Variace bez opakování

Report
20. září 2012
VY_32_INOVACE_110204_Variace_bez_opakovani_II.cast_DUM
VARIACE
BEZ OPAKOVÁNÍ
II. část
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík
Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.
Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,
registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
obr.1
O čem pojednává prezentace…
V 1. části prezentovaného učiva o variacích jsme se setkali
s úlohami na jednoduché využití variačního vzorce,
s úlohami na úpravu jednoduchých matematických výrazů
s variacemi a s úlohami, kde se variace vyskytovaly
v rovnicích.
Tato 2. část nám připomene, že variace je možné i využít
v kombinatorických úlohách o počtu různých přirozených
čísel bez opakování číslic nebo v příkladech na počet
prvků, ze kterých se variace tvoří.
Variace bez opakování
Připomeňme si, co znamená
v kombinatorice pojem variace bez
opakování:
obr.2
k-členná variace z n prvků je každá
uspořádaná k-tice (tj. k-tice, v níž záleží
na pořadí prvků) vytvořená pouze
z těchto n prvků tak, že každý prvek se
v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Variace bez opakování
obr.2
Abychom mohli opět počítat s variacemi,
je třeba si znovu připomenout
dva základní variační vzorce!
1. vzorec pro počet variací
pomocí faktoriálu:
n!
V ( k , n) 
 n  k !
obr.2
Poznámka 1:
Označení V(k,n) čteme: „variace k-té třídy z n prvků“
Poznámka 2:
n-faktoriál se definuje jako: n !  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  k  1)
2. vzorec pro počet variací
Pro k, n  N0; k  n platí:
V (k , n)  n  (n  1)  (n  2)  ...   n  k  1
obr. 2
Variace bez opakování
V následujících sedmi variačních úlohách si
přiblížíme další využití obou variačních
vzorců, které už známe z minulé prezentace.
obr. 1
Úloha 1
Kolik různých šesticiferných přirozených čísel, v nichž se
žádná číslice neopakuje, lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ?
obr. 3
Řešení úlohy 1
Šesticiferná přirozená čísla mohou začínat na libovolnou číslici
ze zadaných číslic, ale nikdy nesmí začínat nulou!
Obsazujeme tedy šest pozic v čísle sedmi číslicemi, ale musíme přitom
vyloučit všechny uspořádané šestice, které začínají nulou:
______
(k=6, n=7)
-
0_____
(k=5, n=6)
Pomocí variací lze tedy psát:
V (6,7)  V (5,6) 
obr.1
7!
6!
7! 6!

