I sistemi rigidi - 6.16 MB

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Moto rotatorio
Il moto di un corpo rigido può essere descritto come costituito da un moto
traslatorio del suo centro di massa più un moto rotatorio attorno al suo centro di
massa.
Per moto puramente rotatorio intendiamo quel moto durante il quale tutti i
punti del corpo si muovono descrivendo una circonferenza. Ad esempio, il
punto P in figura ed i centri di queste circonferenze giacciono su una linea
chiamata asse di rotazione che è perpendicolare alla pagina e passa per il punto
O.
Per indicare la posizione angolare
del corpo o di quanto ha ruotato
specifichiamo l’angolo θ tra una
certa linea particolare del corpo
rispetto a una linea di riferimento,
come ad esempio l’asse x. Un punto
del corpo si muove lungo un angolo
θ quando percorre la distanza l
misurata lungo la circonferenza
tracciata nel suo cammino circolare.
Su una giostra, un bambino è seduto su un cavallo vicino al bordo più esterno
e un altro bambino è seduto su un leone a metà tra il bordo e il centro. Quale
dei due bambini ha velocità lineare maggiore? Quale dei due bambini ha
velocità angolare maggiore?
Il momento torcente
Momento torcente di un bicipite
Momento torcente su una ruota
composita
Quando su un corpo agisce più di un momento torcente, l’accelerazione α è
proporzionale al momento torcente risultante. Se tutti i momenti torcenti agenti su
un corpo tendono a ruotarlo nella stessa direzione, il momento torcente risultante è
la somma di tutti i momenti torcenti. Se i due momenti torcenti tendono a produrre
rotazioni opposte, il momento torcente risultante è la differenza dei due momenti
torcenti. Si può assegnare un segno positivo al momento torcente che tende a
ruotare il corpo in una certa direzione (diciamo antioraria) e un segno negativo al
momento torcente che agisce per ruotare il corpo in direzione opposta (oraria)
Solo la componente di F che
agisce nel piano perpendicolare
all’asse di rotazione agisce in
modo da far girare la ruota
attorno al suo asse. La
componente parallela all’asse di
rotazione tende a far muovere
l’asse stesso, che però si
assume fisso
Dinamica rotazionale e inerzia
Momento d’inerzia
Problemi di dinamica rotazionale
Due pesi di massa 5 Kg e 7 Kg sono montati su una barra leggera (la cui massa
può essere ignorata) a una distanza di 4 m l’uno dall’altro. Si calcoli il
momento di inerzia del sistema:
a. Quando il sistema ruota attorno a un asse equidistante dai due pesi;
b. Quando il sistema ruota intorno a un asse posto a 0.50 m a sinistra della
massa di 5 Kg.
Momento d’inerzia di sistemi
continui
Un disco uniforme di massa M=2.5 Kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo
orizzontale fisso. Un blocco m=1.2 Kg è appeso a un filo privo di massa avvolto
intorno al bordo del disco. Si calcoli l’accelerazione di caduta del blocco,
l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il
mozzo gira senza attrito.
Energia cinetica di un corpo rigido
Sfera che rotola lungo un piano
inclinato
Quale sarà la velocità di una sfera piena di massa M e raggio R quando
raggiunge la base di un piano inclinato, se parte da ferma da una altezza H e
rotola senza scivolare?
La macchina di Atwood reale
Chi arriva prima?
Diversi oggetti rotolano senza scivolare lungo un piano inclinato di altezza
H; tutti partono da fermi nello stesso istante. Gli oggetti sono: un anello
sottile, una biglia, una pila elettrica a forma di cilindro pieno, una lattina
vuota e una piena chiusa. In quale ordine essi raggiungono il fondo del piano
inclinato?
La scatola che scivola vince
sempre; la velocità di una sfera
che rotola è minore alla base del
piano inclinato di quella di una
scatola che scivola poiché
l’energia potenziale è trasformata
completamente in energia cinetica
traslazionale mentre per gli
oggetti che rotolano l’energia
potenziale iniziale si suddivide tra
energia cinetica traslazionale e
rotazionale
Lavoro del momento torcente
Il lavoro fatto su un corpo che ruota attorno a un asse fisso può essere
espresso utilizzando grandezze angolari. In figura, una forza F esercita un
momento torcente  =  ∙  sulla ruota, compie un lavoro  =  ∙ ∆ nel far
girare la ruota di un piccolo tratto ∆
∆
La ruota ha ruotato di un piccolo angolo ∆ = . Quindi:

