clases-matematicaI 11

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OBJETIVOS GENERALES
Adquirir habilidades de pensamiento lógico-matemático, de tal forma que, le
permitan al estudiante a partir de situaciones problemas la búsqueda de
soluciones acorde con su formación profesional.
Aplicar adecuadamente los conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta
operaciones y propiedades básicas en la solución de problemas reales en
contextos específicos y lo induzcan a la construcción de una cultura integradora y
problematizadora del saber matemático.
Integrar el conocimiento de métodos conceptuales y algorítmicos para dar solución
a situaciones planteadas en el análisis de nuevos problemas, que promuevan en
el estudiante el aprendizaje colaborativo y el pensamiento crítico y creativo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Adquirir habilidades y destrezas en las operaciones básicas de los conjuntos
numéricos y expresiones algebraicas a partir de la solución de problemas
aplicados en contextos reales.
Analizar e interpretar elementos de los conjuntos numéricos y expresiones
algebraicas a través de actividades y talleres que conlleven al estudiante en
aplicarlos en las actividades cotidianas y otras áreas del conocimiento.
Percibir los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas como una
estrategia que le permite la racionalidad indispensable para analizar y
solucionar situaciones de la vida diaria en su entorno cultural a través de
problemas prácticos.
?
CONDUCTA DE ENTRADA
Conjuntos numéricos
Arrastre el número que está a la derecha de su
pantalla y ubíquelo en el cuadro que considere
se relaciona con la definición. Al terminar de clic
en el botón validar respuesta
Corresponden a los números naturales, pero adicionando a
estos los números enteros negativos y el número cero así:
0, 1, 2,… . El conjunto se denota por la letra 
1
Números Naturales
2
3
Números Racionales
1
Se denota por la letra N y está dado por
N = (1, 2, 3, ......,.).
2
Números Enteros
3
Formados por aquellos números que se pueden expresar
de la forma p/q, en donde p es cualquier entero y q
cualquier entero distinto de cero. Se denotan por la letra Q.
5
Números Reales
6
Son aquellos que no se pueden expresar de la
forma p/q. Este conjunto se expresa por Q*.
4
Números Complejos
5
Están conformados por la unión de los racionales y los
irracionales y se denota por R = Q  Q*. Su característica
principal es poderse representar en la recta.
6
Números Irracionales
4
Tienen su origen en la resolución de ecuaciones cuadráticas,
presentados de la siguiente forma: x2 + 1 = 0 . Consta de dos
partes: a) Parte Imaginaria: que se representa con el símbolo i;
b) Parte Real.
Se denota por la letra C
Su conocimiento es importante para el dominio del álgebra y el cálculo
Validar respuestas
RETROALIMENTACIÓN
Si la respuesta es correcta
Qué bien…
Tiene un buen conocimiento
sobre conjuntos numéricos
…Lo invitamos a continuar
interactuando con el programa
para ampliar o reforzar sus
conocimientos.
¡NO SE DESANIME!....
Lo invito a seguir
interactuando con el programa
para que amplíe o refuerce sus
conocimientos.
Los enteros primos se definen
como aquellos números que son
divisibles exactamente sólo por
si mismos y por la unidad.
El Cero en la suma es el elemento
neutro, es decir, cualquier
número a, sumado con 0 vuelve a
dar a, en la multiplicación, es el
elemento absorbente, cualquier
número operado con 0 da 0
Las fracciones son el resultado de
la división de las expresiones que
conforman el número racional
Los enteros pares se
determinan por Z = 2n.
Los enteros impares se determinan
por Z = 2n ± 1, con n perteneciente
a los naturales.
?
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números que se
encuentran en la parte inferior de la pantalla y ubíquelos de acuerdo a los
conjuntos numéricos. Suelte el mouse
Practiquemos
Los conjuntos numéricos forman parte de nuestra vida cotidiana, en particular al ir al
mercado, en algunas lecturas y juegos, y al momento de enfrentarnos al mundo laboral.
C
R
Q
Q*
I
Z
N
√2
L og2 5
7/48
128
0
-254
4/45
√-2

