Aula

Report
Robótica
Prof. Reinaldo Bianchi
2012
8a Aula
Parte A
Objetivos desta aula

Controle de de Robôs manipuladores:

– Relembrando controle
– Controle por Linear por Posição
– Controle não linear
– Controle por Força.
Capítulos 7, 9 e 11 do Livro do Craig.
Introdução
Controle de Manipuladores


Com o que já foi visto, agora temos os
meios para calcular o histórico das
posições de juntas que correspondem a
movimentos desejados do manipulador.
Começamos agora a discutir como
fazer com que o manipulador realmente
executar esses movimentos desejados.
Controle Linear de
Manipuladores

Controle Linear = o mais simples.
– A utilização de técnicas de controle linear
é válida somente quando o sistema em
estudo pode ser modelado por equações
diferenciais lineares.

Mas a dinâmica dos manipuladores é
não linear…
– Controle linear é uma aproximação…
– Muito usada na prática industrial.
Controle por realimentação
Controlando um manipulador por
feedback.
Controle por realimentação

Um manipulador pode ser modelado
como um mecanismo:
– com sensores em cada junta para medir o
ângulo e
– um atuador em cada junta para aplicar um
torque sobre o elo vizinho (próximo
superior).

Corresponde à maioria dos
manipuladores industriais.
Controle por realimentação

Visto que desejamos que as
articulações sigam uma trajetória
prescrita, mas os atuadores são
comandados em termos de torque,
temos de utilizar algum tipo de sistema
controIe para calcular os comandos que
vão realizar o movimento desejado:
– Feedback control!
Definindo o controle



O robô tem como entrada um vetor de
torques das juntas, t, vindo do sistema
de controle.
Os sensores do manipulador permitem
ao controlador ler um vetor de posições
de juntas, Q, e de velocidades, Q.
Todos os sinais na figura representam
vetores N x 1 (onde N é o número de
juntas).
Sistema de controle
Bloco de controle


Que algoritmo pode ser implementado
no bloco “control system”?
Podemos utilizar as equações do
movimento, tratadas na aula de
dinâmica, para relacionar posição,
velocidades e acelerações com o
torque:
˙˙ +V(Q, Q
˙ ) + G(Q)
t = M(Q)Q
Basta isso?

Basta utilizar a equação do movimento
para controlar o manipulador?
– Infelizmente não…

Então, precisamos relembrar teoria de
controle…
Relembrar é viver…
Sistemas Lineares de segunda
ordem

Antes de considerar o problema de
controle manipulador, vamos relembrar
um sistema mecânico de simpIes:
– Sistema massa-mola

A figura a seguir mostra um bloco de
massa m, ligado a uma mola de rigidez
k e sujeitas ao atrito de coeficiente b.
Sistema massa-mola
Sistema massa-mola

Um diagrama das forças agindo sobre o
bloco conduz diretamente à equação de
movimento:

A solução para a equação diferencial
acima é uma função de tempo, x(t), que
especifica o movimento do bloco
– Esta solução dependerá das condições
iniciais do sistema (posição e vel inicial).
Solução da equação

Do estudo de equações diferenciais,
sabemos que a solução para uma
equação desta forma depende das
raízes da sua equação característica:
Raizes da equação característica

As raizes são:

Onde s1 e s2 são os polos do sistema
Polos

O local dos pólos do sistema no plano
real-imaginário ira ditar a natureza do
movimento no sistema:
– Real e diferentes: sistema
superamortecido, friçcão domina.
– Real e iguais: sistema criticamente
amortecido
– Raizes Complexas: sistema
subamortecido, comportamento oscilatório
Soluções para os sistemas



Cada um destes tipos possui uma
solução para a equaçõe do movimento
diferente.
A solução desejada é geralmente o
sistema criticamente amortecido, pois é
o que leva a posição estável mais
rapidamente.
As 3 soluções são descritas a seguir.
Sistema com raizes reais e
diferentes

A solução é dada pela equação:

Onde:
– s1 e s2 são dadas pelas equações das
raizes
– c1 e c2 são determinados a partir das
condições iniciais.
Sistema com raizes reais e
diferentes
Sistema com raizes complexas

