2014 FTU2 Chương 7

Report
CHƯƠNG 7
ƯỚC LƯỢNG
THAM SỐ
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
Nhắc lại thống kê mẫu
• Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần
trong mẫu.
• Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê
mẫu có dạng:
•
T=f(X1;X2;…;Xn)
• Thống kê T cũng là một bnn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Ước lượng
Tổng thể có tham số  chưa biết.
Ta muốn xác định tham số này.
Lấy một mẫu cỡ n.
Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị
của tham số  của tổng thể.
• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.
• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.
•
•
•
•
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
3
Ước lượng
• Ước lượng điểm: không chệch, hiệu quả, vững…
• Ước lượng khoảng: đối xứng, một phía, hai
phía…
• Ta chỉ xét ước lượng khoảng đối xứng
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
4
Ước lượng điểm
• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của
tham số  chưa biết của tổng thể.
• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T
nào đó của mẫu ngẫu nhiên.
• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng
được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .
• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch,
hiệu quả, vững …
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
5
Ước lượng không chệch (ƯLKC)
• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng
không chệch của tham số  nếu:
E (T )  
• Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước
lượng chệch (ƯLC) của tham số .
• Độ chệch của ước lượng:
E (T )  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
6
Ví dụ 1
• Trong chương 6 ta có:
• Vậy:
E X
X l aøÖL k hoâ
n g cheä
c h cuû
a
E S
 
F l aøÖL k hoâ
n g cheä
c h cuû
ap
S
S
2
l aøÖL k hoâ
n g cheä
c h cuû
a
*2
, S
2
l aøÖL cheä
ch 
2
*2
 
2
2

E S
E S
2


2
 n  1


2
n
2
E F   p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
7
Ước lượng KC tốt hơn
• Cho X, Y là hai ULKC của tham số .
• Có nghĩa là:
EX

• Nếu:
V
E Y

 X   V Y 
• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai
nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh
tham số  nhiều hơn).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
8
Ví dụ 1.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).
a) CMR: các thống kê sau:
Z1  X 1 ;
Z2 
X1  X 2
2
;
Zn 
X 1  X 2  ...  X n
n
đều là các ước lượng không chệch của .
b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
9
Ước lượng hiệu quả
• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu
quả của tham số  nếu:
• T là ULKC của 
• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng
trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.
• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao
để đánh giá.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
10
BĐT Cramer-Rao
• Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn
có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.
• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có:
V ar  T  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
  ln  f  X ,    
nE 






2
Nguyễn Văn Tiến
11
Ví dụ 2.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể
có kì vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
Z1  2
X 1  2 X 2  ...  nX n
n  n  1
; X 
X 1  X 2  ...  X n
n
a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
12
Ví dụ 3
• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR:
X là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ.
Giải.
Dễ thấy X là ước lượng không chệch và:
 
Var X 

2
n
• Hàm ppxs của tổng thể:
f  x ,   f  x ,   
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1

2

e
 x  
2
2
2
Nguyễn Văn Tiến
13
Ví dụ 3
• Ta có:

 l n f  x,  


2

x

 
 ln 
2

2





2 




x

2
• Và:
2
2
X
1
1
E
  4 EX    2
2


 

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
14
Ví dụ 3
• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:
Var  T  
1

  l n f  X ,
nE 








2


2
 
 Var X
n
• Vậy thống kê X là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất
trong các ước lượng không chệch của tham số μ
của tổng thể
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
15
Các ULHQ
• Ta chứng minh được:
X l aøÖL H Q cuû
a .
S , S l aøÖL H Q cuû
a  .
2
*2
2
F l aøÖL H Q cuû
a p.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
16
Ước lượng vững
• Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn)
• Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ
nếu:


l i m P Tn      1,    0
n  
• Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất
đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng.
• Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT
Chebyshev (Trê bư sép).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Các ước lượng vững
• Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:
X l aøÖL V cuû
a .
  , S 
2
2
S , S
*
2
l aøÖL V cuû
a  .
2
F l aøÖL V cuû
a p.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
18
Tóm lại
X l aøÖL K C, ÖL H Q, ÖL V cuû
a .
2
 