5 + 2i
238
-1-i
4i
Naturales (N). Surgen de la necesidad de contar, compuestos por un número infinito
de elementos, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando uno
(+1), y todos, excepto el 1, tienen un antecesor, el cual se obtiene restando uno (-1)
Enteros (Z). Surgen de la necesidad de dar solución general a la sustracción.
Se componen de varios subconjuntos: Enteros Negativos Z ¯, el Cero (0),
Enteros Positivos Z+, los Enteros Pares, Enteros Impares y Enteros Primos.
Números Racionales (Q): Se creó debido a las limitaciones de cálculo
que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Cardinales
y Enteros. Se representan por los números de la forma a/b.
Números Irracionales (I): Equivalen a un decimal infinito
aperiódico y provienen de construcciones geométrica. Un ejemplo,
puede ser, el cálculo de las diagonales de un cuadrado
Números Reales (R): Se conforman por la unión de los números
racionales y los irracionales, cuya principal característica es la
representación en la recta.
Números Complejos (C): Se originan en la resolución de
ecuaciones cuadráticas y para solucionarlos se requiere aplicar
métodos diferentes a los que se utilizan en los números reales.
?
Digite en el campo de texto, la respuesta que
considere correcta. Al terminar haga clic en el botón
validar respuesta.
Pensemos… reflexionemos y
resolvamos…
En un observatorio meteorológico de una población de alta montaña se han
observado y registrado durante una semana las siguientes temperaturas, El registro
presenta en color rojo las temperaturas bajo de cero.
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
5º C
1º C
4º C
2º C
3º C
5º C
8º C
¿Qué día de la semana se presentó la temperatura más baja?,
¿Qué día fue la más alta?
Que temperatura esta marcando el termómetro si:
•Marcaba 15ºC y disminuyó 12ºC?
•Marcaba 10ºC bajo cero y aumento 7ºC?
•Marcaba 18ºC y aumentó 7ºC?
•Marcaba 6ºC bajo cero y disminuyó 5ºC?
Validar respuestas
?
Para solucionar la actividad, haga
clic sostenido en los números
hasta completar la operación y
OPERACIONES
arrástrelo de acuerdo con el
resultado del enunciado. Suelte
el mouse
Suma
Resta
Pensemos… reflexionemos y
resolvamos…
EN LOS ENTEROS
Multiplicación
División
aplican cuando
+
=
Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos.
5
+
=
Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor
1
+
=
Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos.
-5
+
=
Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor
-6
ejemplo
(5+3) + (15 – 18) + (-8 + 13) + (-10+2) + (-25 – 15) = ?
-7
-2
+2
+3
+1
+5
-4
-3
¿Cuál sería la
respuesta?
?
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que
aparece al final de su pantalla y arrástrelo a la respuesta que considere
correcta de acuerdo con la operación. Suelte el mouse
Resolvamos
Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:
Se restan y se coloca el
signo de la cantidad
mayor
Se suman y se coloca el
mismo signo de los
sumandos
(5 + 16 + 4 + 8) =
( - 3 + 16 ) + 13 ( – 8 – 5)
(- 7 –5 - 4 – 9 - 2) =
-
-
+
+13
+13
-
(- 7 – 6 + 2 - 3 - 9 + 8) =
-13
(4 – 6 + 4 – 5 + 9 + 3 - 8) =
+ 13
+ 33
- 27
- 13
+ 1
- 15
- 1
+ 27
+ 15
- 33
¿Cuál sería la
respuesta?
?
Para solucionar la actividad, haga
clic sostenido en los números hasta
completar la operación y arrástrelo
de acuerdo con el resultado del
enunciado. Suelte el mouse
Suma
OPERACIONES EN LOS REALES
Resta
Multiplicación
División
aplica ley de Signos
x
=
Signos iguales generan resultado positivo
+16
x
=
Signos contrarios generan resultados negativos
-35
x
=
Signos iguales generan resultado positivo
+33
x
=
Signos contrarios generan resultados negativos
-30
-(5) (-6) (3) (-2)
-(-2)
+11
-7
+5
-15
+2
-2
-8
+3
= ?
¿Cuál sería la
respuesta?
ejemplo
?
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el
botón y arrástrelo a la respuesta correcta, de acuerdo
con la operación. Suelte el mouse
Resolvamos
Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:
aplicando ley de signos
(-5)(-3)=
Signos contrarios generan
resultado negativo
Signos iguales generan
resultado positivo
(5)(-2) (4) =
(-6) (2) (-4) (5) =
(-3) (-8) (+2)(-5)
(-3) (5) (-4) (2) (-8) =
-
+
-
-
(+ 24)
(-7) (-5) - (4) (9)+(-2) =
(- 10)
- (7)(6) + (2)(-3)(-9) -8 =
- - (-6)(4) - (5)(9) + (3)(8) =
- 40
+ 27
-104
-1
+45
-1
-240
15
+960
- 27
-960
-3
- 27
+3
-45
+104
+ 15
¿Cuál sería la
respuesta?
+1
+240
+ 40
RECUERDE…
Cuando hay una operación dentro de un signo de
agrupación, se debe efectuar primero la operación
contenida por el signo de agrupación y luego
destrucción del signo de agrupación
Observa
6 - (-3 + 1 – 2) x 2 - (-3) x (-9-1) / (-2)
Se resuelven paréntesis
6
+
4
x
2+3 x
-10 / -2
Se resuelven corchetes
10
x
5
x
5
Se resuelven llaves
= 250
?
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que
contiene el nombre de la operación y arrástrelo de acuerdo con la
operación que se presenta. Suelte el mouse
Resolvamos
Relacione las operaciones de acuerdo con su simbología
(a+b)
(a-b)
(axb)
(a/b)