A solução se transforma (usando a
formula de Euler para números
complexos) em:

Onde:
– λ é a parte real, e μ a parte imaginária da
solução s1 e s2, e
– c1 e c2 são determinados a partir das
condições iniciais.
Sistema com raizes complexas
Sistema com raizes complexas

Outra forma comum de descrever
sistemas de segunda ordem oscilatórios
é em termos de taxa de amortecimento
e frequência natural:

onde:
– ζ é a taxa de amortecimento e
– μn é a frequência natural do sistema
Sistema com raizes complexas

ζ e μn possuem relação com os
componentes reais e imaginários dos
polos, sendo:

Em um sistema sem amortecimento, ζ é
zero, e em um criticamente amortecido
é igual a 1
Raizes reais e iguais

No caso onde
A equação fica:

E o resto continua igual.

Raizes reais e iguais
Sistema superamortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema subamortecido
Controle de sistemas lineares
de segunda ordem


Imaginem que o comportamento do
sistema massa mola não é o que
desejamos…
Por meio do uso de sensores, um
atuador e um sistema de controle
podemos modificar o comportamento
de sistemas conforme o desejado.
Controle de sistemas lineares
de segunda ordem

Se temos um atuador, a equação de
movimento fica:

Podemos propor uma lei de controle:
– onde a posição e velocidade são dadas
por sensores, e
– kp e kv são os ganhos do sistema.
– Sistema regulador de posição.
O sistema
O controle
A dinâmica do sistema

Juntando as duas equações, podemos
derivar a equação de movimento do
sistema:

ou
onde:

– b’= b + kv e k’ = k + kp
– Amortecimento crítico é obtido usando
Fim do relembrar é viver
Voces já tiveram tudo isso, certo?
Sistemas de Controle
Particionado
Particionamento da lei de
controle


Podemos particionar um controlador em
uma parte baseada em modelo e uma
porção servo.
O resultado é que os parâmetros de
sistemas (ou seja, m, b e k) aparecem
apenas na parte baseada no modelo, e
a parte de servo é independente desses
parâmetros.
Particionamento

Queremos decompor a lei de controle
em duas partes.
Para tanto, usamos a força como:

onde:

Particionamento

Substituindo os valores de α e β, a nova
lei de controle fica:
Mas como
A lei de controle fica sendo:


Usendo esta metodologia, o ganho é
dado sempre por
Sistema particionado
Controle de posição seguindo
uma trajetória
Seguindo trajetórias



Ao invés de apenas manter o bloco em
um local desejado, podemos projetar
um controlador para que o bloco siga
uma trajetória.
A trajetória é uma posição em função
do tempo, xd (t).
O erro entre a trajetória atual e a
desejada é e(t) = xd (t) - x.
Controle para seguir trajetórias

Uma lei de controle que faz o sistema
seguir uma trajetória é dada por:

Mas se usarmos um sistema
particionado, fica:

ou
Controlador seguidor de trajetória
Controle de uma junta 1R
Modelando e controlando uma
junta.

Desenvolveremos um modelo
simplificado de uma única junta rotativa
de um manipulador.
– Motor elétrico DC com engrenagem
– Inercia constante
– Baixa ressonância
– Indutância do motor pode ser discartada

Restrições compatíveis com robôs
industriais reais.
Para modelar o Manipulador 1R

É necessário modelar diversos
aspectos:
– Torque do motor
– Inércia do sistema
– Oscilação do sistema.
Torque de um motor DC

Geralmente, o torque produzido por
motor é indicado por meio de uma
constante que relaciona a corrente no
motor com o torque de saída:

Isto é uma simplificação que ignora que
o motor tem uma indutância, que
existem efeitos de geração de energia
com a velocidade, etc…
Inércia de uma junta rotacional

Em uma junta rotacional com
engrenagem existe uma relação de
transmissão (μ) que provoca um
aumento no torque e a redução da
velocidade da junta:
Junta com motor e redução
Equação de torque-inércia