 =  ∙ ∆ = ∆
Essendo  =  ∙  , si ha in definitiva:
 =  ∙ ∆
Il momento angolare
Così come le altre grandezze, anche la quantità di moto  =  ha un
analogo rotazionale che prende il nome di momento angolare L e, per un
corpo che ruota attorno a un asse fisso, è definita come:
 =∙
Le unità di misura SI sono  ∙ 2 /
La seconda legge di Newton può essere scritta in termini di quantità di
moto:
∆
=
∆
In modo del tutto simile, la legge =Iα può essere scritto in termini di
momento angolare, come:
∆   − 0
 − 0 ∆
=I ∙
=
=
=
∆
∆
∆
∆
La conservazione del momento
angolare
Il momento angolare è una quantità che, in alcune condizioni, si
conserva. Infatti, se il momento torcente su un corpo è zero, allora L
non varia. Cioè:
 = 0
Una massa m, attaccata a una estremità di una cordicella ruota lungo una
circonferenza sulla superficie di un tavolo priva di attrito. L’ altro capo della
cordicella passa attraverso un buco nel tavolo. Inizialmente la massa ruota con
una velocità 1 lungo una circonferenza di raggio 1 . La cordicella viene poi
tirata lentamente attraverso il foro, in modo che il raggio sia ridotto a 2 . Qual è
ora la nuova velocità 2 della massa?
La forza esercitata dalla
cordicella sulla massa m non
ne altera il momento
angolare attorno all’asse di
rotazione poiché essa è
diretta lungo l’asse per cui il
braccio della forza è nulla e
così pure il momento
torcente.
Quindi
dalla
conservazione del momento
angolare si ha:
1 1 = 2 2
La nostra piccola massa è essenzialmente una particella il cui momento
d’inerzia è  =
 2 .
Perciò si ha: 2 = 1 ∙
12
22
. Da cui si ricava v
Calcolare il momento torcente risultante rispetto all’asse della ruota mostrata. Si
assuma che un momento torcente dovuto all’attrito è 0.40 mN si opponga al
moto
I bulloni della testata di un motore devono essere serrati con un motore
torcente di 80 mN. Se la chiave è lunga 28 cm quale forza deve esercitare il
meccanico alla sua estremità e perpendicolarmente ad essa? Se la testa
esagonale del bullone ha un diametro di 15 mm, si calcoli la forza applicata
dalla chiave a ciascuno dei sei angoli.
Si calcoli il momento d’inerzia di una ruota da bicicletta del diametro di
66.7 cm. Il cerchione e il copertone hanno una massa totale di 1.25 Kg. La
massa del mozzo può essere ignorata? Perché?
Si calcoli il momento d’inerzia del sistema di oggetti puntiformi mostrati in
figura rispetto all’asse verticale e rispetto all’asse orizzontale. Si assuma che
gli oggetti siano tenuti insieme da pezzi rigidi di filo metallico molto
leggero. Intorno a quale asse sarà più difficile accelerare questo sistema?
Per far sì che un satellite cilindrico piatto e uniforme ruoti alla velocità
corretta, gli ingegneri hanno acceso quattro razzi come mostrato. Se il
satellite ha massa di 2600 Kg e un raggio di 3 m, quale deve essere la forza
stazionaria applicata da ciascun razzo se il satellite deve raggiungere 30 giri
per minuto in 5 minuti?
L’avambraccio mostrato in figura
fornisce a una palla di massa 3.6 Kg
una accelerazione di 7 / 2 per
mezzo del muscolo tricipite. Si
calcoli il momento torcente
necessario e la forza che deve essere
esercitata dal muscolo tricipite. Si
ignori la massa del braccio.
Assumendo che una palla di 1.50 Kg venga lanciata solo per mezzo
dell’avambraccio che ruota intorno all’articolazione del gomito sotto l’azione
del muscolo tricipite, la palla viene accelerata da ferma a 10 m/s in 0.350s e
quindi rilasciata. Si calcoli l’accelerazione angolare del braccio e la forza
occorrente al muscolo tricipite. Si supponga che l’avambraccio abbia una massa
di 3.70 Kg e ruoti come un bastone uniforme rispetto a un asse posto alle sue
estremità.
La pala del rotore di un elicottero può essere considerata un lungo bastone
sottile. Se ciascuna delle tre pale del rotore è lunga 3.75 m e ha una massa di 160
Kg si calcoli il momento d’inerzia delle tre pale rispetto all’asse di rotazione.
Quale momento torcente deve applicare il motore per portare le pale a una
velocità di 5 m/s in 8s?
Si considerino due masse collegate da una
corda inestensibile priva di massa che passa
sopra una carrucola . Se la carrucola ha
raggio R e un momento d’inerzia I rispetto
al suo asse, si determini l’accelerazione
delle due masse e la si confronti con la
situazione in cui il momento d’inerzia della
carrucola viene ignorato.
Se le due masse hanno un valore
rispettivamente 1 = 18  ed 2 =
126.5  . La carrucola è un cilindro
uniforme di raggio 0.260 m e la massa 7.50
Kg. Inizialmente 1 è appoggiata al terreno
e 2 è ferma a 3 m di altezza. Se il sistema
viene lasciato libero di muoversi, si utilizzi
la
conservazione
dell’energia
per
determinare la velocità di 2 appena prima
che colpisca il terreno
Una persona è ferma in piedi con le braccia distese lungo il corpo su una
piattaforma che sta ruotando alla velocità di 1.30 rad/s. se ora la persona
solleva le braccia in posizione orizzontale, la velocità di rotazione
decresce a 0.8 rad/s. Perché? Di che fattore è cambiato il momento
d’inerzia della persona?
Il pendolo fisico
Una piastra metallica rettangolare omogenea di
massa m, con lati b e c, è appesa a un asse
orizzontale ad essa e passante per il punto mediano
A del suo lato minore. Si determini la legge del
moto per piccole oscillazioni; si calcoli, in funzione
del tempo, la risultante e il momento risultante delle
reazioni vincolari.
La sola forza attiva è la forza peso; pertanto:
2 
 ×  =  2