(an)
n
a

Loga x
(ax)
 f ( x)dx 
dy 

 y   f ( x)  
dx 

Adición
Radicación
Multiplicación
Sustracción
Exponenciación
Logaritmación
División
Derivación
Integración
Potenciación
?
7
Aquí va ayuda
Propiedades de las operaciones con los números reales
1
PROPIEDADES
Ley de cierre
2
Asociativa
3
Conmutativa
4
Existencia de elemento neutro
5
Existencia de inverso aditivo´….
Colocar multiplicativo
6
Uniforme
7
Distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición
5 • (3 + 4) =
5•3 + 5•4
5 6 + (-6) = 0
Adición
a+b€R
Multiplicación
a.b€R
a + (b + c) = (a + b) + c *
a . (b . c) = (a . b) . c *
a+b=b+a
a.b=b.a
Es el 0:
a+0=0+a=a
Es el 1:
a.1=1.a=a
Es el inverso
multiplicativo:
a.(⅟a)=(⅟a) .a=1 si a ≠ 0
Si a = b entonces a • c =
b•c
Es el opuesto aditivo:
a + (–a) = (–a) + a = 0
Si a = b entonces a + c =
b+c
4
8 + 0 = 8;
-4 + 0 = -4
2
5
(a + b) • c = (a • c) + (b • c)
7 • 1 = 1;
7
2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
3 • 4 = 1
4
3
1
Observación: La propiedad asociativa permite prescindir del uso del
paréntesis y escribir simplemente a + b + c ó a • b • c
6+2=2+6
3 2x4=4x2
9x1=9
-3 x 1 = -3
?
Digite en los cuadros pequeños V si es verdadero o F si es falso y de acuerdo
a la operación, Si es verdadero digite el nombre de la propiedad. Valide sus
respuestas en el botón validar respuestas
Pensemos
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?. En caso de ser verdaderas,
enunciar las propiedades utilizadas
V
f
v
1
5  4   5  4
3
3 3
distributiva
8
8

 2 *   5    2 *  5
9
9

2 c c 2
conmutativa
f
2  8 *  9  2  8 * 2   9
v
1
* a  1 para todo a  Re
a
v
Para todo Existe un número real x para el cual
Inverso multiplicativo
5

x0
Inverso aditivo
Validar respuestas
OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma
Resta
Multiplicación
División
de dos fracciones
a c ad  bc
 
b d
bd
de tres fracciones
a c e adf  bcf  bde
  
b d f
bdf
ejemplo
2
1
5
-
+
8
se multiplica el numerador por el
denominador de los demás
3
2x3x4+ 1x8x4- 5x8x3
=
4
se multiplican los denominadores
entre sí
8x3x4
=
24+ 32 - 120
=
96
-
¿Cuál sería la
respuesta?
OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma
Resta
Multiplicación
División
a
a
c
a d
a.d

 
 b 
c
b d
b c
b.c
d
a c
a.c
.

b d
b.d
ejemplo
2
5
x
8
¿Cuál sería la
respuesta?
=
3
Fracción que resulta de multiplicar
numeradores y denominadores entre sí
2
2
8
÷
5
3
8
=
5
=
2x3
8x5
=
3
Resulta de multiplicar el producto de extremos
por el producto de medios
?
Digite en el cuadro de texto la respuesta de acuerdo con el
enunciado. Valide sus respuestas dando clic en el botón validar
respuesta.
Resolvamos
¿Qué parte de la figura está coloreada?
h
Validar respuestas
?
Aquí va ayuda
Ver nota
OPERACIÓN CON LOS REALES
Se excluyen los casos 00
Radicación
Potenciación
si
a es número real,
n es entero
PROPIEDAD
Distributiva con respecto al producto
Distributiva con respecto a la división
entonces
Producto de potencias de igual base
an se obtiene
multiplicando n veces
el factor a
Cociente de potencias de igual base
ejemplo
35 = 3.x.3 x3 x 3 x 3
POTENCIA
Potencia de potencia
Inverso de una potencia
Potencia cero
Potencia unitaria
a 
n m
a a  a
m
n
m n
 a n*m
am
 a mn
n
a
a n 
a  b
m
 a b
m
m
1
an
a
 
b
a0  1
m
am
 m
b
a1  a
?
Aquí va ayuda
(ver nota)
OPERACIÓN CON LOS REALES
Potenciación
Radicación
es
Si a, b son números reales positivos y n, m
números naturales, aplica
PROPIEDAD
inversa a la
potenciación
RADICACIÓN
se llama
Distributiva con respecto al producto
raíz enésima de un
número a , al número b
Distributiva con respecto a la división
Raíz de raíz
tal que,
Exponente racional
la potencia enésima
de b es igual a a
m n
n
a 
 
