轉換函數(Transfer Function)

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Chap. 13 The Laplace Transform in
Circuit Analysis
Contents
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
Circuit Elements in the s Domain
Circuit Analysis in the s Domain
Applications
The Transfer Function
The Transfer Function in Partial Fraction Expansions
The Transfer Function and the Convolution Integral
The Transfer Function and the Steady-State Sinusoidal Response
The Impulse Function in Circuit Analysis
Objectives
1. 能夠使用拉氏轉換將電路轉換至s 域;確切瞭解如何在s 域中表示儲能元件的起
始條件。
2. 知道如何分析s 域上的電路,且能將s域內的解轉換回時域。
3. 瞭解轉換函數的定義及重要性,並能使用s 域的技巧計算電路的轉換函數。
4. 知道如何使用電路的轉換函數來計算電路的脈衝響應、單步響應及弦波輸入的
穩態響應。
1
13.1 Circuit Elements in the s Domain
1. 列出端點電壓和電流之時域方程式。
s 域等效電路之
2. 進行拉氏轉換。
建立步驟
3. 繪出符合此拉氏關係式之電路模型。
A Resistor in the s Domain
令
時域
頻域
An Inductor in the s Domain
2
2
A Capacitor in the s Domain
當I0 = 0
當V0 = 0
3
Summary
of the
s-Domain
Equivalent
Circuits
4
13.2 Circuit Analysis in the s Domain
OHM’S LAW in the s Domain
KCL in the s Domain
KVL in the s Domain
Z 代表元件在s 域中的阻抗
電阻器為 R 歐姆
電感器為 sL 歐姆
電容器為 1/sC 歐姆
導納Y為阻抗之倒數
電阻器為 1/R 西門
電感器為 1/sL 西門
電容器為 sC 西門
s 域中,串並聯簡化與Δ-Y 轉換操作仍適用。
節點電壓法、網目電流法、電源轉換法、
戴維寧-諾頓等效電路也適用於s 域分析中。
5
13.3 Applications
The Natural Response of an RC Circuit
KVL
6
The Step Response of a Parallel Circuit
s 域等效電路
KCL
7
The Transient Response of a Parallel RLC Circuit
將前頁的直流電源改成交流電源 ig  I m cosωt A 其中 I m  24 mA;ω  40000rad/s
由於
且從前頁知
8
The Step Response of a Multiple Mesh Circuit
網目
方程式
配合Carmer方法求解電流
9
The Use of Thévenin’s Equivalent
電路先轉換至s 域,然後求解戴維寧等效電路。
再求解出s 域中IC 的值,再反拉氏轉換回時域表示式。
a-b 端左側之
戴維寧等效電壓
a-b開路:
60電阻兩端無電壓差
a-b 端左側之
戴維寧等效阻抗
10
The Use of Thévenin’s Equivalent (Contd.)
求解出s 域中IC 的值,再反拉氏轉換回時域表示式。
Check!
vC可由iC積分計算:
可由s 域IC 求解s 域VC,再反拉氏轉換回時域表示式。
11
Equivalent Circuits for Magnetically Coupled Coils
di1
di
(t )  M 2 (t )
dt
dt
di1
di2
v2 (t )  M
(t )  L2
(t )
dt
dt
v1 (t )  L1
(A) T 型等效電路
直接轉成等效的網目方程式
v1 (t )  L1  M 
di1
di
 di

