Ramanujans verschachtelte Wurzeln

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Ramanujans verschachtelte Wurzeln
Wann helfen Computer, wann nicht?
Sriniwasa Ramanujan 1887 – 1920
 1892 Einschulung Grundschule
 1897 erste Berührung mit Höherer
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

Mathematik (Trigonometrie)
1898 – 1904 High School
Keine Zulassung zum Studium
Sicherung der Existenz mit Hilfe
eines Gönners
1913 Briefwechsel mit Hardy
1914 Schiffsreise nach England
1916 B.A. „Hochzusammengesetzte Zahlen“
1917 Aufnahme in die London
Mathematical Society (erster Inder)
1918 Wahl zum „Fellow of Trinity
College“ (3900 Gleichungen)
1919 Rückkehr nach Indien
1907 war das Gründungsjahr der Indian
Mathematical Society, die ab 1910 vierteljährlich
ein mathematisches Journal herausgab. Im Jahr
1911 stellte Ramanujan den Lesern des Journals
die Frage nach der Größe der Zahl
1  2 1  3 1  4 1  ...
Ein halbes Jahr lang gingen keine Lösungsvorschläge ein,
bis Ramanujan 3 Hefte später die Lösung verriet. Das ist
verwunderlich, denn mit ein wenig Fleiß hätte auch ohne
elektronisches Werkzeug die Aufstellung einer Zahlenfolge
gelingen können :
1  2  1,73
1  2 1  3  2,23
1  2 1  3 1  4  2,57
1  2 1  3 1  4 1  5  2,75
1  2 1  3 1  4 1  5 1  6  2,86
1  2 1  3 1  4 1  5 1  6 1  7  2,96
Die Darstellung dieser Zahlenfolge im
Koordinatensystem legt den Grenzwert
3 nahe
Ausgehend von der Hypothese, dass 3 die
Lösung der Wurzelkette ist, ergeben sich
sofort weitere Formeln:
3  1  2 1  3 1  4 1  ...
4  1  3 1  4 1  5 1  ...
5  1  4 1  5 1  6 1  ...
6  1  5 1  6 1  7 1  ...
n  1  (n  1) 1  n 1  (n  1) 1  ...
Es gilt, zu beweisen n  1  (n  1) 1  n 1  (n  1) 1  ...
 Induktionsanfang für n = 1
1  1  0 ...
 Induktionsvoraussetzung für n = k:
k  1  (k  1) 1  k 1  (k  1) 1  ...
 Induktionsbehauptung für n = k+1
k  1  1  k 1  (k  1) 1  (k  2) 1  ...
 Induktionsvoraussetzung quadrieren, 1 subtrahieren und
durch (k-1) dividieren ergibt die Induktionsbehauptung
Aber . . .
Wie hat Ramanujan selbst seine
Lösung verfasst?
 Es gilt: n  (n  2)  n  1  (n  1)  (n  3)
 Definition einer Funktion f mit f(n)=n∙(n+2).
 Dann gilt:
 (i) f(n) = n ∙ (n + 2) = n  1  f (n  1)
 (ii) f(n + 1) = (n + 1) ∙ (n + 3) = (n  1)  1  f (n  2)
 (iii) f(n + 2) = (n + 2) ∙ (n + 4) = (n  2)  1  f (n  3)
 (iv) f(n + 3) = (n + 3) ∙ (n + 5) = (n  3)  1  f (n  4)
 Einsetzen „jeder“ Gleichung aus dieser Folge in ihren
Vorgänger ergibt:
f (n)  n  1  (n  1)  1  (n  2)  1  (n  3)  ....
Das Verfahren lässt sich noch weiter
verallgemeinern
 Man wähle eine natürliche Zahl a und eine Polynomfunktion
mit der Gleichung fa(x) = x2+2ax = x∙(x+2a).
 Es gilt
x + a = a 2  x  ( x  2a ) = a 2  f a ( x )
 und dann
(x – a)∙(x + a) = (x – a) ∙ a 2  f a ( x)
fa(x – a) = (x – a) ∙ (x + a)
 fa(x – a) = (x – a) ∙ a 2  fa ( x)
f a ( x  a )  ( x  a ) a 2  f a ( x)
Setzen wir für x nacheinander die Werte der
arithmetischen Folge x+a, x+2a, x+3a, … so erhalten wir:
f a ( x)  x  a 2  f a ( x  a )
f a ( x  a )  ( x  a )  a 2  f a ( x  2a )
f a ( x  2a)  ( x  2a)  a 2  f a ( x  3a)
f a ( x  3a)  ( x  3a)  a 2  f a ( x  4a)
 und so weiter.
 Jede Gleichung aus dieser Kette wird in ihren Vorgänger
eingesetzt:
f a ( x)  x  a 2  ( x  a) a 2  ( x  2a) a 2  ( x  3a) a 2  ...
 nach Division durch x (zur Erinnerung: f a ( x)  x  ( x  2a) )
x  2a  a 2  ( x  a) a 2  ( x  2a) a 2  ( x  3a) a 2  ...
Zum Abschluss noch eine etwas andere
typische Ramanujan-Formel
3
1
28  3 
3