*
S , S
2
l aøÖL K C, ÖL H Q, ÖL V cuû
a  .
2
F l aøÖL K C, ÖL H Q, ÖL V cuû
a p.
• Do vậy ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng
các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
19
Ôn tập
• Một thống kê mẫu là một hàm của các biến
ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là
một biến ngẫu nhiên?
• Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả
của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?
• Tổng của hai ước lượng không chệch là một
ước lượng không chệch?
• Phương sai mẫu là ước lượng không chệch,
hiệu quả của phương sai của bnn gốc?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
20
Ước lượng khoảng
• Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa
vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao
cho:
P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.
Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham
số  với độ tin cậy (1 - ) .
Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
21
Ước lượng khoảng
•
•
•
•
•
(a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
(1 - ): độ tin cậy của ước lượng.
|b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
ε : độ chính xác (sai số).
Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao
nhiêu thì phù hợp.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
22
Phân phối của trung bình mẫu
Tổng thể
Trung bình mẫu
Kích thước mẫu
 2 
X ~ N  ;

n 

Tùy ý
Không chuẩn
 2 
X  N  ;

n 

n>30
Không chuẩn
nhưng đối
xứng.
 2 
X  N  ;

n


Có thể được với
n nhỏ.
X ~ N   ;
2

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
23
Chuẩn hóa ppxs
Tổng thể
TB mẫu
Chuẩn,
đã biết 
 2 
X ~ N  ;

n 

n>30,
đã biết 
 2 
X  N  ;

n 

n>30,
chưa biết 
 2 
X  N  ;

n


Chuẩn, n<30
chưa biết 
 2 
X ~ N  ;

n


Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Chuẩn hóa
Z 
Z 
Z 
X

n
~ N  0;1 
n
~ N  0;1 
n
~ t  n  1
n
~ t  n  1

X


X

S
Z 
X

S
Nguyễn Văn Tiến
24
Tìm khoảng ước lượng cho 
• Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác
định).
• Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho
Z.
• Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho
tham số .
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
25
Khoảng tin cậy
• Khoảng tin cậy hai phía của μ:
   a; b 
• Kết quả:
X ; X  
  t 1 
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

n
Nguyễn Văn Tiến
26
Nhớ các khoảng tin cậy_th 3
• Trường hợp 3 ta thay  bằng s. Nguyên nhân: S
là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,…
của .
X ; X  
  t 1 
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
S
n
Nguyễn Văn Tiến
27
Nhớ các khoảng tin cậy_th 4
• Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết
. Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong
bảng t.
X ; X  
  t  n  1
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
S
n
Nguyễn Văn Tiến
28
Cách làm bài
• Xác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm
định
• Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai
hay tỷ lệ tổng thể.
• Xác định khoảng tin cậy
• Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn
• Tính độ chính xác 
• Thay vào công thức và kết luận.
• Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu;
tìm độ tin cậy.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
29
Ví dụ 1
• Một trường đại học thực hiện về nghiên cứu
số giờ tự học của sinh viên trong 1 tuần. Chọn
ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy số giờ tự
học trong tuần trung bình là 18,36 giờ, độ lệch
chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ. Với độ tin cậy 95%,
hãy ước lượng số giờ tự học trung bình của
sinh viên trường này trong một tuần.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
30
Ví dụ 2
• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang)
được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả
thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình
một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển
bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng
tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử
rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày
có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy
ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi
trong một ngày.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
31
Ví dụ 3.
• Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng
thời gian trung bình của một cuộc điện thoại
đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy
95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài
vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại
trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp
chuẩn
• Đáp số: 12,1791;17, 4208 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
32
Ví dụ 4
Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong
một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16
công nhân khảo sát:
Lương tháng
0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5
Số công nhân
1
1
2
2
2
3 2
2
1
a. Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình
hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.
b. Giả sử chưa biết . Hãy ước lượng với độ tin cậy 99%
cho mức lương trung bình. Để có sai số  0,08 triệu
đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
33
Phân phối của tỷ lệ mẫu
Tổng thể
Phân phối
B(1,p)
Kích thước mẫu
Tỷ lệ mẫu
F

p 1  p  
N  p;

n


Z 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
F
 p
n
p (1  p )
n>30
~ N  0,1 
Nguyễn Văn Tiến
34
Bài toán
• Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào
đó).
• Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).
• Tìm cách ước lượng khoảng tỷ lệ p này với độ
tin cậy (1-).
• Cách làm: giống như phần ước lượng trung
bình.
p  1  p   F (1  F )
• Khác: ta xấp xỉ:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
35
Nhớ các khoảng tin cậy
• Hai phía:
F ;F   
  t 1 
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
F 1  F

