GEOMETRIA(?) - Patini Liberatore

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GEOMETRIA
Pitagora:
• Pitagora nella storia
•Teorema di Pitagora
•Applicazioni alla vita reale
Euclide:
•Euclide nella storia
•Primo teorema di Euclide
•Secondo teorema di Euclide
Pitagora nella storia
Pitagora (Samo, 570 a.C. circa – Metaponto, 495 a.C. circa) è stato un matematico,
legislatore, filosofo, astronomo, scienziato e politico greco antico secondo quanto
tramandato dalla tradizione.
Pitagora viene ricordato ancor oggi per essere stato il fondatore storico della scuola
a lui intitolata nel cui ambito si svilupparono le conoscenze matematiche e le sue
applicazioni come il noto teorema di Pitagora.
Tale teorema però era già noto agli antichi Babilonesi ma alcune testimonianze,
tra cui Proclo riferiscono che Pitagora ne avrebbe intuito la validità.
Francobollo
greco in cui
è raffigurata
la legge del
famoso
teorema.
Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo
teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate.
Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si
mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa
che ne abbia vista una rotta perfettamente su di una diagonale,
così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad
essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due
lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla
diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati
le diagonali delle piastrelle circostanti.
La dimostrazione è la seguente:
• l'area di ciascuna delle piastrelle adiacenti ai
cateti era di: 2 mezze piastrelle (=1 piastrella);
• la somma delle due aree era quindi di: 4 mezze
piastrelle (=2 piastrelle);
• l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa
(diagonale della piastrella) era di: 4 mezze
piastrelle.
Nel 1950 circa, sono state rinvenute delle
tavolette di argilla nella Mesopotamia, dove si
supponeva che A² + B² dava C².
Erano gli architetti, i costruttori delle Ziggurat
che avevano stabilito questi rapporti. E infatti
esisteva una specie di prova di maturità, un
esame che dovevano affrontare gli aspiranti
architetti.
Tavoletta
babilonese.
Possedevano inoltre tabelle logaritmiche,
con cui di 15’ in 15’ stabilivano le potenze
delle secanti e dei coseni. Erano popoli
avanzatissimi.
La Ziggurat è la
tipica costruzione
templare dei popoli
mesopotamici, come
i Babilonesi.
Essa fungeva nelle zone più sottostanti da magazzino,
mentre in alto era presente il tempio, dove avvenivano le
cerimonie religiose per le divinità presenti negli astri
celesti.
Euclide nella storia.
Euclide (367 a.C. ca. - 283 a.C.) è stato
sicuramente il più importante matematico
della storia antica, e uno dei più importanti e
riconosciuti di ogni tempo e luogo. Euclide è
noto soprattutto come autore degli Elementi'
la più importante opera
di geometria dell'antichità; tuttavia di lui si sa
pochissimo. Euclide è menzionato in un
brano di Pappo, ma la testimonianza più
importante su cui si basa la storiografia che
lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra
i più giovani discepoli di Platone.
Primo Teorema di euclide.
Enunciato:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito
sul cateto è equivalente al rettangolo che ha
per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto
stesso sull’ipotenusa.
A
B
F
C
Dimostrazione:
Vogliamo dimostrare che il quadrato Q
è equivalente al rettangolo R.
Consideriamo i triangoli rettangoli ABC
e IEB, essi sono uguali poiché hanno:
AB=EB, come lati del quadrato Q
β=β1, perché complementari dello
stesso angolo.
Segue da ciò che
BC=BH e BI=BH e quindi BC=BI .
Il rettangolo R e il parallelogrammo P,
avendo le basi BH e BI uguali ed uguali
altezze (essendo essi compresi fra le
parallele HI e GK) sono equivalenti.
TEOREMA DI PITAGORA.
Enunciato:
In un triangolo rettangolo il quadrato
costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui cateti.
A
AC²= AB²xBC²
B
C
Dimostrazione:
Per il primo teorema precedente
abbiamo che:
R1=Q1
R2=Q2
Per il postulato: i poligoni somma di
poligoni rispettivamente uguali o equi
composti, sono equi composti segue
che:
R1 + R2 = Q1 + Q2
Si ha quindi che il quadrato
costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sui cateti.
Sussiste anche il teorema inverso:
un triangolo è rettangolo se il
quadrato costruito su un suo lato
è equivalente alla somma dei
quadrati costruiti sugli altri e due.
SECONDO TEROMA DI EUCLIDE.
Enunciato:
In un triangolo rettangolo, il quadrato
costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è
equivalente al rettangolo che ha per lati le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
A
AD²=BD x CD
B
•d
D
C
Dimostrazione:
Osserviamo che essendo
BC= BF e
BK=BD,
abbiamo IF=DC, dove DC è la proiezione del
cateto AC sull’ipotenusa BC.
Quindi il rettangolo IFEK (R) ha i lati uguali alle
due proiezioni dei cateti del triangolo dato
sull’ipotenusa.
Vogliamo dimostrare che il quadrato Q1
è equivalente al rettangolo R.
Per il primo teorema di Euclide
abbiamo:
Q3=Q2+R
E per il teorema di Pitagora applicato a
ABD abbiamo: Q3=Q1+Q2
E quindi per la proprietà transitiva
dell’equivalenza : Q1+Q2=Q2+R
Sottraendo Q2 dai due membri
possiamo concludere che
Q1=R
Applicazioni alla vita reale
Teorema di pitagora
i
h
l
Dovendo conoscere la superficie
della falda di un tetto, note h ed l ,
applico il teorema di Pitagora e
calcolo la lunghezza della falda (i).
Moltiplico questa per la lunghezza
del tetto e ottengo la superficie
necessaria.
Realizzato da:
Beatrice Di Pirro
Aurelia Volpe

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