a  a
m
m n
m n
a
n
a

b
n
n
a
b
Simbólicamente
n
a
m
n
n
a b  n a  n b
a  b  bn  a ,
con
n
Observamos
RECUERDE: La RADICACIÓN es una operación
inversa de la potenciación.
n
n es par a  0
ejemplo,
16 =  4 R
 16 =  4i Im
a
n
a
n es impar
a R
ejemplo,
3
3
8 = 2 R
 8= - 2 R
Siguiente
?
En los ejercicios de 1 a 5 coloque , V si es verdadero o F si es falso,
al finalizar resolver las preguntas de acuerdo a los enunciados
Observamos y
Resolvamos
16  ?
La raíz de índice par de un número negativo, no tiene
solución en los reales, ya que ningún número real
elevado a una potencia par da como resultado un
número negativo
28  2 2  2 6  2 3  2 5
v
8  32  82  32
F
Por lo tanto, su solución esta en los números
Complejos C al definir los imaginarios
i  1
2 
3 2
4
resolviendo
16 
1 16
  1 16
 i   4  4i
 25
F
16  2
V
 a
V
a 
2
¿Cómo se denomina la
solución positiva?
¿Cómo se denomina la
solución negativa?
CONSULTA: ¿Sabes con cuál tipo de raíz trabajan las calculadoras?
2
?
En los casos dos y tres, arrastre los botones y ubíquelos
de acuerdo con los resultados de la operación.
Observamos y
aplicamos
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Se racionalizan los denominadores
Caso 1.
Resulta de multiplicar numeradores entre sí
1
1
=
*
a
a
a =
a
a
a
Se multiplican denominadores entre sí y se
simplifica el exponente y el radical, cuyo resultado
es:
Caso 2.
1
1
a b



a b
a b
a b
¿Cuál sería la
respuesta?
Caso 3.
1
1
a b



a b
a b
a b
 a   b 
2
 a  b
2
2
a b
=
a b
a b
a b
( a  b)
 a   b 
FIN MATERIAL PARA EL OA
PROYECTO MEN - UDEA
Tema 2. razones y proporciones
RAZONES Y PROPORCIONES
4
4
2
8
2
4
P2=4 + 4+ 8
P1=2 + 2 + 4
La razón de las medidas de
los triángulos están dadas
por
P1=8
P1
=
P2
=
P2=16
8
P2
16
P1
1
=
16
8
= 2
2
La razón entre dos cantidades
“a” y “b” se representa por:
a
b
y se lee “a” es a “b”
?
Aquí va ayuda
Resolvamos
Al comparar la longitud de dos puente en un barrio de la ciudad se
obtuvo que uno mide 90m. y el otro solo 30m..
90 m
30 m
A
B
Una manera de hacer la comparación es por la diferencia entre las longitudes:
Longitud del puente A – Longitud del puente B = 90 – 30 = 60 m
Si se comparan las longitudes ¿cuál sería la respuesta?
Longitud A
=
Longitud B
¿Qué significa?
¿De qué otra manera pueden compararse?
¿Qué significa?
=
PROPORCIONES
Una proporción es la igualdad de dos razones
5cm
Se tienen dos triángulos equiláteros: uno de lado 4 cm y otro de lado
5cm, como se muestra en las figuras. El perímetro de cada uno de
ellos es de 12 y 15 cm. respectivamente
Al calcular la razón de la longitud del lado y el
perímetro en cada triángulo, se tiene:
4cm
Lado A 4
  0,8
Lado B 5
Perímetro A 12

 0,8
Perímetro B 15
se puede escribir como una proporción
Lado A Perímetro A

Lado B Perímetro B
Determinar si las razones entre
6
7
Observemos
y
18
forman una proporción
21
Si se multiplican
6
7
X
6 x 21 Producto de extremos = 126
18
21
7 x 18 Producto de medios
= 126
entonces,
6
7
=
18
21
por lo tanto,
Las razones son iguales, ya que el producto de
extremos es igual al producto de medios.
Por lo tanto, forman una proporción
Dos magnitudes están
directamente relacionadas
cuando, al aumentar o
disminuir una de ellas, la otra
también aumenta o disminuye.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando
cumplen las condiciones:
•Las magnitudes están
directamente
relacionadas
•El cociente entre dos valores que
se corresponden es siempre el
mismo. (constante).
•La representación de las cantidades
relacionadas corresponde a una línea
recta.
y
yn
Número
de sacos
1
2
3
---
26
Peso en
Kg
20
40
60
…
520
y3
y2
y1
x1
x2
x3
xn
X
Dos magnitudes están inversamente
relacionadas cuando, al aumentar
una de ellas la otra disminuye y
viceversa
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales
cuando cumplen las condiciones:
•Las magnitudes
están inversamente
relacionadas
•El producto entre dos valores
que se corresponden es
siempre el mismo. (constante).
•La representación de las cantidades
relacionadas corresponde a una curva
descendiente cóncava hacia arriba
y
3 x 24 = 6 x 12 = 9 x 8 =…
y1
Hombres
Días
3
24
6
12
9
8
--…
a  b  cons tan te
18
?
y2
y3
yn
x1
x2
x3
xn
X
?
Aquí va ayuda
MAGNITUDES DIRECTA E
INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Practiquemos
Determine ¿cuáles de las siguientes magnitudes corresponden a proporciones
directas y cuáles a proporciones inversas?
Si disminuye el salario mínimo de un trabajador, también
disminuye la calidad de vida
Directa
Cantidad de trabajadores y cantidad de trabajo hecho
en un día
Inversa
Distancia recorrida en una hora y velocidad del auto
Cantidad de obras realizadas y presupuesto invertido
directa
inversa
Inversa
Relación entre dólares y pesos
Validar respuestas
?
Aquí va ayuda
Es un procedimiento que permite hallar una
cantidad desconocida en términos de otras
tres conocidas, en un problema donde
intervienen dos magnitudes
proporcionales.
Regla de tres
•Si un automovilista recorre 180Km. en dos horas, ¿Cuántos km recorre en 7 horas?
Si llamamos la variable x como los km.
que recorre en las 7 horas,
se puede escribir:
¿Cuánto vale X?
Dis tancia(km) tiem po(horas)
180
2
x
7
Si las magnitudes son directamente
proporcionales, la regla de tres
simple es directa.
Si las magnitudes son inversamente
proporcionales, la regla de tres
simple es inversa
180 x

