Kap 12

Report
Corporate Finance
Kap 12
The capital asset pricing model
CAPM
Kapitalverdimodellen
Vi bygger videre på porteføljeteori. I praksis er det et stort antall usikre aktiva som kan
settes sammen til en portefølje:

Alle punkter i det skraverte

området er teoretiske mulige
sammensetninger av porteføljer.


Men bare punkter på det
heltrukne linjestykket a-M-D er
effisiente.


For alle andre punkter er slik at
det finnes punkter på a-M-D
som har samme risiko men
større forventet avkastning.

Om det også finnes et risikofritt aktivum vil en oppnå størst mulig forventning hvis en
kombinerer det risikofrie aktivum med porteføljen av risikable aktiva som utgjør
tangeringspunktet M. Om en investerer i det risikofrie aktivum skjer tilpassingen langs
RF – M. Skjer tilpassingen langs M-N tar en opp risikofritt lån for delvis å finansiere
investeringen. Alle vil følgelig velge å investere i markedsporteføljen M.
Separasjon
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Alle som investerer i risikable aktiva vil velge den samme sammensetningen av
porteføljen (av risikable aktiva), nemlig porteføljen som utgjør punktet M.
Preferansene avgjør kun om en vil låne eller investere i det risikofrie aktivum.
Vi har altså SEPARASJON:
Investeringene i usikre aktiva kan bestemmes uten hensyn til personlige preferanser.
Dette tilsvarer situasjonen under sikkerhet: Investeringene bestemmes uavhengig av
personlige preferanser – kun beslutninger om sparing eller låneopptak avhenger av
preferansene.
Porteføljen M vil altså holdes av alle investorer, og består av de samme risikable
aktiva, med de samme relative vektandeler, uansett investors preferanser.
Eneste forskjell mellom investorene vil være det absolutte kronebeløp investert i M.
Hvis et aktivum ikke er med i M, så vil ingen ønske å kjøpe det. Følgelig må prisen
synke. Dermed vil den relative avkastningen øke, helt til det blir attraktivt nok til å
inngå i M, markedsporteføljen.
Følgelig, i markedslikevekt må alle risikable aktiva være inneholdt i M.
Dermed må også andelen av hvert aktivum i en hvilken som helst portefølje tilsvare
aktivumets markedsverdi i forhold til markedsverdien av alle aktiva.
Porteføljeteori
M
Risikofritt
Ny portefølje
Avkastning



 =  ∙  + 1 −  ∙ 
Forventning
 =  
 =  
 =  
 =  ∙  + 1 −  ∙ 
 2 =  
0
 2 =  
Varians
Kovarians
 , =   ,  = 0
Vektandel
1−

E  RP 
P
M
=
2
∙  2
 2 = 1 −  ∙  
1
Standardavviket til porteføljen er altså lik:
w  1
 2 = 1 − 
 P  1  w    M
Omformulering gir oss:
Dermed kan vi skrive porteføljens forventning som:



 
 
  1  P   R F  1   1  P   E  R M
M 
 M 




 P  RF 
 M  RF
M
P
Avkastningen til en portefølje er altså lik den risikofrie avkastningen pluss en
 −
kompensasjon for risiko, som er lik prisen på risiko;   , multiplisert med mengden av

risiko:   . Risikoen til en portefølje måles altså med porteføljens standardavvik.
Kapitalmarkedslinjen
Avkastningen til effisiente porteføljer kan altså beskrives slik:



 P  RF 
 M  RF
M
P

 M  RF
M
Enhetspris
på risiko
Porteføljer som plotter under
linjen er ikke effisiente.
Risikoaverse investorer krever
kompensasjon for å påta seg
risiko.
Kapitalmarkedslinjen angir
markedsprisen på risiko.
Den angir også at for porteføljer
så er standardavviket det
relevante risikomålet.


