Symetrie-2

Report
Groupes ponctuels
(point groups)
Révision :
• Les axes de rotation, plans de réflexion, centres d’inversion, rotations
impropres et l’identité sont des éléments décrivant des opérations de
symétrie particulières
• La symétrie de chaque molécule peut être décrite par l’ensemble des
opérations de symétrie possibles
• les opérations de symétrie peuvent être combinées d’après certaines règles
Les opérations de symétrie sur PCl5 (bipyramide triangulaire):
C3, S3
C2’’
C2’
sh
C2
sv
sv
E, C31, C32, C2, C2’, C2’’, sh, S31, sv, sv’, sv’’
sv
Décrire une molécule par une liste de toutes ses opérations de symétrie est long!
 On utilise un système de classification.
Pour cela il faut identifier des éléments clefs de symétrie d’une molécule.
Ces éléments caractéristiques définissent un groupe particulier possédant
plusieurs éléments de symétrie différents.
PCl5:
• axe principal de rotation C3
• les axes C2  à l’axe principal
• le plan sh
Après il faut suivre des règles de classification.
Chaque classification est abrégé par un symbole (symbole de Schönflies).
Celui-ci représente une collection d’opérations de symétrie.
Il représente un groupe ponctuel (“point group”).
Groupe
– un groupe d’opérations de symétrie, le terme “groupe” peut
être défini mathématiquement
Ponctuel – les éléments de symétrie associés aux opérations de symétrie
passent par le même point de l’espace. Ce point ne change pas
par les opérations de symétrie. (ex.:PCl5 ce point est situé sur
l’atome P).
Attention: ce point ne doit pas être nécessairement sur un atome  C6H6.
Les groupes uniaxiaux Cn
Ils contiennent seulement l’élément Cn:
triphénylphosphine C3
Les groupes Cnv
C2
Ils contiennent l’élément Cn et en plus n plans
verticaux sv contenant l’axe Cn:
H2O C2v
sv’
sv
Les groupes Cnh
Ils contiennent en plus de l’axe de rotation
d’ordre n un plan horizontal sh .. Ils
comprennent les Snm qui résultent du
produit de Cnm et de sh (n impair)
acide borique C3h
Les groupes Dn
Ils contiennent un axe de rotation Cn et n
axes C2  à celui-ci.
tris-chélate métallique D3
C3
sh
Les groupes Dnh
À partir d’un groupe ponctuel Dn si l’on identifie un
plan sh il s’agit du groupe Dnh .
C4, S4
C2, sv
Qui contient alors :
- l’axe de rotation Cn ,
- n axes C2  à celui-ci,
- le plan sh et
- n autres plans (sv et sd).
C2, sv
C2, sv
C2, sv
- Si n est pair, le groupe contient nécessairement un centre d’inversion i.
Les groupes Dnd
À partir du groupe ponctuel Dn si l’on trouve une série de n plans
verticaux on obtient un groupe ponctuel Dnd qui contient :
-
les axes de rotation Cn ,
n axes C2  à Cn,
n plans sd.
S2n
Si n est impair, le groupe contient nécessairement un
centre d’inversion i.
C3, S6
C2
éthane décalé D3d
H
H
H
C2
C2
H
H
sd
H
sd
sd
Les groupes Sn
Ils contiennent seulement l’élément Sn!
On peut montrer que pour n impair (n=3, 5, ..), l’ensemble des
opérations autour de cet axe impropre est le même que celui qui forme
le group Cnh, donc on parle seulement des groupes Cnh si n est impair
pour C3h:
C3, C32, E, sh, S3 , S35
pour S3:
S3, S32  C32, S33  sh, S34  C3 , S35, S36  E
Maintenant si n est pair:
S2 :
S4 :
S2  i
groupe Ci
S4 , S42  C2 , S43 , S44  E
les 4 éléments (en gras) forment un groupe. Ce groupe contient
toujours un axe Cn/2 colinéaire à Sn.
Ces questions permettent d’identifier tous les groupes ponctuels
communs trouvés en chimie. Il en existe d’autres, mais ils sont très
rares (icosaèdre(Ih), dodécaèdre).
Oh
octaèdre
Td
tétraèdre
Cv
linéaire HCN
Dh