(t )  M  1 (t )  2 (t )
dt
dt 
 dt
di
di
 di

v2 (t )  M  1 (t )  2 (t )  L2  M  2 (t )
dt 
dt
 dt
12
Equivalent Circuits for Magnetically Coupled Coils (Contd.)
di1
di
(t )  M 2 (t )
dt
dt
di1
di2
v2 (t )  M
(t )  L2
(t )
dt
dt
v1 (t )  L1
(B)  型等效電路
參考附錄 C
13
Equivalent Circuits for Magnetically Coupled Coils (Contd.)
di1
di
(t )  M 2 (t )
dt
dt
di1
di2
v2 (t )  M
(t )  L2
(t )
dt
dt
v1 (t )  L1
(C) 直接取拉氏轉換得s域互感模型
直接取拉氏轉換得s域互感模型
V1 (s)  L1sI1 (s)  L1i1 (0)  MsI 2 (s)  Mi2 (0)
V2 (s)  MsI1 ( s)  Mi1 (0)  L2 sI 2 (s)  L2i2 (0)
V1 (s)  L1sI1 (s)  MsI 2 (s)  L1i1 (0)  Mi2 (0)
V2 (s)  MsI1 (s)  L2 sI 2 (s)  L2i2 (0)  Mi1 (0)
14
A Circuit with Mutual Inductance
使用T型等效電路
t>0
網目方程式
15
A Circuit with Mutual Inductance (Contd.)
Check!
16
The Use of Superposition
(1) Vg電壓源單獨貢獻
令
17
The Use of Superposition (Contd.)
(2) Ig電流源單獨貢獻
(3) 電感初始電流單獨貢獻
(4) 電容初始電流單獨貢獻
18
EX 13.1 Deriving the Transfer Function of a Circuit
(a) H(s) = Vo / Vg
(b) 極點&零點
19
13.4 The Transfer Function
轉換函數 (Transfer Function) H(s)
H ( s) 
Y (s)
X ( s)
Y(s) 為輸出信號之拉氏轉換式。
X(s) 為輸入信號之拉氏轉換式。
(1)
(2)
轉換函數視不同的輸入輸出關係而異。
多輸入信號的電路,其轉換函數可由重疊法求得。
20
13.4 The Transfer Function
轉換函數 (Transfer Function) H(s)
H ( s) 
Y (s)
X ( s)
Y(s) 為輸出信號之拉氏轉換式。
X(s) 為輸入信號之拉氏轉換式。
(1)
(2)
轉換函數視不同的輸入輸出關係而異。
多輸入信號的電路,其轉換函數可由重疊法求得。
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EX 13.1 Deriving the Transfer Function of a Circuit
(a) H(s) = Vo / Vg
(b) 極點&零點
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13.5 The Transfer Function in
Partial Fraction Expansions
線性集總參數(Linear Lumped-parameter)電路的特性:
轉移函數H(s)是一個有理函數。
複數極點與零點總是以共軛成對出現。
若有界的(bounded)電源之響應亦是有界的,則其極點必
落在s 平面的左半平面.
H ( s) 
Y (s)
X ( s)
Y ( s)  H ( s) X ( s)
若將等號右邊展開成為部分分式的和,則
H(s)的極點所產生之項目構成總響應的暫態部分
X(s)的極點所產生之項目構成總響應的穩態部分
23
EX 13.2 Analyzing the Transfer Function of a Circuit
若EX 13.1 vg = 50t u(t ),利用轉移函數求vo
暫態
穩態
24
Observations on the Use of H(s) in Circuit Analysis
(1) 斜升坡響應(Ramp Response)之觀察
斜升坡響應乃是指由斜升坡電壓(Ramp Voltage)所產生之響應(見EX13.2)。
當響應上升過大時,電路元件之線性模型將失效。
若在達到其最大值所需時間較線路時間常數長時,則該無界斜升坡響應在此
有限時間內可視為有效。
(2) 時間延遲(Time Delay)之影響
輸入訊號延遲a秒
若
若輸入延遲 a 秒,響應函數也順延 a 秒之電路稱為非時變電路(Time Invariant)
(3) 單位脈衝響應(Unit Impulse Response)之計算
電路受單位脈衝電源驅動,其響應就是轉換函數的反拉氏轉換。
25
13.6 The Transfer Function and the
Convolution Integral
迴旋積分(Convolution Integral)可表現出一個線性非時變電路中,
輸出y(t) 和輸入x(t) 及其脈衝響應h(t) 之間的關係。
特點:
1. 全時域計算。
2. 導入記憶和加權函數。
3. 拉氏轉換式乘積的正式反拉氏轉換做法。
Y ( s)  H ( s) X ( s)  X ( s) H ( s)
26
Graphic Interpretation of the Input-output Relation
脈衝(Impulse)響應
輸入
以一連串的 Pulses 近似
輸出由一連串的脈衝響應總和近似
以一連串的 Impulses 近似
x(t)所有時
間皆存在
27
Graphic Interpretation of the Convolution Integral
28
EX 13.3 Using the Convolution Integral to Find an Output Signal
利用迴旋積分求vo
29
EX 13.3 Using the Convolution Integral (Contd.)
30
The Concepts of Memory and the Weighting Function
Excitation Function
由於 x(t  ) 和 h() 相乘,所以脈衝響應就是電路的加權函數
(Weighting Function),同時它也決定了電路具有多少記憶。
完全記憶
沒有記憶
記憶越多,輸入與輸出之間的扭曲失真就越多。
31
13.7 The Transfer Function and the
Steady-State Sinusoidal Response
弦波輸入之 s 域表示式
H(s) 的極點都落於s 平面的左半邊,
無關於穩態響應,可忽略之。
令
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Steady-State Sinusoidal Response Using Transfer Function
(Steady State)
EX 13.4 Find the steady-state expression for vo
From EX 13.1
H(s) 和H(j) 的關係
提供了時域與頻域
的關聯性。
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13.8 The Impulse Function in Circuit Analysis
脈衝函數來自於開關切換的動作,或是脈衝電源的激勵。
Switching Operations
(1) Capacitor Circuit
若R → 0 ,i → 脈衝函數(強度為VoCe)
R越小,初始電流越大,
時間常數越小
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Switching Operations (Contd.)
(2) Series Inductor Circuit
t  0 : i1  10 A, i2  0 A
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Impulsive Sources
電源為脈衝形式,即稱脈衝電源(impulsive sources)
 
i 0  0 R 兩端無壓降
i
脈衝電源之完全響應等於其自然響應,並無其他任何驅動響應。
36
Switching Operations & Impulsive Sources
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