Porteføljen angir totale investeringer, både i risikable og risikofrie investeringer.
Dermed er det også total risiko, dvs. standardavviket til summen av alle
investeringene, som er relevant risikomål.
Vi har tidligere vist at for enkeltinvesteringer er samvariasjon mer relevant enn total
variasjon.
Enkeltprosjekter
Tilsvarende uttrykk for ett enkelt aktivum (utledningen vist i læreboken) er:
E  R j   RF 
E  RM   RF
VAR  RM

C O V  R j , RM

E  R j   RF 
E  RM   RF
VAR  RM

 r j ,M   j   M
Dermed får vi nesten identisk sammenheng som for porteføljer:
 j  RF 
 M  RF
M
 r j ,M  
j
• Avkastningen til et aktivum er altså lik den risikofrie avkastningen, pluss en
kompensasjon for risiko; akkurat som i tilfellet for en portefølje.
 −
• Og prisen på risiko er også den samme;   .

• Men relevant risiko for et enkelt aktivum er ikke standardavviket for aktivumet,
men standardavviket multiplisert med korrelasjonskoeffisienten mellom
aktivumet og markedsporteføljen; , ∙   .
Kapitalverdimodellen (CAPM)
Avkastningen til et enkeltaktivum kan illustreres ved verdipapirmarkedslinjen:



 j  RF 
 M  RF
M
r j ,M  
j

 M  RF
M
Enhetspris
på risiko
Enkeltprosjekter som plotter på
eller over linjen gir en
risikojustert avkastning som er
minst like stor som markedet
krever, og bør følgelig
gjennomføres.
Prosjekter som plotter under bør
ikke gjennomføres, da
avkastning og risiko ikke
tilfredsstiller markedskravet.
, ∙ 

Risikoen for et aktivum er isolert sett standardavviket, men i porteføljesammenheng
er det bare den risikoen aktivumet tilfører porteføljen som er av interesse. Så lenge
aktivumet ikke er perfekt positivt korrelert med porteføljens avkastning, vil en del
risiko bli eliminert når aktivumet inkluderes i en portefølje hvor det inngår mange
aktiva. Jo lavere korrelasjonskoeffisienten er, desto større del av risikoen forsvinner
ved diversifikasjon.
Systematisk og usystematisk risiko
• Systematisk risiko, markedsrisikoen, er risiko som
påvirker alle aktiva og gjenspeiler avhengigheten alle
aktiva har til markedet. Denne systematiske risiko kan
man altså ikke bli kvitt.
• Den usystematiske risikoen er den risikoen som er
spesiell for det enkelte aktivum. Denne risikoen kan
man kvitte seg med ved å inkludere mange aktiva i
porteføljen. Følgelig vil heller ingen kompensasjon for
denne risikoen bli gitt, siden en kan unngå den.
• Det er altså bare den systematiske risikoen: , ∙ 
man får kompensasjon for.
Risikofaktorer
Risiko er variasjon i avkastningen, som er avhengig av framtidige kontantstrømmer.
Hva påvirker framtidige kontantstrømmer?
Bedriftsspesifikke faktorer
Markedsspesifikke faktorer
Ledelsens dyktighet
Vekst i investeringer i økonomien
Forhold i bedriftens organisering
Forbruksnivå
Markedsføring
Rentenivå
Forskning og utvikling
Oljepriser
Valutakursbevegelser
I hovedsak to faktorer som bestemmer systematisk risiko for en bedrift.
1. Sensitivitet i bedriftens inntekter i forhold til generell økonomisk aktivitet.
Er utenfor bedriftens kontroll.(Matvarer – Feriereiser)
2. Forhold mellom faste og variable kostnader (inklusiv finansiering).
Dette kan bedriften kontrollere.
For eksempel vil høye faste kostnader medføre lav fleksibilitet og stor variasjon i
resultatet ved konjunktursvingninger.
Alternative varianter av CAPM
E  R j   RF 
 j  RF 
E  RM   RF
VAR  RM
 M  RF
M

