Skaalatuotot - Aalto

Report
Skaalatuotot
Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari
Kevät 2013
Esitelmä 4
Ilkka Lampio
30.01.2013
Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.
Sisältö
• Skaalatuotot (Returns to Scale)
– Määritelmät
– BCC
– CCR
•
•
•
•
Optimi skaalakoko (Most Productive Scale Size, MPSS)
Skaalatehokkuus (Scale Efficiency)
Esimerkki
Kotitehtävä
Skaalatuotot
(Returns to Scale)
Skaalatuotot - määritelmä
• 3 eri skaalatuottoa:
– Jos kaikki panokset kaksinkertaistetaan, niin tuotokselle voi
tapahtua kolme asiaa:
• Tuotos kasvaa yli kaksinkertaiseksi
 Kasvava skaalatuotto (Increasing Returns to Scale)
• Tuotos kasvaa tasan kaksinkertaiseksi
 Vakioskaalatuotto (Constant Returns to Scale)
• Tuotos kasvaa vähemmän kuin kaksinkertaiseksi
 Laskeva skaalatuotto (Decreasing Returns to Scale)
• Huom! Returns to scale ≠ Economies of scale
• Economies of scale viittaa ainoastaan aleneviin
yksikkökustannuksiin, skaalatuotto viittaa tuotantofunktioon,
jossa on mukana kaikki käytettävät panokset
Skaalatuotot - määritelmä
(1)
• Määritelmä
– Tuotantofunktio  = ()
• Koostuu teknisesti tehokkaista
tuotantomahdollisuuksista
– Keskituottavuus (average productivity)
. . = /
– Marginaalituottavuus (marginal
productivity) . . = /
– Jousto (elasticity) () =
Kuva 01
Tuotantofunktio, a.p. ja m.p.
. .  
=
. .  
• () < 1  laskeva skaalatuotto
• () = 1  vakioskaalatuotto
• () > 1  kasvava skaalatuotto
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - määritelmä
• Jousto (()) kertoo tuotoksen suhteellisen muutoksen
verrattuna panoksen suhteelliseen muutokseen
• Edellisen sivun malli on voimassa vain kun
tuotantofunktion kaikki tuotantomahdollisuudet ovat
teknisesti tehokkaita
– Yksinkertaisissa tehtävissä myös keskituottavuudella ja
marginaalituottavuudella voidaan optimoida esim. yrityksen
voittoa
– Käytetyin versio kansantaloustieteen perusteoksissa
– Entä jos mukana pisteitä, jotka eivät ole teknisesti tehokkaita?
Skaalatuotot - BCC
• Aikaisemmin mainittu duaaliversio BCC-mallista:
Kuva 02
(0 )
(1)
• Jos oletetaan, että (0 , 0 ) on tehokkaalla rintamalla, niin
pätee:
– Vakioskaalatuotto pisteessä (0 , 0 ), jos ja vain jos *0 = 0 millä
tahansa optimipisteellä
– Laskeva skaalatuotto pisteessä (0 , 0 ), jos *0 > 0 kaikilla optimeilla
*
– Kasvava skaalatuotto pisteessä (0 , 0 ), jos 0 < 0 kaikilla optimeilla
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - BCC
• Kaikkien optimiratkaisuiden ratkaiseminen sekä
tehokkuusrintamaehto voidaan välttää projektoimalla piste
(0 , 0 ) pisteeseen (0 , 0 ), joka on tehokkaalla rintamalla
– Duaalimalli voidaan korvata seuraavalla:
(1)
Kuva 03
BCC-projektio
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - BCC
(1)
• Esimerkki
– Tarkatellaan pistettä E, joka
ei ole BCC-tehokkaalla
rintamalla
– E’ on E:n BCC-tehokas
projektio
– Huom!
Kuva 04
Esimerkki
• Esimerkissä kuvan 03
kaavaa on muokattu, koska
ensimmäisen vaiheen
ratkaisun mukaan *0 > 0
– max  min
– 0 ≤ 0  0 ≥ 0
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - BCC
• Esimerkki jatkuu
min
. .
0
Kuva 05
− +  − 0 ≤ 0
− 3 2  + 2 − 0 ≤ 0
−3  + 4 − 0 ≤ 0
−4  + 5 − 0 ≤ 0
− 7 2  + 2 − 0 ≤ 0
7 =1
2
9 − =1
0
2
,  ≥ 0,
0 ≥ 0
• Optimiratkaisu (min) on 0* = 2
7
 Laskeva skaalatuotto (koska >0)
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
(1)
Skaalatuotot - CCR
• CCR-tehokkailla pisteillä on vakioskaalatuotto
– Mallia voidaan kuitenkin käyttää myös muiden skaalatuottojen
selvittämiseen
• CCR-mallille pätee:
– Olkoon (0 , 0 ) tehokkaalla rintamalla. Pisteen skaalatuotto voidaan
määrittää CCR-mallin optimiratkaisusta (1 , … ,  ) seuraavilla ehdoilla:









