Document

Report
2012年度前期
第5回
前回の話
多変数関数の微分
y をある値に固定し,x がΔx 変化したとき f(x,y) が
変化する量を,1変数関数の微分と同じように考える.
f(x,y) の x に関する偏微分
f ( x, y )
x
z
x
z
y


f ( x, y )
x
f ( x, y )
y
 lim
x 0
 lim
y  0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
x
f ( x, y  y )  f ( x, y )
y
前回の話
多変数関数の微分

 = (, )
(, )

∆

 + ∆

 + ∆
∆



∆ =
∆ +
∆


∆ → 0, ∆ → 0
の極限をとって


 =
 +



全微分という

前回の話
3次元への拡張
, ,  の関数  = (, , )
全微分は,



 =  , ,  =
 +
 +




電束と電束密度
電場 E が存在する空間に任意の閉曲面を考える
n: 面に垂直で,外を向く単位ベクトル
dA:面積 dA の大きさを持ち,n の方向を向くベクトル
 = 
電場 E
電束 0  ∙  = 0  ∙ 
n
閉曲面
E に沿って E の大きさに比例する数の
電気力線の束が走っていると考える
電束は,面 dA を裏から表へ突き抜け
る電気力線の数
電束密度
位置 r の微小面積 dA
 = 0 
電束と電束密度
有限の大きさの面 S を通り抜ける電束は,微小面積
dA を通る電束の総和である
電場 E
面積分
n

 ∙  = 0
= 0
閉曲面
位置 r の微小面積 dA
 ∙ 

 ∙ 

ガウスの法則(Gauss’ law)
n
E
dA
r
q
q
: 点電荷(座標原点にあるとする)
閉曲面:原点を中心とする半径 R の球面
曲面上の全ての点で,電場E の大きさは

=
40 2
であるから,曲面全体で積分して

D  dA=
球
0
q
4  0 R
 4 R  q
2
2
●この式は,点電荷が球の中心になくても,曲面が球でなく,どんな形であっても成立する
●電荷が閉曲面の内部に無く,外部にある場合には,積分値は 0 になる
ガウスの法則(Gauss’ law)
n
E

D  dA 
閉曲面上
q
i
(点電荷のとき)
内部
dA
r
 q 

閉曲面内
 ( r ) dV (連続分布のとき)
ガウスの法則の積分形という
電荷が連続分布しているときには,電荷密度を ρ として
曲面内部の電荷


閉曲面内
 ( r ) dV ガウスの定理

∆, ∆, ∆ の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する
面1
∆
面2
∆
∆

面1を通る電束
− (, , )∆∆
面2を通る電束
 + ( + ∆, , )∆∆
x 方向に通る単位面積当りの電束量
  + ∆, ,  −  (, , )  (, , )
lim
=
∆→0
∆

ガウスの定理
∆, ∆, ∆ の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する

y ,z 方向に関しても同様のことが成り立つ
∆
∆
∆

微小体積 dxdydz を通る電束量
  
+
+
∙ 



  
   =
+
+
=∙



div D を D の発散(divergence)という
  
, ,
ナブラ演算子  =
  
ガウスの定理
∆, ∆, ∆ の三辺を持つ直方体を通る電束を計算する

y ,z 方向に関しても同様のことが成り立つ
∆
任意の閉曲面に対して
∆
表面

∆

 ∙  =
内部
  
ガウスの定理(Gauss’ theorem)
ガウスの法則(微分形)
内部
    =
表面
() ∙  =
内部
  
この関係が任意の閉曲面で囲まれた体積で成り立つ
ための条件
   =  
1
または    = ()
0
ガウスの法則の微分形という
電位(ポテンシャルエネルギー)
y
1
F 
q
4  0 r
2
d    Fdr
x
r

    dr (
dr
r
φ
 
r
1
4 
q
0
r
1
4 
q
0
r
2
)
電場と電位
電位φ の中で,単位電荷(1[C])を x から x+dx まで
運ぶのに必要な仕事を ΔW とする
(ただし、y,z は変えない)
x  W   ( x  dx , y , z )   ( x , y , z )
x
x+dx


dx
x
一方で,電場 E に対してする仕事は,おなじ
道筋での移動について  W   E  dx   E dx
x

Ex  

x
電場と電位
y 方向,z 方向に対しても同様にして


Ey  
y
Ez  
z
従って,まとめると
 

 

E   
,
,
y
z 
 x
E      grad 
電場とは,電位の勾配である

similar documents