n
Nguyễn Văn Tiến
36
Ví dụ
• Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước
lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa
đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra
mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34
người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa.
• Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh
kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?
• Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
37
Ước lượng phương sai
• Tổng thể có phân phối chuẩn (nếu không cần
lấy mẫu trên 30).
• Phương sai tổng thể chưa biết.
• Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai
với độ tin cậy (1-).
• Biết  hoặc chưa biết .
• Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ
lệ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
38
Phân phối của hàm PS mẫu
Tổng thể
PS mẫu
Chuẩn,
đã biết 
S
*

Hàm của PS mẫu
2
Z 
Không chuẩn * 2
S  ,  n  30 

đã biết 
S
Chuẩn
chưa biết 
Không chuẩn
chưa biết 

2

i 1
2
 Xi   





2
n
2
S ,  n  30 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

n
Z ~ 
Z 
2
nS
*2
 n  1 S

2
Z ~ 
2
n


i 1
2
 Xi  X 





2
 n  1
Nguyễn Văn Tiến
39
Nhớ các khoảng tin cậy_TH1
• Hai phía:


*2
 nS * 2

nS


;
 
 


  n    n 1   
2 
 2 


Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
40
Nhớ các khoảng tin cậy_TH2
• Hai phía:


  n  1 S 2
 n  1 S 2 


;
 
 


  n 1    n 1  1   
2 
 2 


Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
41
Ví dụ
• Một nhà sản xuất quan tâm đến biến thiên của
tỉ lệ tạp chất trong một loại hương liệu được
cung cấp. Chọn ngẫu nhiên 15 mẫu hương liệu
thì thấy độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh về tỉ lệ tạp
chất là 2,36%. Giả sử tỷ lệ tạp chất có phân phối
chuẩn. Ước lượng phương sai về tỉ lệ tạp chất
trong hương liệu với độ tin cậy 95%.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
42
Bài 1
• Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí
nghiệp thì thấy lương trung bình là 1,35 triệu
đồng/tháng. Giả sử lương công nhân tuân theo
qui luật chuẩn với σ=0,2 triệu đồng.
a)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức lương
trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?
b)Với độ tin cậy 98% hãy tìm khoảng ước lượng
cho mức lương trung bình của công nhân trong
toàn xí nghiệp?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
43
Bài 2
• Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự
thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã
hiệu chỉnh là 1,5.
a) Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của
toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%?
b) Với sai số 0,5 điểm. Hãy xác định độ tin cậy?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
44
Bài 3
• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo
qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.
a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì
thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h.
Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng
đèn với độ tin cậy 95%?
b) Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin
cậy?
c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là
95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
45
Bài 4
• Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên
400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm
loại A.
a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng
với độ tin cậy 96%?
b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm
loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?
c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô
hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy
99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
46
Bài 6
• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt
2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó
người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị
đánh dấu.
Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao
nhiêu con?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
47
Bài 7
• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho
đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp
thấy có 11 hộp xấu.
a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp
với độ tin cậy 94%?
b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin
cậy?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
48
Bài 8
• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản
phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản
phẩm ta có kết quả sau:
X 19,5 20 20,5
ni 5 18 2
• Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95%
trong 2 trường hợp:
a) Biết kỳ vọng là 20?
b) Không biết kỳ vọng?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
49
Bài 9
• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở
FTU ta có bảng sau:
Số
lượt
700800
800900
9001000
Số
ngày
9
18
30
1000- 1100- 1200- 1300- 14001100 1200 1300 1400 1500
25
14
11
9
5
• Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là
những ngày đông.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
50
Bài 9
a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU
với độ tin cậy 99%.
b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên,
nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8%
thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?
c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày
với độ tin cậy 95% biết
• Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày
• Không biết số lượt gửi xe trung bình
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
51
Bài 10
• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động
với trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu
nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta
thấy:
Trọng lượng bao (kg)
25
26
27
28
29
Số bao
8
10
10
8
5
a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình
một bao gạo với độ tin cậy 95%.
b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở
xuống trong kho với độ tin cậy 90%.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
52

similar documents