* = 1
ä ℎ  ⇒ 
* > 1
  ⇒  
 * < 1
  ⇒  
Skaalatuotot - CCR
• Kuten BCC-mallissa, CCR-mallissa voidaan myös
välttää tehokkaan rintaman ehto sekä kaikkien optimien
ratkaiseminen
– Käytetään ns. kaksivaiheista ratkaisua, jossa ensin ratkaistaan
0*, jonka jälkeen ratkaistaan seuraava optimointiongelma:
(1)
Kuva 06
Tehokkuuden määritys
(1)
Kuva 07
Skaalatuoton määritys CCR:lla
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - CCR
• Esimerkki 1
(1)
– Tutkitaan pistettä A, joka ei
ole CCR-tehokkaalla
rintamalla
– Ensimmäisen vaiheen
ratkaisun mukaan min (0 ) =
0* = ¾
• * = 1 2 tai * = 1
muut = 0
– 

*
=1 
4
Kuva 08
Esimerkki
sekä
<1
– Joten kuvan 07 kaavaa
täytyy muokata
– Min -> max
– 1 ≤ =1 * → 1 ≥ =1 *
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - CCR
• Esimerkki 1 jatkuu
Kuva 09
(1)
max ( +  +  +  +  ) + ( − +  + )
s. e.
0 0 = 3 4 = 1 + 3 2  + 3 + 4 + 4 +  −
0 = 1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 9 2  ) −  +
1 ≥  +  +  +  + 
0 ≤  ,  ,  ,  ,  ,  − ,  +
*
• Optimiratkaisu (max) on  = 1 2
muiden muuttujien ollessa nolla
 Kasvava skaalatuotto (koska <1)
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - CCR
• Esimerkki 2
(1)
– Tutkitaan uudelleen pistettä E,
joka ei ole CCR-tehokkaalla
rintamalla eikä BCCtehokkaalla rintamalla
– Ensimmäisen vaiheen
ratkaisun mukaan min (0 ) =
0* = 27/32
• * = 9 4 tai * = 9
muut = 0
– 
*

=1  >
8
Kuva 10
Esimerkki
sekä
1
– Joten käytetään suoraan
kuvan 07 kaavaa
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot - CCR
• Esimerkki 2 jatkuu
Kuva 11
(1)
min ( +  +  +  +  ) + ( − +  + )
s. e.
0 0 =
27
= 1 + 3 2  + 3 + 4 + 4 +  −
8
9
0 = = 1 + 2 + 4 + 5 + 9 2  ) −  +
2
1 ≤  +  +  +  + 
0 ≤  ,  ,  ,  ,  ,  − ,  +
*
• Optimiratkaisu (min) on  = 9 4
muiden muuttujien ollessa nolla
 Laskeva skaalatuotto (koska >1)
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatuotot – BCC ja CCR
• CCR-mallilla voidaan siis tutkia myös BCC-tehokkaita ja BCCepätehokkaita DMU:ta
– Seuraavat relaatiot pätevät:
0* > 0   −  ,    