C O V  R j , RM
 rj ,M  
 j  RF    M  RF    j

E  R j   RF 
E  RM   RF
V A R  RM

 rj ,M   j   M
j
j 
r j ,M  
M
j
j 
C O V  R j , RM

M
2
En mye brukt variant benytter j ,
som er en indeks for prosjekt j sin systematiske risiko i forhold til markedsrisikoen.
Merk at om vi bruker beta som risikomål, så endres også enhetsprisen for risiko,
den blir nå differansen mellom avkastningen på den risikable markedsporteføljen
og risikofri avkastning:  −  .
Merk at CAPM er en
enperiodisk modell:
 X 1, j
Rj  
 P0 , j



 X 1, M
RM  
 P0 , M



Disse modellene er
på relativ form (%).
CAPM på absolutt form
E  R j   RF 
E  RM   RF
VAR  RM
X
Rj 
La:

C O V  R j , RM
RM 
j
Pj

XM
PM
rF  R F  1
 Xj 
E
  rF   C O V
 P 
 j 
 Pj 
Pj 
1
1
E  X
rF 
E  X
rF 
j
 Xj
, RM

 P
 j




   COV  X
  COV
j 
E  R j   RF   C O V  R j , RM
Xj
XM
Pj
PM
, RM 

 X j , X M  
j


 Xj
 rF  P j    P j  C O V 
, RM
 P
 j
 COV  X j ,

 
 
E  RM   RF
VAR  RM

= avkastning i kroner for aktivum j
= avkastning i kroner for markedsporteføljen
= markedsverdi for aktivum j
= markedsverdi for markedsporteføljen
 EX
j





X M  E  X M   rF  PM
COV

PM 
VAR  X M 
X
j
,XM

E  X M   rF  PM
VAR  X M

Vi har her uttrykt prisen på den usikre kontantstrømmen Xj i absolutte størrelser, dvs.
Pj tilsvarer nåverdien av den usikre kontantstrømmen. Sammenlign med første formel –
vi har tilsvarende enhetspris på risiko, og tilsvarende mengdemål på risiko.
Talleksempel
Anta at risikofri rente er 6%. Hvis en investerer for 10 i markedsporteføljen, vil
avkastningen i neste periode være 13 eller 9, begge utfall med lik sannsynlighet.
Tilsvarende vil prosjekt X koste 100, og i neste periode gi enten 110 eller 130.
t=0
Markedet
PM
RF
E0  X M
COV
Tilstand Sans
1 0,5
2 0,5
Forventet
  0, 5  13  0, 5  9  11
t=0
Prosjekt
X0
-100
Tilstand Sans
1 0,5
2 0,5
Forventet
t=1
X1
110
130
120
E 0  X 1   0, 5  110  0, 5  130  120
 X 1 , X M   0, 5  110  120  13  11   0, 5  130  120   9  11    20
VAR  X M
PX 1 
10
0,06
t=1
XM
13
9
11
  0, 5  13  11 
2
 0, 5   9  11   4
2
11  1, 06  10


120

  20    115, 09

1, 06 
4

1
Pj 
1
E  X
rF 
j
   COV  X
j
, X M 

 
E  X M   rF  PM
VAR  X M
Vi har her beregnet prisen (på tidspunkt 0) av den usikre kontantstrømmen X1.
Det usikre prosjektet X har altså en markedsbestemt nåverdi lik -100 +115,09 = 15,09.
Denne nåverdiberegningen er gjort uten bruk av risikojustert rente.

Nåverdier er additive
Vi kan splitte kontantstrømmen til det usikre prosjektet i en sikker og en usikker del.
Tilstand
1
2
Forventet
E0  X M
Sans XM
0,5 13
0,5 9
11
Tilstand Sans
1 0,5
2 0,5
Forventet
E0  X 1
  0, 5  13  0, 5  9  11
VAR  X M
  0, 5  13  11 
2
X1
110
130
120
S
Max sikker
Tilstand Sans XS1
1 0,5 110
2 0,5 110
Forventet
110
  0, 5  110  0, 5  110  110
Min usikker
Tilstand Sans XU1
1
0,5
0
2
0,5 20
Forventet
10
E0  X 1
U
  0, 5  0  0, 5  20  10
 0, 5   9  11   4
2
 X , X   0, 5   0  10  13  11   0, 5   20  10   9  11    20
Kovariansen mellom markedsavkastningen og prosjektavkastningen er den samme,
uansett oppsplitting av kontantstrømmen.
COV
PX U 
1
U
1
M
11  1, 06  10


