
æ c ö
P = mcV=mg ç
÷
è v ø
1
c
1
c
Emasse
Ekin
Energie des
Photons
Energie-Impuls-Vektor von Licht
Impuls des
Photons
Umwandlung von Ruhemasse in Licht
(Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)
Umwandlung von Ruhemasse in Licht
(Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)
Beschleunigung einer Rakete...
...und die erste Hinweise wie
Gravitation funktionieren könnte!
Wenn sich eine Rakete beschleunigt...
Wenn sich eine Rakete beschleunigt...
Je weiter unten: desto mehr „Schwerkraft“
1 kg
1 kg
Kommt bekannt vor...
1 kg
1 kg
Je weiter unten: desto langsamer die Uhren
Je weiter unten: desto langsamer die Uhren
Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“
Um nicht in das
„schwarze Loch“
zu fallen, muss
man ständig
beschleunigen.
Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“
Um nicht in das
„schwarze Loch“
zu fallen, muss
man ständig
beschleunigen.
Achtung: richtige schwarze Löcher sind
komplizierter. Aber das Konzept
„Ereignis-Horizont“ wird mit dem RindlerModell gut beschrieben!
Wenn man nicht
beschleunigt, geht
man irgendwann
durch den Horizont,
und kann niemals
wieder zurück in
den „normalen“
Raum.

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