=1
* > 1    −  
 Laskeva skaalatuotto
0* < 0   −  ,    

=1
*
 < 1    −  
 Nouseva skaalatuotto
0* = 0   −  ,    

=1
*
 = 1    −  
 Vakioskaalatuotto
Optimi skaalakoko
(Most Productive Scale Size)
Optimi skaalakoko - määritelmä
• Optimi skaalakoko (Most productive scale size,

MPSS) on annetuille tuotos-panosmax

yhdistelmälle sellainen skaalakoko, joka

maksimoi tuotetut tuotokset per panokset
s. e. 0 ≤
 
• Jos DMU on CCR-tehokas, niin se on myös
=1

BCC-tehokas ja tällöin sillä esiintyy
0 ≥
 
vakioskaalatuotto
=1
– Tällainen DMU on optimi skaalakoko

• Jotta DMU olisi MPSS, on oltava:
* *
max /
= 1, jolloin on voimassa
vakioskaalatuotto sekä kaikkien slackmuuttujien on oltava nolla
1=

=1
0 ≤ , 
Optimi skaalakoko - esimerkki
(1)
• Tutkitaan pistettä D:


9
5 ≤ 1 + 2 + 4 + 5 + 
2
3
4 ≥ 1 +  + 3 + 4 + 4
2
Kuva 12
Esimerkki
max
1 =  +  +  +  + 
0 ≤  , … , 
• Maksimoituu, kun * = 1 tai * = 1
*
jolloin / *= 16/15
 ei optimi skaalakoko (MPSS)
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatehokkuus
(Scale Efficiency)
Skaalatehokkuus
• CCR-pisteitä kutsutaan globaaliksi tekniseksi tehokkuudeksi
• BCC-pisteitä kutsutaan puhtaaksi paikalliseksi tehokkuudeksi
• Skaalatehokkuus (scale efficiency):
*
  − ℎ
 = * =
  − ℎ
• Jos DMU on BCC-tehokas, mutta sillä on huonot CCRpisteet, niin se on paikallisesti tehokas, muttei globaalisti
skaalakoon takia
– DMU joka on MPSS on siis sekä BCC- että CCR-tehokas ja sen
skaalatehokkuus = 1
Skaalatehokkuus
• Yksinkertainen esimerkki:
– BCC-tehokkaan A:N
skaalatehokkuus:
  = *  =
(1)
Kuva 13
Skaalatehokkuudet

<1

– Optimi skaalakokoisilla B:llä ja
C:llä skaalatehokkuus = 1
  =   = 1
– BCC-epätehokkaalla E:llä:
  =

<1

(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Skaalatehokkuus
• Slack-perusteinen tehokkuus (Slack-based measure of
efficiency, SBM) mittaa myös DMU:n tehokkuutta
– (Ei-radiaalinen tehokkuuden mitta)

min
. .

1
=1−

0 =  +

=1
−
 −

0 =  −  +
 ≥ 0,  − ≥ 0,  + ≥ 0
•  =  jos CCR-mallissa ei ole slack-muuttujia
yhdessäkään optimiratkaisussa
*
• MIX-tehokkuus:

 =

*

≤1
Esimerkki - Pankkifuusio
Esimerkki – Pankkifuusio
• Tausta
– Japanissa vaikea taloustilanne 1990-luvulla
– Rahoituslaitokset vaikeuksissa
• Lainojen vakuutena olevien rakennusten ja tonttien arvon
romahtaminen
• Paineet konsolidaatioon ja alan uudelleenjärjestelyihin
• Jako paikallis- ja kaupunkipankkeihin (pienet ja suuret)
– Tarkastelemme seuraavaksi yhtätoista paikallispankkia ja
yhdeksää kaupunkipankkia CCR- ja BCC-tehokkuuksien sekä
skaalatuottojen kannalta
• Tutkitaan olisiko fuusio sopiva tapa tehokkuuden parantamiseen
Esimerkki – Pankkifuusio
(1)
• Lähtötiedot
– Kolme panosta: toimipaikkojen
lukumäärä, työntekijöiden
lukumäärä ja varat (assets)
– Yksi tuotos: voitto
– Luvut ovat kolmen vuoden
keskiarvot vuosilta 1995, 1996
ja 1997
– Seuraavaksi pankeille on
laskettu CCR-, BCC ja
skaalatehokkuudet sekä
skaalatuotto-ominaisuudet
Taulukko 01
Paikallis- ja kaupunkipankit
No.
Branch
Employee
Assets**
Profits**
R1
Aomori
Bank
112
1 894
2 024 205
13 553
R2
Michinoku
111
1 727
1 702 017
16 540
R3
Iwate
123
1 843
2 048 014
14 760
R4
Tohoku
56
792
600 796
3 782
R5
Kita-Nippon
86
1 422
1 173 778
8 700
R6
Akita
111
1 841
2 290 274
18 590
R7
Hokuto
105
1 633
1 361 498
9 699
R8
Shonai
64
889
668 236
5 605
R9
Yamagata
90
1 611
1 563 930
9 993
R10
Yamagatashiawase
69
1 036
654 338
3 525
R11
Shokusan
73
1 011
656 794
3 177
C1
Dai-ichi Kangyo
407
17 837
53 438 938
411 149
C2
Sakura
529
18 805
52 535 262
302 901
C3
Fuji
363
15 188
51 368 976
371 364
C4
Tokyo Mitsubishi
419
20 235
78 170 694
504 422
C5
Asahi
436
13 149
29 531 193
170 835
C6
Sanwa
395
13 998
52 999 340
399 398
C7
Sumitomo
397
15 710
56 468 571
353 531
C8
Daiwa
218
8 671
16 665 673
112 121
C9
Tokai
305
11 546
31 376 180
186 640
** Million yen
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Esimerkki – Pankkifuusio
(1)
• Tulokset
– Kaupunkipankit ovat yleisesti
paikallispankkeja tehokkaampi
CCR:n mukaan
– BCC-pisteissä paikallisten ja
kaupunkipankkien välillä ei ole
selkeää eroa
– Vakioskaalatuottoiset pankit ovat
optimi skaalakokoisia (MPSS)
– Jos pankilla on kasvava
skaalatuotto, niin tehokkuutta
voidaan parantaa skaalaamalla
toimintoja
– Skaalapisteet = CCR/BCC (=SE)
Taulukko 02
Tehokkuudet ja skaalatuotot
Bank
No.
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
R11
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
Average
CCR
Score
Reference
0,714
R2 C1
1
0,768
R2 C6
0,648
R2
0,763
R2
0,89
R2 C1 C6
0,733
R2
0,863
R2
0,676
R2 C1
0,554
R2
0,5
R2
Score
0,764
1
0,8
1
0,854
0,913
0,777
1
0,777
0,918
0,915
RTS
Incr
Const
Incr
Incr
Incr
Incr
Incr
Incr
Incr
Incr
Incr
1
0,742
0,981
1
0,728
1
0,854
0,853
0,766
0,802
1
0,747
0,99
1
0,743
1
0,866
0,854
0,766
0,884
Const
Const
Incr
Const
Const
Const
Incr
Const
Incr
R2 C1 C6
C1 C4 C6
R2 C1
C1 C4 C6
R2 C1
R2 C1
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
BCC
Scale
Score
0,935
1
0,96
0,648
0,893
0,977
0,943
0,863
0,87
0,603
0,544
1
0,993
0,991
1
0,98
1
0,986
0,999
1
0,909
Esimerkki – Pankkifuusio