linéaire CO2
Octaèdre
(dans un cube)
Attention:
Pour attribuer le groupe Oh ou
Td à une molécule, cette
dernière doit être parfaitement
octaédrique ou tétraédrique !
Groupes spéciaux (de très haute symétrie)
tétraèdre: contient 3 axes S4, 4 axes C3 et 6 plans de symétrie sd.
A ces éléments correspondent 24 opérations de symétrie: S
S4, S42  C2, S43 et S44  E 3  3
=
9
C3, C32 et C33  E
42
=
8
sd .
61
=
6
E
=
1
Total
=
24
Il n’y a pas de centre d’inversion.
exemples: SiF4, ClO4-, Ni(CO)4
Td
4
Oh
octaèdre: L’octaèdre et le cube possèdent les mêmes éléments de symétrie.
3 axes C4 (également S4), quatre axes C3 (également S6), 6 axes C2’, 3
plans sh, 6 plans sd. 48 opérations de symétrie
exemples: AlF6, SF6, [Fe(CN)6]3-
S4
Oh
48 opérations de symétrie:
C4, C42  C2, C43 et C44  E
C3, C32 et C33  E
C2’, C3’2
sh
sd.
S4, (S42  C2), S43 et (S44  E)
S6, S63  i, S65
E
Total
33=9
32=8
6
3
6
32=6
4  2 +1 = 9
1
24
Attention, des molécule qui se ressemblent ne font
pas nécessairement partie du même groupe
Oh
C4v
D4h
C4
Classificati
on
Classification: répondre à quelques questions
1. Est-ce que la molécule fait partie des groupes suivants ?
octaèdre
 Oh
tétraèdre
 Td
linéaire sans centre d’inversion i  Cv
linéaire avec centre d’inversion i  Dh
NON continuer avec question 2
2. Est-ce que la molécule possède un axe de rotation d’ordre 2 ?
OUI
continuer avec question 3
La molécule ne possède aucun autre élément d symétrie
NON
La molécule possède un plan de réflexion
La molécule possède un centre d’inversion
3. Est-ce que la molécule possède plus qu’un axe de rotation ?
OUI continuer avec question 4
NON
La molécule ne possède aucun autre élément de symétrie  Cn
OUI
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3)
La molécule possède un plan de symétrie sh
 Cnh.
La molécule possède n plans de réflexion sv
 Cnv.
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3h)
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3v)
4.
ok et fin
La molécule possède un axe S2n coaxial avec l’axe principal
La molécule possède le groupe ponctuel suivant:
Elle ne possède pas d’autre élément de symétrie
(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3).
Elle possède n plans de réflexion sd bissecteur de l’axe C2  Dnd
(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3d).
Elle possède aussi un plan sh
(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3h).
 Dnh
 C1
 Cs = C1h
 Ci
 S2n
 Dn
oui
linéaire ?
non
symétrie élevée ?
oui
non
axe de rotation Cn ?
centre d’inversion i ?
icosaèdre
I, Ih
non
Cv
tétraèdre
Td, Th, T
oui
Dh
octaèdre
Oh et O
pas d’autre élément
non
oui
Axe C2  à l’axe
principal Cn ?
plan de réflexion
oui
Cs=C1h
centre d’inversion
autre groupe ponctuel
non
pas d’autre élément
Cn
n plans de réflexion sh
Cnh
n plans de réflexion sv
Cnv
un axe S2n coaxial avec
l’axe de symétrie principal
S2n
C1
Ci
pas d’autre élément
Dn
n plans de réflexion sd
(bissecteur de l’axe C2)
Dnd
aussi un plan sh
Dnh
PCl5 ?
oui
linéaire ?
non
symétrie élevée ?
oui
non
axe de rotation Cn ?
i?
icosaèdre
I, Ih
tétraèdre
Td, Th, T
octaèdre
Oh et O
pas d’autre élément
non
oui
Axe C2  à l’axe
principal Cn ?
oui
non
Cn
n plans de réflexion sh
Cnh
n plans de réflexion sv
Cnv
un axe S2n coaxial avec
l’axe de symétrie principal
S2n
Cv
oui
Dh
C1
plan de réflexion
Cs=C1h
centre d’inversion
Ci
autre groupe ponctuel
pas d’autre élément
non
pas d’autre élément
Dn
n plans de réflexion sd
(bissecteur de l’axe C2)
Dnd
aussi un plan sh
D3h
exemples (2):
SF6 ?
groupe ponctuel: Oh
