第九章地震作用计算

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第九章 地震作用计算
9.1地震作用计算方法
9.2 重力荷载代表值的确定
9.3 单质点水平地震作用及反应谱
9.4 多质点体系地震作用计算
9.1多质点体系地震作用计算
9.1多质点体系地震作用计算
9.1多质点体系地震作用计算
多质点体系的计算简图在地基水平运动
xg (t作用下,动微分方程为:
)
 m xg  x  c  x   k  x  0
或
mx  cx  k x  m xg t 
9.1多质点体系地震作用计算
mx  cx  k x  m xg t 
x
是以几何坐标描述,在此坐标下方程是耦联的。如果采用以振型为
基底的广义坐标,利用振型的正交性使方程解耦,使计算大为简化。
将位移向量按广义坐标展开,即:
 x    q

 x    q

 x    q
mq  cq  k q  m xg t 
9.1多质点体系地震作用计算
mq  cq  k q  m xg t 
为了消除阻尼矩阵中各质点的耦联性,将阻尼矩阵表示为:
c  a m  bk 
mq  a mq  bk q  k q  m xg t 
对上式两边前乘   j  
T
并利用振型正交性,得
n个独立微分方程为
  j    m  q  a   j    m   q  b   j    k   q
T
T
T
   j    k   q     j    m  xg  t 
T
T
9.1多质点体系地震作用计算
  j    m  q  a   j    m   q  b   j    k   q
T
T
T
   j    k   q     j    m  xg  t 
T
T
引入广义质量、广义刚度的概念有:
m q j  am q j  bk q j  k q j     j    m xg  t 
*
j
*
j
*
i
T
*
j
k *j   2j m*j
m q j  am q j  b m q j   m q j     j    m xg  t 
*
j
*
j
2
j
*
j
2
j
T
*
j
m q j   a  b  m q j   m q j     j   m xg  t 
*
j
2
j
*
j
2
j
*
j
T
9.1多质点体系地震作用计算
m q j   a  b  m q j   m q j     j   m xg  t 
*
j
2
j
*
j
2
j
T
*
j
引入广义质量的概念有:
m    j   m  j 
*
j
T
q j (t )   a  b 2j  q j (t )   2j q j (t )  
  j   mI 
T
  j  m  j 
T
xg (t )
9.1多质点体系地震作用计算
q j (t )   a  b
  j   mI 

x
 q (t )   q (t )  
  j  m  j 
T
2
j
j
2
j
j
T
n
 j  mI 
T
令 j 
j

m x
i 1
n
i
n
ji

G x
i 1
n
i
ji
 j  m j  mi x 2ji  Gi x 2ji
T
i 1
——第 j 振型的参与系数。
i 1
g
(t )
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n
令 j 
m x
i 1
n
i
n
ji
2
m
x
 i ji
i 1

G x
i 1
n
i
ji
2
G
x
 i ji
i 1
注意:如果该振型的各坐标值正负符号相同(通常为第一振型),则该振型
的振型参与系数比较大;如果该振型的各坐标值存在异号(高阶振型),则
分子相互抵消,得出的振型参与系数较小。因此第一振型的影响,在地震计
算中占有比较大的比例,这也是底部剪力法建立的基础。
9.1多质点体系地震作用计算
2
2



a

b

同时令
j j
j
q j (t )   a  b 2j  q j (t )   2j q j (t )  
  j   mI 
T
  j  m  j 
T
xg (t )
 q j (t )  2 j j q j (t )  2j q j (t )   j xg (t )
q j (t )  
x(t )  2 x t    x t   xg (t )
2
与如下方程类似
j
1 1
x(t )    xg  e  t   sin    t    d
 0
t