• Fuusio
(1)
Taulukko 03
Painot, ylijäämät ja projektiot
– Fuusioidaan pankit R9 ja
R10, joilla on heikot CCRpisteet
• v3 > 0 eli varat panoksen
painot ovat positiiviset
 varojen vähennys
parantaa CCR-tehokkuutta
• Ylijäämän eliminointi
erityisesti työntekijöiden
kohdalla
– Käytetään BCC-projektion
mukaisia lukuja fuusioidulle
pankille
CCR
Bank
R9
R10
Weights
Slacks
Branch Employee Assets Branch Employee
v1
v2
v3
s1 (-)
s2 (-)
2,38E-03
0
5,02E-07
0
110
0
0
1,53E-07
15
206
Assets
s3 (-)
0
0
Bank
No.
R9
CCR Projection
BCC Projection
Branch Employee Assets Branch Employee Assets
60
978
1 056 915
69
1 095
1 215 757
(-29%)
(-39%)
(-32%) (-22%)
(-32%)
(-22%)
R10
23
(-66%)
368
(-64%)
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
362 760
(-45%)
56
(-19%)
792
(-24%)
600 796
(-8%)
Esimerkki – Pankkifuusio
– BCC-projektion mukaisilla
panosten vähennyksillä
fuusioitu R12 ei ole CCReikä BCC-tehokas, ja sillä
on kasvava skaalatuotto
(1)
Taulukko 04
BBC-projektoitujen R9:n ja R10:n
ja fuusioidun R12:n tehokkuudet
• Toisaalta R12:lla hyvä
skaalatehokkuus
– CCR-projektion mukaisilla
radikaaleilla panosten
vähennyksillä saavutetaan
fuusiolle CCR- ja BCCtehokkuus
Bank
R9'
R10'
R12
Branch Employee Assets
69
1095
1 215 757
56
792
600 796
125
1887
1 419 675
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
CCR
0,877
0,604
0,766
BCC
1
1
0,78
RTS
Incr
Incr
Incr
Scale
0,877
0,604
0,982
Esimerkki – Pankkifuusio
• Yhteenveto
– Yhdistämällä kaksi
paikallisesti (BCC) tehokasta
DMU:ta summaamalla niiden
panokset ja tuotokset saadaan
uusi DMU, joka ei ole BCCeikä CCR- tehokas, jos kaikilla
kolmella DMU:lla on kasvavat
skaalatuotot
– Skaalatehokkuudesta, CCR- ja
BCC pisteistä voi päätellä
mistä mahdollinen
tehottomuus johtuu
(1)
Kuva 14
Fuusio ei ole välttämättä tehokas
(1) Lähde:
William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone: Data Envelopment Analysis: A
Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software
Lähteet & lisätietoa
• William W. Cooper, Lawrence M. Seiford, Kaoru Tone:
Data Envelopment Analysis: A Comprehensive Text with
Models, Applications, References and DEA-Solver
Software
• Banker, R.D., 1984. Estimating most productive scale
size using data envelopment analysis, European
Journal of Operational Research 17/1, s. 35-44
• Banker, R.D., Thrall, R.M., 1992. Estimation of returns
to scale using data envelopment analysis, European
Journal of Operational Research 62/1, s. 74-84
Kotitehtävä
• Oheisessa Excel-tiedostossa on esitetty kalastusaluksen
kalasaalis (y) työntekijöiden (x) määrän funktiona
– Esitä tuotantofunktio graafisesti
– Määritä keskituottavuus ja marginaalituottavuus (ja esitä ne graafisesti)
• Millä x:n arvoilla esiintyy:
• Kasvava skaalatuotto?
• Vakioskaalatuotto?
• Laskeva skaalatuotto?
– Millä x:n arvolla…
• Kalasaalis/työntekijä on suurin?
• Liikevaihto maksimoituu?
• Voitto maksimoituu?
• (Kalasaaliin marginaaliarvo vs. uuden työntekijän palkkakustannus?)
Kiitos!

similar documents