2
7
Km
En el ejercicio planteado,
¿cómo es la regla de tres?
Validar respuestas
?
Para solucionar la actividad,
haga clic sostenido en el lugar
correspondiente y arrástrelo
hasta el sitio indicado.
Suelte el mouse
Algebra
Practiquemos
es
Parte de las matemáticas que
estudia el cálculo de las
cantidades representadas con
letras
Son las cantidades que no
cambian en un problema
particular
Las cuales pueden ser
Son las cantidades que pueden
variar en un problema,
representadas por letras
Las cuales pueden tomar los
valores que se le asignan
de la forma
y = - 3x2 + 10
cuyos términos algebraicos constan de
y = - 3x2 + 10
Coeficiente
Literales
Variables
Contantes
Signo
Exponente
?
Para solucionar la actividad,
haga clic sostenido en el lugar
correspondiente y arrástrelo
hasta el sitio indicado.
Suelte el mouse
Expresión algebraica
Practiquemos
se refiere a
combinación de literales y
números, con los signos de las
operaciones aritméticas
Pueden ser
Binomio
Monomio
Polinomio
Trinomio
De acuerdo con el ejemplo, coloque el tipo de expresión algebraica al que corresponde, teniendo
en cuenta el número de términos.
Monomio:
Expresión algebraica que consta de un término
Binomio:
Expresión algebraica que consta de dos términos
Trinomio:
Expresión algebraica que consta de tres términos
Polinomio:
Expresión algebraica que consta de más de tres términos
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
Agrupe términos semejantes
es decir, que tengan:
El mismo literal
El mismo exponente
por ejemplo, en la ecuación:
Agrupando sus términos, quedaría
Los
coeficientes
(3 + 8)a + ( 9 + 3)b + (-5 – 8)x2
Letras iguales con los mismos exponentes
Solamente se operan:
¿Cuál sería la
respuesta?
División
?
Arme las parejas de términos, para ello haga clic en el primer término
y arrastre el mouse hasta encontrar su pareja. Suelte el mouse..
Practiquemos
- 4y3
3x3
- 2xy2
5x2y
3x3
- 4y3
5x2y
- 2xy2
Muy bien… agrupados sus términos quedarían así
(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)
Ahora….¿Cuál sería la solución a la ecuación?
6x3 + 10x2y - 4xy2- 8y3
EXCELENTE… continua así
6x3 + 10x2y - 4xy2- 4y3
6x3 + 10x2y - 2xy2- 8y3
Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
Distribuya los signos de agrupación
por ejemplo, en la ecuación:
(3a + 9b - 5x2 – 8a - 3b + 8x2)
La distribución de signos, quedaría…
ahora,
Agrupe términos semejantes
El mismo literal
El mismo exponente
Los
coeficientes
los términos agrupados, formarían la ecuación
(3 - 8)a + ( 9 - 3)b + (-5 + 8)x2
Letras iguales con los mismos exponentes
Solamente se operan:
¿Cuál sería la
respuesta?
?
En esta página encontrará algunas actividades, para solucionarlas, haga clic
sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte
el mouse
Practiquemos
De acuerdo con la ecuación anterior, ubique el signo que le corresponde a cada término
3x3
5x2y
+
2xy2
-
4y3
+
3x3
-
+
5x2y
-
2xy2
+
4y3
-
Muy bien… Ahora, cómo quedarían agrupados sus términos
- 5x2y
- 2xy2
- 4y3
3x3
2xy2
4y3
- 3x3
5x2y
Excelente… Otra forma de representarlos sería
(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)
¿Cuál sería la solución de la ecuación?. haga clic en la que considere sea la correcta
x3 + 0x2y
6x3 + 10x2y - 0+4y3
EXCELENTE… continua así
0
- 0xy2- 8y3
3x3 + 0x2y – 0+ 2y3
Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.
?
Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
Dos monomios
tenga en cuenta:
Por ejemplo, en la ecuación:
(4a3b5) (-2a2b4)
Las propiedades de potenciación
se reunieron los términos semejantes
an x am = an+m
(4 x -2) (a3 x a2) (b5 x b4 )
al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?
(-8) (ab5) (ab9)
(-8) (a5) (b9)
(-8) (a3b5) (a2b9)
?
Aquí va ayuda
Practiquemos
Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:
(3x2y2) (-2x5y3)
= (3)(-2) (x2.x5) (y2,y3)
se reúnen los términos semejantes
= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)
Se aplica las propiedades de la
potenciación.
¿Cuál es la respuesta correcta?
6x10y6
6x7y8
-6x7y8
x10y6
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
Un monomio por un polinomio
tenga en cuenta:
Por ejemplo, en la ecuación:
(3x)(2x2- 3x -1)
Aplicando propiedad distributiva ,quedaría
La propiedad distributiva
a(b+c)=ab+ac
(3x.2x2)+ (3x.-3x) +(3x. -1)
La propiedad de potenciación
Si se aplicara las propiedades de la potenciación.
¿Cómo quedaría la ecuación?
an x am = an+m
5x3+ 6x2- 3x
-6x2+ 6x2 -3x
6x3 - 9x2 - 3x
?
Aquí va ayuda
Practiquemos
Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:
(3x) (x2 + 4y3 -2xy)
= (3+12- 6) (x2.x5) (y2,y3)
= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)