10

  20    11, 32

1, 06 
4

1
S
NV  X 0 
X1
1  RF
 PX U   100 
1
110
1, 06
 11, 32  15, 09
Pj 
1
E  X
rF 
j
   COV  X
N V   100 
j
, X M 

0
 
E  X M   rF  PM
 115, 09  15, 09
1, 06
Nåverdien er altså der den samme, uansett oppsplitting av kontantstrømmen.
VAR  X M

Relative verdier
Om vi skal bruke CAPM på relativ form, dvs. beregne %-vis avkastning (internrente), må
internrenten baseres på markedsbestemte priser, ikke investeringsbeløpet.
Markedet
Prosjekt Tils Sans XM
X1
PM
10 P(X0) 115,09
1 0,5 13 110
RF 0,06 P(XU) 11,32
2 0,5 9 130
E0  RM
RM
(13-10)/10 = 0,3
(9-10)/10 = - 0,1
0,1
  0, 5  0, 3  0, 5    0,1   0,1
E 0  R X   0, 5    0, 04423   0, 5  0,12955  0, 04266
RX
110/115,09-1 = - 0,04423
130/115,09 -1 = 0,12955
0,04266
E 0  RU
RU
0/11,32 - 1 = - 1
20/11,32-1 = 0,76678
-0,11661
  0, 5    1   0, 5  0, 76678   0,11661
2
VAR  RM
  0, 5   0, 3  0,1 
2
 0, 5    0,1  0,1   0, 04
VAR  RM
2

 1 

 V A R  X M
P
 M 
2

 1 

  4  0, 04
 10 
C O V  R X , RM
  0, 5    0, 04423  0, 04266   0, 3  0,1   0, 5   0,12955  0, 0426 6    0,1  0,1    0, 017378
C O V  R X , RM

C O V  RU , R M
  0, 5    1    0,11661    0, 3  0,1   0, 5   0, 76678    0,11661     0,1  0, 1    0,17668
1
PX

1
COV
PM
 X 1, X M  
1

1
115, 09 10
   20    0, 017378
Kovariansen mellom internrentene er ikke er uavhengig av oppsplittingen av kontantstrømmen.
E  R j   RF 
E  RM   RF
VAR  RM

Risikojustert rentekrav:
C O V  R j , RM

E  RX
  0, 06 
E  RU
  0, 06 
0,1  0, 06
0, 04
0,1  0, 06
0, 04
  0, 017378   0, 04262
  0,17668    0,11668
Nåverdier basert på risikojustert
rentekrav
• Risikojustert rentekrav til den totale usikre kontantstrømmen er 4,262%.
• Rentekravet er faktisk lavere enn den risikofrie renten. Det skyldes at prosjektet har
negativ kovarians med markedsavkastningen (negativ korrelasjonskoeffisient).
• Den forventede avkastningen (internrenten) er 4,266%. Den forventede
avkastningen er altså større enn det risikojusterte rentekravet, og prosjektet bør
derfor aksepteres.
• Tilsvarende forhold har vi for den oppsplittede kontantstrømmen. (Sjekk tallene!)
• Vi kan beregne nåverdien basert på det risikojusterte rentekravet.
NV  X 0 
1  RF
N V   100 
0