Uma relação entre os torques
existentes, considerando o torque do
motor, é:

Onde:
– Im é a inércia do motor
– I é a inérica da carga
– bm é o coeficiente de fricção viscoso do
motor e b é o da carga.
Equação de torque-inércia

Substituindo os valores de torque do
motor e velocidade nesta equação,
temos:
– O primeiro termo é chamado de inércia
efetiva, e o segundo de amortecimento
efetivo.
– Em um conjunto altamente reduzido (μ >>
1) a inércia do rotor do motor domina.
Oscilação e ressonância


Visto que decidimos não modeIar as
flexibilidades estruturais do sistema,
nós deve ter cuidadosos para não
excitar estas ressonâncias.
Regra: se a mais baixa frequência
estrutural é ωres, a frequência máxima
do sistema de controle deve ser:
Finalmente…

Para controlar uma junta 1R, utilizamos
um Sistema de Controle Particionado,
controlando torque em vez de força.
Assim, temos:

e

A equação de controle dinâmico

A equação de controle dinâmico em
laço fechado fica:

E os ganhos são:
Entenderam alguma coisa?
E levando em conta alguma não
linearidade?
Atrito de Coulomb

Para a maioria dos manipuladores de
hoje, o atrito da articulação é modelado
com mais precisão utilizando o modelo
de Atrito de Coulomb:
– A fricção linear é descrita por f = bx
– A fricção de Coulomb é dada por
f = bsgn(x)
Atrito de Coulomb
Sistema não linear

A equação dinâmica não linear fica:

E as equações de controle:
Exemplo: Pêndulo Invertido (1R)

Considere um manipulador 1R:
– A massa é está localizada em um ponto na
extremidade do link.
– O momento de inércia é então ml2,
– O atrito da junta é dada por atrito de
Coulomb
– E há uma carga devido a força da
gravidade.
Exemplo: Pêndulo Invertido (1R)
Solução não linear para 1R

O modelo do manipulador é


E a solução de controle é:
onde

E o controle é
E o controle do manipulador
todo?
Faltam poucos slides …
O Problema de controle de
manipuladores genéricos

Vimos que as equações de NewtonEuler são solucionadas simbolicamente
para um manipulador, elas geram ur
resultado que pode ser escrito como:
˙˙ +V(Q, Q
˙ ) + G(Q)
t = M(Q)Q

Esta é a equação de espaço-estado do
manipulador.
Relembrando:
Equações de movimento
˙˙ +V(Q, Q
˙ ) + G(Q)
t = M(Q)Q



M é uma (n x n) matriz de massas do
manipulador, com termos dependentes
da aceleração.
V é um (nx1) vetor de forças centrífugas
e de Coriolis, dependentes da
velocidade.
G é uma (nx1) vetor que contém todos
os termos dependentes da gravidade.
Relembrando:
Exemplo 5: manipulador 2R
se torna
Adicionando Atrito de Coulomb

Podemos adicionar um termo de frição
nesta equação, tornando o sistema não
linear:
t = M(Q)Q+V(Q,Q) +G(Q)+ F(Q,Q)

Esta é a equação de espaço-estado do
manipulador.
O Problema de controle dos
manipuladores

O Problema de controle dos
manipuladores é resolvido da mesma
maneira, utilizando controle
particionado como visto
Neste caso:

onde

Controle dos manipuladores

A lei de controle servo é:

Onde
E o sistema é caracterizado pela
equação:

– Onde os ganhos são calculados como
sempre…
Controle do manipulador.
E se quisermos controlar a força
que o manipulador aplica?
Controle de força


O controle de posição como visto até
aquí pode ser extendido para controlar
a força que o robô aplica em alguma
direção.
Controle híbrido:
– Um controlador para posição.
– Um para a força aplicada.
Controle de força
Controle híbrido posição/força
Conclusão do Controle



Vimos que em certos casos simples,
não é dificil projetar um sistema de
controle.
O controle de um manipulador é
conseguido usando esses metodos.
Regra:
– Reduza o problema a um sistema linear
que pode ser controlado usando o servo
linear com controle particionado.
Fim

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