se reúnen los términos semejantes
Se aplica las propiedades de la
potenciación.
¿Cuál es la respuesta correcta?
6x10y6
6x7y8
-6x7y8
x10y6
?
Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
un polinomio por un polinomio
tenga en cuenta:
Por ejemplo, en la ecuación:
(3x2-5m)(2x2+3m)
Aplicando propiedad distributiva quedaría
La propiedad distributiva
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
La propiedad de potenciación
(3x2.2x2)+ (3x2.3m) +(-5m. 2x2) + (-5m.3m)
Al agrupar términos y aplicar propiedades de potenciación,
la ecuación sería
an x am = an+m
(6x4)+ (9x2m) - (10x2m) (-15m2)
Agrupación de términos semejantes
¿Cuál considera que es la ecuación final?
6x4 –mx2 – 15m2
-6x2+ 9x2m – 15m2
6x4 +mx2 +15m2
0x4 - 19x2m- 15m2
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
?
Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
Dos monomios
Por ejemplo, en la ecuación:
tenga en cuenta:
Las propiedades de potenciación
se reunieron los términos semejantes
an
= am-n
m
a
al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
?
Aquí va ayuda
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
Un monomio por un polinomio
Por ejemplo, en la ecuación:
tenga en cuenta:
La distribución del denominador
Aplicando propiedad distributiva del denominador,
quedaría
La propiedad de potenciación
an
= am-n
m
a
Si se aplicara las propiedades de la potenciación.
¿Cómo quedaría la ecuación?
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
Operaciones con Polinomios
Suma
Resta
Multiplicación
División
si se trata de:
Un Polinomio por un polinomio
(X5+7x3-5x+1)
(x3+2x)
veamos un ejemplo
(1) Se colocan los términos en
orden descendente con respecto
a la letra que se va a dividir
x5 + 7x3 - 5x + 1
- x5 - 2x3
x2 + 5
5x3 - 5x
-5x3 - 10x
(2) Se divide el primer término del
dividendo por el primer término
del divisor
x3 + 2x
C(x)
- 5x + 1
(3) Los términos del
cociente, se multiplican por cada uno
de los términos del divisor
(4) Los resultados
obtenidos se restan
R(x)
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
TEMA 2. FACTORIZACIÓN
Factor común
Factor común
por agrupación
Trinomio de
la forma
ax2 + bx +c
Diferencia de
cuadrados
Trinomio de
la forma
x2n+ bxn + c
Diferencia de
cubos
Trinomio al
cuadrado
perfecto
Suma de cubos
aplica si:
en la ecuación
ab + ac = a(b +c)
27a3b4m – 36a4b3m + 45a3b5m
se identifican los términos comunes
Todos los términos tienen
algo en común (puede ser
número, literal o combinación
de los dos)
9, a3, b3, m
al factorizar, el resultado es
9a3b3m(3b - 4ª + 5b2)
observa
?
Aquí va ayuda
Practiquemos
Encuentre el factor común de las siguientes ecuaciones
5m2b3 – 45m4b2 + 15m
5m(mb3 – 9m3b2 + 3)
aplica si:
ab + ac + db + dc = a(b +c) + d(b + c)
= ( a + d) (b + c)
en la ecuación
a2m – 5a2n + 3x2m + 15x2n
Al unir parejas que tienen
términos semejantes, se
obtiene un polinomio común
al unir parejas de términos comunes,
se tiene
a2 (m – 5n) + 3x2 (m – 5n)
al factorizar, el resultado es
(m – 5n)(a2 + 3x2)
observa
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
aplica si:
a2n – b2m = (an + bm) (an - bm)
en la ecuación
25a4 – 16b6
Los términos que la
componen tienen diferente
signo y ambos tienen raíz
cuadrada exacta
extrayendo raíz cuadrada se tiene
5(a2)2 – (4(b3) 2
al factorizar, el resultado es
(5a2 + 4b3) (5a2 - 4b3)
observa
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
aplica si:
a3n – b3m =
(an - bm) (a2n + anbm + b2m)
en la ecuación
125a6 – 64b9
Los términos que la
componen tienen diferente
signo y ambos tienen raíz
cúbica exacta
extrayendo raíz cúbica se tiene
(5a2) 3 – (4b3) 3
al factorizar, el resultado es
(5a2 + 4b3) (25a4 + 20a2b3 + 16b6)
observa
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
aplica si:
a3n + b3m =
(an + bm) (a2n - anbm + b2m)
en la ecuación
125a6 + 64b9
Los términos que la
componen tienen igual
signo y ambos tienen raíz
cúbica exacta
l
extrayendo raíz cúbica, se tiene
(5a2) 3 + (4b3) 3
al factorizar, el resultado es
(5a2 + 4b3) (25a4 - 20a2b3 + 16b6)
observa
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
aplica si:
Ejemplo, factorizar
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2
a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2
25a6 + 80a3b2+ 64b4
cumple que
El primero y tercer término
tienen raíz cuadrada exacta
y son positivos
El segundo término es igual a
dos veces el producto de las
raíces cuadradas y puede ser
positivo o negativo
(5a3)2 + 2(5a3)(8b2) + (8b2)2
(5a3 + 8b2) 2
Factorizando, la ecuación quedaría
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
aplica si:
Ejemplo, factorizar
El primer término es