Proiettando sull’asse a del momento della forza
peso:

 ×  = − 
2
Da cui:

2 
−  =  2
2

Per piccole oscillazioni  = :
 2  
+
=0
2

2
La soluzione è del tipo:
 = 0  0  + 
Il pendolo di torsione è costituito da un cilindro
omogeneo teso fra due vincoli A e B. Ruotando
inizialmente il cilindro di un angolo 0 e
abbandonandolo da fermo esso prende a oscillare
in virtù del momento assiale di richiamo  =
− con cui il filo reagisce alla torsione. Si avrà:
2 
− =  2

ovvero:
2  
+ =0
 2 
Una biglia di massa m e raggio r rotola lungo il percorso ruvido e piegato ad
anello come mostrato. Qual è il valore minimo di h perché la biglia raggiunga
il punto più alto dell’avvolgimento senza lasciare il percorso? Si consideri
prima il caso di r << R ignorando le perdite di energia dovute all’attrito. Si
ripeta il problema senza assumere r << R
Attorno ad un disco di massa M e raggio R è avvolta come mostrato in figura una
fune ideale al cui estremo è sospeso, in quiete, un blocchetto di massa m =
(3/2)M.
All’istante iniziale il blocchetto viene lasciato libero di muoversi causando la
rotazione del disco attorno all’asse passante per il suo centro O.
Sapendo che sull’asse di rotazione del disco si esercita un momento d’attrito
costante, tattrito, si studi il moto del sistema disco + blocchetto, calcolando
l’accelerazione angolare del disco, l’accelerazione del blocchetto e la tensione
della fune. Rispondere quindi alle seguenti domande, tenendo conto dei seguenti
1
dati numerici: (M=10 kg, R=20 cm, 0 = 2 , tattrito=5 Nm):
2
1. l’equazione del moto per il disco;
2. l’equazione del moto per il blocchetto;
3. l’accelerazione del blocchetto;
4. l’accelerazione angolare del disco;
5. la tensione T della fune
Il sistema rappresentato in figura consta di un disco, di massa M e di raggio R, che rotola senza
strisciare su di un piano orizzontale, di una carrucola ideale e di un blocco di massa m, posto su di un
piano scabro, inclinato di un angolo θ rispetto alla verticale. Il disco viene messo in moto da un filo
ideale, ovvero
inestensibile e privo di massa, teso, che è legato ad un estremo al centro O del disco, mediante un
gancio G di massa trascurabile, mostrato nel riquadro sinistro della figura, e all’altro suo estremo al
blocco.
Si assuma che il gancio sia sistemato in maniera tale da non produrre attrito sul disco, quando
quest’ultimo è in rotazione e che tra il blocco e il piano inclinato scabro il coefficiente di attrito
dinamico valga μ. Il sistema è inizialmente fermo. Si risolva il problema in condizioni dinamiche
utilizzando i seguenti dati numerici: M =2.00 Kg, m =1.00 Kg, , θ =30°; R=10.0 cm; d=1.60 m, μ = 3
/2 e di calcolino:
a.
La reazione vincolare normale al piano inclinato;
b. L’accelerazione del blocco
c.
Il modulo della tensione del filo
d.
Il modulo della forza di attrito tra il disco e
il piano orizzontale
a.
La velocità del centro di massa del disco
Si consideri un rocchetto di massa M costituito da due dischi laterali e da un
cilindro centrale saldati in modo da essere coassiali. I dischi laterali hanno
raggi 3R e il cilindro centrale ha raggio R. Il momento d’inerzia del rocchetto
rispetto al suo centro di simmetria vale 0 = 22 . Il rocchetto, collegato ad
una massa m tramite una fune ideale che si avvolge sul cilindro centrale di
raggio R scende lungo un piano inclinato di un angolo α rotolando senza
strisciare. Posto m=0.5 Kg, M= 6m, R=5 cm, sinα=1/3, si calcoli:
a. l’accelerazione lineare della massa m
b. L’accelerazione angolare del rocchetto
c. La tensione della fune
d. La forza di attrito

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