0

j
xg ( )e
 j j ( t  )
sin  j (t   )d
9.1多质点体系地震作用计算
j
q j (t )  
j
令
1
 j (t )  
j
 j (t )
xg
t
 x ( )e
0

t
0
 j j ( t  )
g
xg ( )e
 j j ( t  )
sin j (t   )d
sin j (t   )d
q j   j  j (t )
相当于阻尼比为  j 、自振频率为
作用下的相对地面位移反应。
j
的单质点体系在水平地面运动
9.1多质点体系地震作用计算
求得各振型的广义坐标
x  q
q j (t )
后,即可形成
q ,代入式
中可得出原体系地震位移反应,即:
n
n
j 1
j 1
xi   q j x ji    j  j (t ) x ji
上面的计算过程是应用振型分解法将多自由体系的地震反应简化为n
个独立的单自由度体系的地震反应来计算,故称这种分析多自由度地震反应
的方法为振型分解法。
根据线弹性原理,则多自由度体系的内力与位移的关系为
F  k x
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9.4.2 振型叠加反应谱法
在实际工程中,设计人员主要关心的是地震的最大反应,利用下面叠加公式可
以计算出每一时刻的地震反应,但只有进行整个时程的反应分析,才能确定最
大反应值。
n
n
j 1
j 1
xi   q j x ji    j  j (t ) x ji
F  k x
多质点地震作用计算的反应谱方法是基于以下两点来完成的:
1 .利用振型分解法,将其分解为n个单质点的计算;
2.应用单质点的反应谱进行地震作用的计算,然后将其结果加以组合。
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9.4.2.1地震影响下质点上产生的地震作用
多质点弹性体系在地震作用时,质点上产生的地震作用等于质点上的惯性力,即:
Fi  t    mi  xg  t   xi  t  
n
由于
n

j 1
n
j
x ji  
j 1
G x
i 1
n
i
G x
i 1
i
ji
2
ji
n
n
x ji  
j 1 i 1
所以可将地震地面运动加速度写成:
n
xg  t   xg  t    j x ji
j 1
Gi x ji
Gi x
2
ji
x ji 1
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Fi  t    mi  xg  t   xi  t  
n

j 1
n
xg  t   xg  t    j x ji
j 1
j
x ji  1
n
n
j 1
j 1
xi   q j x ji    j  j (t ) x ji
n
 Fi  t   mi   j x ji  xg  t    j  t 
j 1
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9.4.2.2振型的最大地震作用
n
 Fi  t   mi   j x ji  xg  t    j  t 
j 1
按照上式可以绘出 Fi (t ) 随时间变化曲线,即时程曲线。曲线上
Fi (t )
的最大值就是设计用的最大地震作用。但这样做太繁琐。
一般先求出对应于每一个振型的最大地震作用及其相应的地震作用效应,
然后将这些效应进行组合,求得结构的最大地震作用效应。
在第j振型第i质点上的地震作用的绝对最大值为
Fji  t   mi j x ji  j (t )  xg (t )
max
9.1多质点体系地震作用计算
Fji  t   mi j x ji  j (t )  xg (t )
Fji  t   mi g j x ji
max
 j (t )  xg (t )
Fji   j j x jiGi
max
g
令其为aj
9.1多质点体系地震作用计算
9.4.2.3振型组合
由振型叠加可知,结构在任一时刻所受的地震作用,等于该时刻各振型地震
作用之和。由于每一振型地震作用达到最大值的时刻并不相同,所以采用振
型叠加法求结构的最大地震作用或作用效应,就会产生振型如何组合的问题。
若体系的自振频率值相隔较远,水平地震效应 S (内力和位移),
可采用“平方和平方根”组合法(
SRSS
S
)求得
S
2
j
9.1多质点体系地震作用计算
一般情况下,可以取振型数
n2~3
;当基本自振周期大于1.5s
或房屋高宽比大于 5时,振型个数应适当增加。
9.1多质点体系地震作用计算
9.1多质点体系地震作用计算
解
①求有关参数
惯性矩
bh3 0.4m  (0.5m)3
I