positivo y tiene raíz
cuadrada exacta
X4 - 5x2 - 14
se buscan dos números
m y n que cumplan
La variable que está en el
segundo término es la raíz
cuadrada del primer término
mxp=c,m+p=b
para el ejemplo,
de tal forma que,
m x p= -14
m+p=-5
X2n + bxn + c = (xn + m) (xn + p)
cumplen para m y n
m=-7
p=+2
Factorizando,
la ecuación quedaría
Dos números que al multiplicarlos den como resultado (m x p)
y al sumarlos dan como resultado (m + p)
(x2 – 7) (x2 + 2)
Practiquemos
• Pendiente ejercicio
Para factorizar la ecuación, se debe convertir en
un trinomio de la forma x2n+ bxn + c, así:
La expresíón ax2+ bx + c,
la multiplicamos y dividimos
simultáneamente por a
se obtiene
a (ax2 + bx + c)
a
al organizar la ecuación
quedaría
(ax)2 + b(ax) + (ac)
a
si se sustituye
ax = z,
ac = c
la ecuación estaría
dada por
por lo tanto, el resultado es
un trinomio de la forma
x2n+ bxn + c
a (z)2 + b(z) + c
a
?
Aquí va ayuda
Practiquemos
• Factorizar
al multiplicar y
dividir por a se
obtiene
3(3x4 + 5x2 – 8)
3
al organizarla
quedaría como
(32x)2 + 15x – 24)
3
(3x2)2 + 3(5x2)– 24)
3
(3x2)2 + 3(5x2)– 8)
3
El Operador Sumatoria
∑
.
En la recolección de datos a cerca de la suma de las edades de un
grupo de 12 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos:
3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74
Si se representa teniendo en cuenta
el operador sumatoria se obtiene:
Si, en forma abstracta se hace referencia a un conjunto de n valores obtenidos a
partir de la medición o la observación y son distintos entre ellos, los valores de la
variable obtenida se designan con letras mayúsculas , así
de forma general, se representa como
Se lee: sumatoria de los valores de la variable X desde (i = 1) hasta el valor enésimo, n
TEMA 4. SUMATORIA, PRODUCTORIA…
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 3
Sumatoria de un valor contante k,
multiplicado por una variable X,
n veces
Caso 1
Definición básica del
operador sumatoria
Caso 2
Sumatoria de un valor
contante
Caso 4
Sumatoria del producto
ordenado de variables
Caso 5
Sumatoria de las diferencias de
valores pareados de dos variables
Caso 6
Sumatoria de los cuadrados de n
valores de una variable
n
se refiere a
∑ (Xi2) = X12 + X22 + X32 - Y32, +… + Xi2 +…,+ Xn-12 + Xn2
i=1
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 1
Definición básica del
operador sumatoria
No es más que la definición del operador
sumatoria, ∑, de valores de una variable. Para
Xi:
se tiene,
n
∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn
X=1
Teniendo en cuenta los valores obtenidos en la medición de la variable
Z: 12, 4, 11, 10, 7, 11, 9, 2, 9, 6, 5, 6, Calcular para:
10
∑ Zk =12+4+11+10+7+11+9+2+9+6 =
k=1
5
∑ Zk =12+4+11+10+7 =
6
∑ Zk =
=
k=1
k=1
7
3
∑ Zk = 12+4+11+10+7+11+9 =
∑ Zk =
k=1
k=1
=
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 2
Sumatoria de un valor
contante
En el caso donde el conjunto de n números a
obtener o suponer es un valor constante, g, la
suma de ellos es:
n
∑ ai =a1 + a2 + a3 + g+ … + a + a=na
i=1
Si se cuenta con el valor constante k=3, diez veces. Calcular:
10
∑ ki =3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 =
i=1
Para el valor constante k=6, cinco veces. Calcular:
5
∑ ki =
=
i=1
Para el valor constante k=7, 3 veces. Calcular:
3
∑ ki =
i=1
=
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 3
Sumatoria de un valor contante k,
multiplicado por una variable X,
n veces
La sumatoria de un valor constante k, multiplicado
por una variable, Xj, n veces, equivale a
n
∑ kxj =kX1 + kX2 + kX3 + kX4 +...+ kXj+ … +KXn-1+KXn
j=1
n
n
∑ kxj =k(X1 + X2 + X3 + X4 +...+ Xj+ … +Xn)= k∑ xj
j=1
j=1
es decir:
La sumatoria de un valor constante multiplicado por valores
de una variable, es igual a la constante multiplicada por la
sumatoria de los valores de la variable.
Cuál es el valor de la siguiente sumatoria, si se tiene en cuenta que la constante
k=9
6
6
∑ kXj = 9 ∑4+4+4+4+4+4 =
J=1
J=1
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 4
Sumatoria del producto ordenado
de variables
Sean los valores ordenados de la variable Xj, Yj,
La sumatoria estaría dada por
Xj
Yj
3
1
2
5
4
4
10
8
5
12
9
10
6
∑ XjYj = (3)(10) + (1)(8) + (2)(5) + (5)(12) + (4)(9) + (4)(10)
J=1
= 30 + 8 + 10 + 60 + 36 + 40 =
Observe que: la sumatoria de
los productos, es diferente del
producto de las sumatorias
por lo tanto,
El producto de estas sumatorias está dado por:
6
∑ Xj = 3 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 =
J=1
6
∑ XjYj =10 + 8 + 8 + 12 + 9 + 10 =
J=1
lo que equivale a
6
6
(∑ Xj) (∑ Yj )=
J=1
J=1
=
Propiedades del operador sumatoria
∑
Caso 5