SCl5I ?
groupe ponctuel: C4v
C4
Nous savons maintenant:
• décrire les éléments de symétrie d’une molécule
• classer les molécules selon ses propriétés de symétrie
description mathématique
http://www.chem.shef.ac.uk/ug/cha96mch/index.html
Est-ce que la molécule possède plus qu’un axe de rotation ?
OUI continuer avec question 4
NON
La molécule ne possède aucun autre élément de symétrie
 Cn
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3)
La molécule possède un plan de symétrie sh
 Cnh.
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3h)
La molécule possède n plans de réflexion sv
 Cnv.
(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3v)
La molécule possède un axe S2n coaxial avec l’axe principal  S2n
C2, S4
C2, S4
allène: C3H4
symétrie: S4
Théorie de groupe
Définition mathématique d’un groupe
Règles pour éléments formant un groupe:
1.
La combinaison de deux éléments d’un groupe doit être un élément du groupe
2.
Un élément du groupe doit laisser la molécule inchangée : (identité) E
3.
La combinaison des éléments d’un groupe doit être associative
A(B C) = (A B) C
4.
Chaque élément doit posséder un élément inverse (qui est aussi élément du groupe).
A A-1 = A-1 A = E
Les opérations de symétrie d’une molécule suivent les règles d’un groupe mathématique.
Les groupes formés d’opérations de symétrie sont appelés groupes de symétrie ou groupes
ponctuels (maintiennent la molécule fixe à un point de l’espace).
(Il existe d’autres groupes d’opérations de symétrie, comme en cristallographie, il y a la
translation, les groupes spatiaux).
La mathématique des groupes permet de simplifier les équations pour calculer les énergies
d’une molécule :
 application en mécanique quantique, en spectroscopie, thermodynamique…
Les groupes ponctuels de symétrie peuvent se partager en deux catégories :
Si la multiplication est commutative: AB = BA  groupe abélien
Si la multiplication n’est pas commutative: AB  BA  groupe non-abélien
exemple:
opérations de symétrie E, C2 , sv , sv’
Est-ce que ces opérations forment un groupe ?
table de multiplication:
E
C2
sv
sv’
E
E
C2
sv
sv’
C2
C2
E
sv’
sv
sv
sv
sv’
E
C2
sv’
sv’
sv
C2
E
C2
y
sv'
x
sv
E
C2
sv
sv’
E
E
C2
sv
sv’
C2
C2
E
sv’
sv
sv
sv
sv’
E
C2
sv’
sv’
sv
C2
E
table de multiplication:
- Les 16 produits possibles sont tous des éléments du groupe.
- La combinaison des éléments est associative (à vérifier)
- Dans le cas présent : chaque élément est son propre inverse
 ces 4 éléments forment le groupe C2v
C2 sv = sv C2 , sv’sv = sv sv’, etc….
 C2v est un groupe abélien
Exemple : groupe C3v (NH3)
Les opérations de symétrie de ce groupe sont:
E, C31 , C32 , sv, sv’, sv’’ ne pas oublier que C31 * sv’ = sv’’
tableau de multiplication :
E
C3
C32
sv
sv’
sv’’
E
E
C3
C32
sv
sv’
sv’’
C3
C3
C32
E
sv’’
sv
sv’
C32
C32
E
C3
sv’
sv’’
sv
sv
sv
sv’
sv’’
E
C3
C32
sv’
sv’
sv’’
sv
C32
E
C3
sv’’
sv’’
sv
sv’
C3
C32
E
groupe non-abélien C3v
Compliqué!
Pour résoudre plus facilement la question de la multiplication des
colonnes, une méthode plus rapide est possible. Il s’agit de trouver une
solution non triviale aux opérations de symétrie de ce groupe en
remplaçant chaque opération par un 1 ou un -1, la solution devant
respecter les autres opérations de symétrie.
Pour le groupe C2v les opérations de symétrie sont : E, C2 , sv , sv’
On dit que E = 1, C2 = 1 , sv = -1, sv’ = -1
Cette solution n’est valide que si toute les multiplications d’opérations
restent valides. Les résultats doivent être les mêmes :
sv * sv’ = C2