1, 06
N V   100 
110
1, 06
E  X1
U
S
X1

1  RU
120
 15, 09
1, 04262

10
1  0,11668
 15, 09
• Risikojustert rentekrav er avhengig
av hvordan kontantstrømmen
splittes opp.
• Forventet avkastning (internrente)
må være markedsbestemt.
• Nåverdien kan da beregnes ut fra
forventet kontantstrøm og
risikojustert rente.
Forutsetninger bak CAPM
• En enperiodisk modell (kan utvides, men vanskelig).
• Investor maksimerer forventet nytte, men er kun interessert i
forventning og varians i sluttformuen. (Symmetriske fordelinger?)
• Investor har risikoaversjon.
• Investorene har homogene forventinger, og samme oppfatning av
sannsynligheter.
• Det eksisterer (minst) ett risikofritt aktivum.
• Innlåns- og utlåns -renten er den samme.
• Avkastningen er den samme for enhver. (ingen, eller like skatter).
• Alle aktiva er omsettelige i markedet (inklusive «human capital»).
• Perfekte (kapital-)markeder (lik og gratis informasjon, prisfast
kvantumstilpassing).
En del av forutsetningene er urealistiske. Men det er uvesentlig – det
som betyr noe er: Virker modellen? Beskriver den virkeligheten bra?
Empiriske tester av CAPM
• Det er mange metodiske problemer med å teste CAPM.
• Må bruke historiske, ofte upresise data, og inkludere
ALLE mulige aktiva, ikke bare aksjer.
• Resultatene er ikke entydig positive. Det ser ut til at
konstantleddet (risikofri rente) er undervurdert, mens
stigningen (prisen på risiko) er overvurdert.
• Modellen ser altså ut til å gi systematiske feil, men gir
grovt sett et tilnærmet riktig bilde av virkeligheten.
• For øyeblikket er det uansett den beste modellen vi
har. Selv om det er mange faktorer som påvirker
avkastningen, så er beta den aller viktigste.
Security market line (SML)
Om vi bruker  som risikomål, vil CAPM ha følgende form:


 j  R F    M  R F    j ,M

 M  RF

Enhetspris
på risiko
Enkeltprosjekter som plotter på
eller over linjen gir en risikojustert
avkastning som er minst like stor
som markedet krever, og bør
følgelig gjennomføres.
Alternativt kan en bruke estimert
risikojustert avkastningskrav j for
å beregne nåverdien av forventet
kontantstrøm.
,
1
Estimering av beta gjøres av mange, og er tilgjengelig på internett. For et nytt prosjekt j
brukes ofte historiske data som estimat. For eksempel selskapets historiske , hvis det
nye prosjektet ligner på selskapets kjernevirksomhet. Om prosjektet heller ligner på noe
fra andre bransjer, kan en benytte  fra selskap som en mener har samme type
usikkerhet som det nye prosjektet j .
Egenskaper ved 
Beta-verdien til en portefølje er lik et veid snitt av betaene til enkeltinvesteringene.
Verdipapir
A
B
C
Forventning
Andel
0,6
0,1
0,3
Priser på aksjer, avkastning og beta.
Rj 
P j ,1  P j ,0
P j ,0
 R F  [ E ( Rm )  R F ] j
E(Rj)
14,4%
12,8%
10,8%
13,16%
Rj 
j
1,6
1,2
0,7
1,29
N
p 
i 1
( P j ,1  P j ,0 )
P j ,0
P j ,0 
E ( P j ,1 )
1  RF  [ E ( Rm )  RF ]
Risikotillegg utover risikofri rente:
a
j
i
 i
Nåverdiberegninger
• CAPM er en enperiodisk modell. De fleste prosjekt har
en mye lengre tidshorisont.
• Om vi bruker den samme risikojusterte renten i hver
periode ved neddiskontering av forventet
kontantstrøm, forutsettes det at risikoen øker over tid
etter et helt bestemt mønster.
• Teoretisk sett hadde det vært tryggere å la renten kun
ta hensyn til tidsaspektet (risikofri rente), og bruke
andre metoder for å ta hensyn til
usikkerhetsdimensjonen.
• Men i praksis blir en teoretisk korrekt framgangsmåte
for komplisert, og en tyr til tilnærmede metoder.

similar documents