Sumatoria de las diferencias de
valores pareados de dos variables
está dada por
n
n
∑ (Xj - Yj) = ∑ (X - Y )
j=1
j=1
en el ejemplo,
(X1 - Y1), (X2 - Y2), (X3 - Y3), …, (Xj - Yj), …, (Xn-1 - Yn-1), (Xn - Yn)
n
∑ (Xj-Yj) = (X1 - Y1) + (X2 - Y2) + (X3 - Y3) +...+ (Xj - Yj) +…+ (Xn-1 - Yn-1) + (Xn - Yn)
j=1
Reagrupando
= (X1 + X2 + X3 +…+ Xj +…+ Xn-1 + Xn) – (Y1 + Y2 + Y3 +… + Yj +… + Yn-1 + Yn)
se puede concluir que
la sumatoria de las diferencias es igual
a la diferencia de las sumatorias
Este caso es importante para resolver
derivaciones y los cálculos estadísticos
Combinatoria
La Combinatoria es la parte de las
Matemáticas que estudia las
diversas formas de realizar
agrupaciones con los elementos de
un conjunto, formando y calculando
su número
Las variaciones son aquellas formas de
agrupar los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta que:
•Influye el orden en
que se colocan.
•Si permitimos que se
repitan los elementos,
podemos hacerlo hasta
tantas veces como
elementos tenga la
agrupación.
pueden ser
Variaciones
sin repetición
Variaciones
con repetición
Combinatoria
Variaciones sin
repetición
para
si,
el número de elementos sin repetición
equivale a
aplicando la fórmula se obtiene
por lo tanto,
Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p, se definen como las
distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n
elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en
algún elemento como si están situados en distinto orden.
Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones sin repetición para p=3?
Combinatoria
para
Variaciones con
repetición
si,
el número de elementos con repetición
equivale a
aplicando la fórmula
por lo tanto,
Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como, las
distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de
entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si
difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.
Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones con repetición para p=3?
Permutaciones
Las permutaciones o, también
llamadas, ordenaciones son aquellas
formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que:
•Influye el orden en
que se colocan.
•Se toman todos los
elementos de que se
disponen.
pueden ser
Permutaciones
sin repetición
Permutaciones
con repetición
con
Permutaciones
Sin repetición
para
el número de elementos sin repetición
equivale a
por lo tanto,
Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las
distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la
única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
Permutaciones
con repetición
con
para
el número de elementos con repetición
equivale a
por lo tanto,
Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a
en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos
repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc)
verificándose que a+b+c+...=n.
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
Combinaciones
Sin repetición
para
con
el número de elementos sin repetición
equivale a
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen
como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos
de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a
otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus
elementos).
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
Combinaciones
con repetición
para
con
el número de elementos con
repetición equivale a
http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/per_marco.htm
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen
como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos
de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a
otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus
elementos).
Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?
Teorema del Binomio
es
el resultado que proporciona el
desarrollo de la potencia de una
suma
se expresa en la siguiente
variante:
El coeficiente de xkyn − k en el
desarrollo de(x + y)n es
donde,
recibe el nombre de coeficiente
binomial y representa el número de
formas de escoger k elementos a
partir de un conjunto con n elementos
EJEMPLO
para n=2, n=3, n=4:
la fórmula para calcular el valor de
,
representado ocasionalmente como C(n,k) o
hace referencia a
)
(x +
y)4
Observemos
= (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)
= (x + y)(x + y)3
= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy
+ yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy
Agrupando términos semejantes:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

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