E * C2 = C2

sv * C2 = sv’
-1 *-1 = 1
1 *
1 = 1
1 *-1 =-1

...
Les résultats sont les mêmes donc la solution est valide
Exemple : Groupe C2v:
Les réponses suivantes (et non triviales) sont possibles:
E=1
E=1
E=1
E=1
sv = 1
sv = -1
sv = 1
sv = -1
C2 = 1
C2 = 1
C2 = -1
C2 = -1
sv’ = 1
sv’ = -1
sv’ = -1
sv’ = 1
La table de multiplication de C2v est :
E
C2
sv
sv’
E
E
C2
sv
sv’
C2
C2
E
sv’
sv
sv
sv
sv’
E
C2
sv’
sv’
sv
C2
E
Il est possible de représenter les opérations de
symétrie par des opérations mathématiques:
«rotation de 180°» = «multiplier par 1» ou
«multiplier par -1» selon la représentation
considérée.
1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
1
-1
1
C2v
E
C2
sv
sv’
G1
1
1
1
1
G2
1
1
-1
-1
G3
1
-1
1
-1
G4
1
-1
-1
1
Représentations
Considérons:
opérations de symétrie: tourner à droite
tourner à gauche
faire demi-tour
rester immobile
 Ces quatre opérations forment un groupe
D
G
R
E
dans un repère bidimensionnel (2D):
x
D
y
y’=-x
x’=y
x D  y 
 
 y  
 
 x 
Les coordonnées cartésiennes
peuvent être utilisées comme base
mathématique de la représentation.
x
R
y’’=-y
x’’=-x
y
 x  R  x 
 
 y  
 
y
La même chose pour les opérations G et E
Chaque opérateur peut être ensuite converti en matrice :
Comment faire la transformation
Avec la notation matricielle :
x D  y 
 
 y  
 
 x 
?
 x '   0 1  x   y 
 
    
 y '   1 0  y    x 
Représentation matricielle de chacune
des opérations de symétrie :
 0 1
D


1
0


 0 1
G

1
0


 1 0 
R

0

1


1 0
E 

0
1


Ces matrices constituent un groupe!
L’élément inverse est l’élément qui permet de faire un retour en arrière
sur une opération, c’est-à-dire que l’on retourne à la case de départ.
Pour ce groupe l’élément inverse de G est D:
 0 1  0 1  1 0 
DG  

E



 1 0  1 0   0 1 
Exemple : La molécule d’eau:
O
H
symétrie C2v
H
Z1
Z2
X1
X2
H
O
X3
Y2
Z3
Y1
H
Y3
xa, ya, za: coordonnées de déplacement de chaque atome (a=1,2,3)
dans un repère cartésien
Nous pouvons utiliser les coordonnées de déplacement de chaque
atome comme base pour la représentation mathématique des
opérations de symétrie de la molécule.
Z1
Z1
Z2
Y1
C2
Y1
O
Z3
X1
H
X3
Y2
O
Z3
H
Y3
Y3
X1
H
X3
Y2
Z2
H
X2
X2
La matrice qui représente la transformation des 9 coordonnées:
 1 0

 0 1
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0

réflexion sv(xz):
Rotation C2
0
0
0
0
0
0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0   x1    x1 

  
0   y1    y1 
0 0 0   z1   z1 

  
1 0 0   x2    x3 
0 1 0   y2     y3 

  
0 0 1   z2   z3 
0 0 0   x3    x2 

  
0 0 0   y3    y2 
 z   z 
0 0 0 
 3   2 
0
0
0
0
1 0

 0 1
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0   x1   x1 

  
0   y1    y1 
0 0   z1   z1 

  
0 0   x2   x3 
1 0   y2     y3 

  
0 1   z2   z3 
0 0   x3   x2 

  
0 0   y3    y2 
0 0   z3   z2 
0
0
Les matrices 99 pour toutes les opérations du groupe
ponctuel forment une représentation du groupe C2v.
La molécule d’ammoniac:
N
H
H
symétrie C3v
H
pour l’azote:
H
y1
N
C3
x1
H
y1
x1
N
H
H
H
H
x1
x1
y1
y1
angle de rotation: q
notation matricielle: cosq

 sin q
 sin q   x1   x1 ' 
  y    y '
cosq  1   1 
compliqué !
Comment pouvons-nous utiliser le fait que les matrices constituent
un groupe mathématique pour simplifier le problème ?
Représentations
irréductibles
N
exemple:
H
H
symétrie C3v
H
z
La matrice (3x3) qui détermine une représentation
de l’opération C31 du groupe ponctuel C3v.
y
x
 cosq