3
98 
3

28  1
Hier fällt auf:
28 =
98 =
22  7
2  72
Ersetzen wir 7 durch a, so
lautet Ramanujans Formel
3
1
4a  r ( a ) 
s(a)
 2a
3
2

 3 4a  1
Um diese Formel zu präzisieren, ist es nützlich auf beiden
Seiten zu quadrieren, also insbesondere die Klammer zu
1 3 2 3
quadrieren:
3
 2a  4a 1
4a  r ( a ) 
s(a)
3


2
1 3 2 3
4a  r ( a )  2
2 a  4a  1
s (a)
 Da CAS berücksichtigt, dass dritte Wurzeln auch komplexe Lösungen
haben können, wird als Quadrat (Klammer rechts) ein Mammutausdruck berechnet. Bei Beschränkung auf positive a liefert CAS
2
3
4
3
2
3
1
3
2  a  4a  2  2  a  1
 Von Hand vereinfacht zu
 oder
3
4  a  3 a  4a  2  3 4  3 a 1
3
4a  a  2  4a  1
 Vollständig:
3
4a  r ( a ) 

1 3
 4a  (a  2)  (4a  1)
2
s (a)

3

1 3
4a  r (a)  2  4a  (a  2)  (4a  1)
s (a)

 An dieser Stelle zeigt ein Vergleich links und rechts des
Gleichheitszeichens
 und daher
s 2 (a)  a  2
4a  1
r (a) 
a2
 und letztlich
3
4a 
4a  1
1 3 2 3

2a  4a  1
a2
a2
Damit ist eine beliebig große Anzahl von
Wurzelgleichungen des „ramanujanschen“ Typs gegeben.
 Etwa für a = 4
4a  1
1 3 2 3

2a  4a  1
a2
a2
3 16  15  1 (1  3 16  3 32)
6
6
3
4a 
15 

6   3 16    1  2  3 2  2  3 4
6

12  3 2  15  1  2  3 2  2  3 4
Fazit
 Beim Nachvollziehen von Ramanujans Gedankengängen oder
bei Verallgemeinerungen seiner Zahlenbeispiele kann CAS
nur geringe oder gar keine Beiträge leisten.
 Potenzen mehrgliedriger Wurzelterme werden von CAS oft
nicht mit einem Ergebnis ausgegeben, das zum Weiterarbeiten erforderlich ist.
 Ein spielerisches Hin- und Herspringen zwischen CASEinsatz und händischen Verfahren verspricht am meisten
Erfolg.
 Ohne Hand und Kopf hilft CAS nicht wirklich.
CAS weiß nicht, wohin Ramanujan will.
Nun wird man einwenden, dass Ramanujans Formeln kein
Schulstoff seien, deshalb sei ein Aufgabenvorschlag der
Fachgruppe Computeralgebra der DMV, GI und GAMM angefügt.
Berechne die Zahl 3 11  4 29  3 11  4 29
mit den Taschenrechner. Vertraust Du dem Ergebnis? Könnte
ein Rundungs- oder Rechenfehler vorliegen?
Der Taschenrechner kann die Zusatzfragen nicht beantworten –
das CAS ebenfalls nicht ohne Einsatz von Hand und Kopf.
Ich Danke Ihnen für Ihre
Aufmerksamkeit
Roland Schröder
29223 Celle
Dehningstr. 26
[email protected]

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