   7! 6!  5040  720  4320
(7  6)! (6  5)! 1! 1!
Existuje celkem 4320 těchto čísel.
Úloha 2
Kolik různých:
a) lichých trojciferných přirozených čísel,
b) sudých čtyřciferných přirozených čísel
lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 5, 8 tak, že se žádná
číslice neopakuje?
obr. 3
Řešení úlohy 2
a) Lichá trojciferná čísla musí končit na číslice
1 nebo 5, nesmí začínat číslicí 0.
Schematicky tuto situaci znázorníme:
_ _ 1 - 0 _ 1 nebo _ _ 5 - 0 _ 5
(n=4,k=2) – (n=3,k=1)
Pomocí variací bez opakování lze psát:
 ∙  ,  −  ∙  ,  =  ∙  ∙  −  ∙  =
 čísel
Řešení úlohy 2
b) Sudá čtyřciferná čísla končí na číslice 0, 2, 8, ale nesmí začínat
nulou, schematicky tuto situaci nejprve opět znázorníme:
_ _ _ 0 nebo _ _ _ 2 - 0 _ _ 2 nebo _ _ _ 8 – 0 _ _ 8
Pomocí variací lze psát:
 ∙  ,  −  ∙  ,  =  ∙  ∙  ∙  −  ∙  ∙  =  − 
= 
Existuje 60 čísel.
obr. 2
Úloha 3
Kolik různých:
a) přirozených čísel menších než 300,
b) přirozených čísel větších než 5000
lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 tak, že se
žádná číslice neopakuje?
obr. 3
Řešení úlohy 3
ad a) Přirozená čísla menší než 300 z číslic 0,1,2,3,4,5 bez opakování:
a1) trojciferná čísla začínající na číslice 1 nebo 2:
1 _ _ nebo 2 _ _ ,
ve variacích zapisujeme:  ∙  ,  =  ∙  ∙  = 40 čísel
a2) dvojciferná čísla nesmí začínat nulou, tzn. začínají na některou
z číslic 1,2,3,4,5: 1 _ nebo 2 _ nebo 3 _ nebo 4 _ nebo 5 _,
ve variacích zapisujeme:  ∙  ,  =  ∙  =  čísel
a3) jednociferná přirozená čísla z daných číslic jsou kromě nuly
všechna ostatní čísla (1,2,3,4,5), tj. celkem 5 čísel
Celkem lze tedy sestavit 40 + 25 +5 = 70 různých přirozených čísel
menších než 300.
Řešení úlohy 3
ad b) Přirozená čísla větší než 5 000 z číslic 0,1,2,3,4,5:
obr. 2
b1) čtyřciferná přirozená čísla musí začínat na číslici 5:
5 _ _ _ (n=5, k=3)
Ve variacích lze psát:  ,  =  ∙  ∙  =  čí
b2) pěticiferná přirozená čísla nesmí začínat na číslici nula:
_____ - 0____
(n=6,k=5) – (n=5,k=4)
Ve variacích lze psát:
 ,  −  ,  =  ∙  ∙  ∙  ∙  −  ∙  ∙  ∙  =  −  =  čí
b3) šesticiferná přirozená čísla nesmí začínat nulou:
______-0_____
(n=6,k=6) – (n=5,k=5)
Ve variacích lze psát:
 ,  −  ,  =   −   = ! − ! =  −  =  čí
Celkem tedy existuje 60+600+600 = 1260 různých přirozených čísel
větších než 5000.
Úloha 4
Z kolika prvků lze vytvořit 30 variací 2. třídy bez
opakování ?
obr. 3
Řešení úlohy 4
Jedná se o variace 2.třídy bez opakování, tj. k=2, n=?.
Počet těchto variací má být 30.
Lze tedy psát:  ,  =  (podmínkou je: n ≥ 2, n∈ )
Podle variačního vzorce přepíšeme:
 ,  =
!
− !
=  ∙ ( − ) = 
 ∙  −  = 
 −  = 
 −  −  = 
Pomocí Viétových vzorců zapisujeme:  ∙  = −
 +  = 
Vyhovuje dvojice kořenů:  = ;  = −.
Pro  = − nejsou variace definovány (n ≥ 2), pro kořen  = 
provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 4
obr. 2
Zkouška pro kořen :  = 
  =  ,  =  ∙  = 
  = 
  = 
Kořen  =  vyhovuje.
Počet prvků pro vytvoření třiceti variací 2.třídy bez opakování je 6.
Úloha 5
Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet variací
2. třídy z těchto prvků vytvořených o 34. Kolik
je prvků ?
obr. 3
Řešení úlohy 5
Jedná se o variace 2. třídy bez opakování:  = ,  =?
Můžeme tedy sestavit rovnici: ,  +  =  ,  + 
Podmínky jsou:  ≥ ,
 +  ≥  →  ≥ .
Z obou podmínek plyne, že:  ≥ , 
Při řešení rovnice dostaneme:
 +  ∙  +  =  ∙  −  + 
 +  +  =  −  + 
 = 
=
Pro kořen  =  provedeme zkoušku.
obr. 2
Řešení úlohy 5
Zkouška pro kořen  =  :
  =  ,  =  ∙  = 
  =  ,  +  =  ∙  +  =  +  = 
  = 
Kořen  =  vyhovuje.
Prvků je 8.
Úloha 6
Zmenší-li se počet prvků o 4, zmenší se počet
variací druhé třídy z těchto prvků vytvořených
třikrát. Kolik je prvků ?
obr. 3
Řešení úlohy 6
Jedná se opět o variace 2.třídy bez opakování:  = ,  =?
Sestavíme tedy rovnici:  ∙  ,  −  =  , 
Podmínky jsou:  −  ≥  →  ≥ 
≥
Z obou podmínek plyne: ≥ ,  ∈ 
Při řešení rovnice dostaneme:
∙ − ∙ − =∙ −
 ∙ ( −  + ) =  − 
 −  +  =  − 
 −  +  = /: 
 − +  = 
Na dořešení kvadratické rovnice využijeme Viétovy vzorce:
 ∙  = ;  +  =  →  = ;  =  - nevyhovuje
podmínce
Řešení úlohy 6
Pro kořen  =  provedeme zkoušku.
Zkouška pro kořen  =  :
  =  ∙  ,  =  ∙  ∙  = 
  =  ,  =  ∙  = 
  = ()
Kořen  =  vyhovuje.
Prvků je 10.
obr. 2
Úloha 7
Z kolika prvků lze vytvořit sedmkrát více variací
třetí třídy než variací druhé třídy ?
obr. 3
Řešení úlohy 7
Jedná se o variace 2.třídy resp. 3.třídy:  = .  = ,  =?
Sestavíme rovnici:  ∙  ,  = (, )
Podmínky jsou:  ≥ 
≥
Z podmínek plyne:  ≥ ;  ∈ 
Po úpravě podle variačního vzorce následně řešíme rovnici:
 ∙  ∙  −  =  ∙ ( − ) ∙ ( − )/: ( − )
=−
=
Pro kořen  =  provedeme zkoušku.
Řešení úlohy 7
Zkouška pro kořen  = :
  =  ∙  ,  =  ∙  ∙  = 
  =  ,  =  ∙  ∙  = 
Kořen  =  vyhovuje.
Prvků je 9.
obr. 2
POUŽITÁ LITERATURA
1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z
matematiky pro střední odborné školy, střední
odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův
Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 197.
ISBN 80-7196-165-5.
CITACE ZDROJŮ
Použité obrázky:
1) Search results - "math" - math 4 u color - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=search&cat=0&pos=1
2) People - Stick Figures - Stick sm 010 - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/albums/People__Stick_Figures/Stick_sm_010.png
3) People - Stick Figures - Stick sm 005 - Public Domain Clip Art [online].
[cit. 2012-09-20]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=32
Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint
2010.
Konec prezentace.
Děkuji Vám za pozornost.
Mgr. Daniel Hanzlík

similar documents