C31   sin q
 0

 sin q
cosq
0
0

0
1 
La matrice est constituée de deux «sous»-matrices
donc peut être réduite en deux matrices plus petites.
Une matrice qui ne peut plus être réduite s’appelle irréductible.
Conséquence pour la théorie des groupes appliquée à la chimie:
Certaines représentations de dimension supérieure à un peuvent être
réduites en des représentations de plus petites dimensions.
Une représentation matricielle qui peut être réduite est appelée
représentation réductible.
Une représentation qui ne peut pas être réduite en des représentations de
plus petite dimension est appelée représentation irréductible.
Nous pouvons trouver n’importe quelle représentation matricielle des
opérations de symétrie d’une molécule et cette représentation pourra
toujours s’exprimer en termes de représentation irréductible du groupe
ponctuel de la molécule.
La bonne nouvelle:
Toutes les représentations irréductibles ont été déterminées pour chacun
des groupes ponctuels utilisés en chimie!
Caractères
Un problème: Comment manipuler des matrices volumineuses ?
(H2O: 3x3,
C6H6 !!!)
Une matrice 4x4 quelconque:
a

e

i

m
b
f
j
n
c
g
k
o
la trace de cette matrice est a+f+k+p
d

h
l

p
En théorie des groupes appliquée à la chimie, cette trace de la
représentation matricielle est caractéristique de son comportement
en tant que représentation d’une opération de symétrie.
Les représentations matricielles ne voient pas la valeur de leur trace
changer sous l’effet de toutes les transformations mathématiques
mises en jeu.
Parce que la trace est caractéristique de la matrice on l’appelle
caractère de la matrice.
Cette propriété simplifie beaucoup l’utilisation des matrices en théorie
des groupes appliquée à la chimie. Il faut simplement connaître la
valeur des traces des représentations matricielles irréductibles (et il
n’est pas nécessaire d’écrire les matrices dans leur intégralité).
Le cœur de la théorie des
groupes
Qu’avons-nous appris des mathématiques:
1. Nous pouvons représenter mathématiquement une molécule
(généralement à l’aide des coordonnées de ses atomes). Cette
description mathématique de la molécule forme une base pour les
opérations de symétrie.
2. A l’aide de cette base nous pouvons créer des représentations
mathématiques des opérations de symétrie à l’aide de règles simples.
3. Les représentations mathématiques sont soit réductibles, soit
irréductibles. Toute représentation réductible peut être exprimée
comme une combinaison de représentations irréductibles.
4. Les représentations peuvent être exprimées simplement par des
nombres appelés caractères.
5. Les représentations irréductibles de tous les groupes ponctuels courants
ont été déterminées. Ces représentations sont regroupées dans des
tables de caractères.
Nous avons vu :
- Toute molécule peut être classée selon ses opérations de symétrie dans
un groupe ponctuel.
- Le groupe ponctuel d’une molécule définit l’ensemble des opérations de
symétrie de la molécule.
- Certaines opérations de symétrie se comportent de manière semblable et
peuvent être regroupées en classes d’équivalence.
- Nous pouvons représenter mathématiquement ces opérations de
symétrie. Ces représentations sont réductibles ou irréductibles. Les
réductibles peuvent être considérées comme des combinaisons de
celles irréductibles. Le nombre des représentations irréductibles est
égal au nombre de classes d’équivalence du groupe.
- Les représentations irréductibles sont intéressantes en chimie. Ils ont
été déterminées et sont données sous forme de table de caractères.
C2v
E
C2
sv(xz)
sv’(yz)
A1
1
1
1
1
z
x2,y2,z2
A2
1
1
-1
-1
Rz
xy
B1
1
-1
1
-1
x,Ry
xz
B2
1
-1
-1
1
y,Rx
yz
C2
nom du groupe
(symbole de Schönflies)
Éléments de symétrie, réunis en classes
sv
sv’
C2v
E
C2
sv(xz)
sv’(yz)
A1
1
1
1
1
z
x2,y2,z2
A2
1
1
-1
-1
Rz
xy
B1
1
-1
1
-1
x,Ry
xz
B2
1
-1
-1
1
y,Rx
yz