4.167 103 m 4
12
12
弯曲刚度
EI  10.626 107 N  m2
②求刚度系数
12 EI
k11  4  3  4.08  107 N / m k  2  12 EI  2.040 107 N / m
22
l
l3
12 EI
k12  k21  2  3  2.04  107 N / m
l
9.1多质点体系地震作用计算
②求刚度系数
12 EI
12 EI
7
k11  4  3  4.08  10 N / m k22  2  3  2.040 107 N / m
l
l
12 EI
k12  k21  2  3  2.04  107 N / m
l
③刚度和质量矩阵分别为
 2  1
7

2.04

10
N /m
K   

1 1
0 
49000
 m  

0
29400


9.1多质点体系地震作用计算
③刚度和质量矩阵分别为
 2  1
7

2.04

10
N /m
K   

1 1
0 
49000
 m  

0
29400


④求频率:
 D    K    2  m 
4.08 107  49000 2
 2.04 10
7
 2.04 107
4.08 10  290400
7
12
12
1305
2.19912

10

1.56

10
2
 

7
288.12 10
221
2
0
9.1多质点体系地震作用计算
④求频率:
 D    K    2  m 
4.08 107  49000 2
 2.04 10
7
 2.04 107
4.08 10  290400
7
12
12
1305
2.19912

10

1.56

10
2
 

7
288.12 10
221
2
0
9.1多质点体系地震作用计算
⑤求振型:
由下式
2
K


   m   X   0
令X1j=1
 4.08 107  49000 2
 1  0 
 2.04  107
 

7
7
2
 2.04 10
4.08 10  290400   X  0 

1

 1  1.467


1

  2  1.135


9.1多质点体系地震作用计算
⑥振型参与系数:
n
 1  mI 
T
1 

m x
i
i 1
n
 1  m 1  m x
T
i
i 1
ji

2
ji
49000 1  29400 1.467
49000 1  29400  1.467 
2
2
 0.82
n
  2   mI 
T
2 

m x
i 1
n
i
  2   m  2   m x
T
i 1
i
ji
2
ji

49000 1  29400   1.135
49000 1  29400   1.135
2
2
 0.18
9.1多质点体系地震作用计算
⑦求地震影响系数

8度区
 max  0.16
I类场地上,设计地震分组第二组,
Tg  0.3
9.1多质点体系地震作用计算
⑦求地震影响系数

 max  0.16
Tg  0.3
T1 
2
1
 0.425
Tg  T1  0.425  5Tg
 Tg
1  
 T1
0.9

  max  0.117

T2 
2
2
 0.175
T2  0.175  Tg  0.3
 2   max  0.16
9.1多质点体系地震作用计算
⑧各阶振型地震作用:
第一阶振型地震作用
F11  1 1 x11G1  0.117  0.82 1 49000kg  9.81m / s 2  46.1kN
F12  1 1 x12G2  0.117  0.82 1.467  29400kg  9.81m / s 2  40.6kN
第二阶振型地震作用
F21   2 2 x21G1  0.16  0.18 1 49000kg  9.81m / s 2  13.84kN
F22   2 2 x22G2  0.16  0.18   1.135   29400kg  9.81m / s 2  9.43kN
9.1多质点体系地震作用计算
⑨组合地震剪力
第2层剪力
 40.6
  9.43 
V2  V j2  
kN   
kN   20.84kN
2
2

 

j 1
2
2
2
第1层剪力
 40.6  46.1   9.43  13.84

V1  V j2  
kN   
kN   43.4kN
2
2

 

j 1
2
2
2
复习
振型叠加反应谱法是现在世界各国计算地震作用的主要方法。多质点地震
作用计算的振型分解反应谱方法是基于以下两点来完成的:
1 .利用振型分解法,将其分解为n个单质点的体系进行计算;
2.应用单质点的反应谱进行地震作用的计算,然后将其结果加以组合。
9.1多质点体系地震作用计算
①单质点体系:
k
xg (t )

max
g
Sa
xg
max
  k
地震作用下,所产生的惯性力:
F  G k   G
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②多质点体系:
n
j 
m x
i 1
n
i
ji
2
m
x
 i ji
i 1
Fji   j j x jiGi
S
2
S
 j
9.1多质点体系地震作用计算

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