Représentations
caractères des représentations
irréductibles associées aux
irréductibles
symboles de Mulliken
(attribués d’après des règles)
bases de représentations
couramment utilisées
exemples:
C3v
E
2C3
3sv
A1
1
1
1
z
A2
1
1
-1
Rz
E
2
-1
0
(x,y), (Rx , Ry)
x2+y2,z2
(x2-y2,xy),(xz,yz)
C5v
E
2C5
2C52
5sv
A1
1
1
1
1
z
A2
1
1
1
-1
Rz
E1
2
2cos(72°)
2cos(144°)
0
(x, y),(Rx,
Ry)
E2
2
2cos(144°)
2cos(72°)
0
x2+y2, z2
(xz, yz)
x2-y2, xy
exemples:
6S4
6sd
1
1
1
1
1
-1
-1
2
-1
2
0
0
T1
3
0
-1
1
-1
(Rx, Ry , Rz)
T2
3
0
-1
-1
1
(x, y, z)
Td
E
8C3 3C2
A1
1
1
A2
1
E
x2+y2+z2
(2z2-x2-y2, x2-y2 )
(xy, xz, yz)
Le nombre des représentations irréductibles d’un groupe est égal au
nombre de classes d’opérations que possède le groupe!
Les classes
On peut décrire la symétrie d’une molécule grâce à un ensemble d’éléments
de symétrie qui peuvent être effectuées sur la molécule donc un ensemble
d’opérations de symétrie. Ces opérations de symétrie peuvent être utilisées
pour définir la symétrie de la molécule.
Les opérations de symétrie qui peuvent être appliquées sur la molécule
PH3 (ou NH3) sont: E, C31, C32, sv, sv’ et sv’’.
Certaines de ces opérations de symétrie sont semblables:
C31 et C32.
sv, sv’ et sv’’.
E (seul)
Classes d’équivalence:
La molécule PH3 possède les classes d’équivalence E, 2C3, 3sv.
Les chiffres 2, 3 indiquent le nombre d’opérations de symétrie dans une
classe d’équivalence: 2C3 contient C31 et C32.
Comment assigner les opérations de symétrie aux classes ?
1. L’identité E est toujours une classe en soi
2. L’inversion i est toujours une classe en soi
3. La rotation autour de Cnk et son inverse (Cn-k = Cnn-k) sont dans la même
classe si :
- n plans sv ou sd existent
- n axes C2  à Cnk existent
4. Règle 3 est aussi valable pour les rotations impropres Sn
5. Dans le groupe Cnv tous les sv sont dans la même classe. Dans le groupe
Dnh les sv et les sd sont dans des classes différentes, une réflexion sh est
toujours une autre classe.
6. Dans le groupe Dnd tous les axes C2’ ( à l’axe principal) sont dans la
même classe. Dans le groupe Dnh les axes C2’ ( à l’axe principal) ne
sont pas tous dans la même classe.
7. Règle 6 est aussi valable pour les axes impropres de rotation.
Plus court:
Deux opérations se trouvent dans la même classe si
(1) les deux sont du même genre (rotation, réflexion)
(2) dans le groupe existe une autre opération qui inter-change
les deux opérations
dans C6 : les rotations sont toutes dans des classes différentes,
dans C6v : la réflexion dans un plan vertical inter-change l’effet de
rotation de 60° et de 300°, donc C61 et C65 sont dans la
même classe
Comment réduire une
représentation réductible?
C3v
E
2C3
3sv
A1
1
1
1
z
A2
1
1
-1
Rz
E
2
-1
0
(x,y), (Rx , Ry)
x2+y2,z2
(x2y2,xy),(xz,yz)
i(R): le caractère de la représentation irréductible d’indice i pour un
élément de symétrie
 (R): le caractère de la représentation réductible pour un élément de
symétrie
h:
l’ordre du groupe (le nombre d’opérations de symétrie qu’il
contient)
nR: l’ordre de la classe de symétrie considérée
ai: le nombre de fois que la représentation irréductible d’indice i
apparaît dans la représentation réductible
la formule de
réduction
1
ai      R  *  i  R  nR 
h R
exemple:
représentation réductible du groupe C3v:
table de caractère du groupe C3v:
C3v
E
2C3
3sv
A1
1
1
1
z
A2
1
1
-1
Rz
0
(x,y), (Rx ,
Ry)
E
2
-1
h=6:
E
2C3
3sv
RR
4
1
0
1(de E) + 2(de C3) + 3(de sv) = 6
E
2C3
3sv
RR
4
1
0
x2+y2,z2
1
a1   4 11  11 2    0 1 3   1
6
C3v
C3v
(x2y2,xy),(xz,yz)
ai 
1
  R  *  i  R  nR 


h R
Le nombre de fois que A1
apparaît dans la représentation
réductible RR
exercice:
Combien de fois peut-on trouver les représentations A2 et E
dans la représentation réductible (RR) du groupe C3v ?
C3v
E
2C3
3sv
RR
4
1
0
C3v
E
2C3
3sv
A1
1
1
1
A2
1
1
-1
E
2
-1
0
1
a2   4  1 1  1 1 2    0  1 3    1
6
1
a3   4  2  1  1 1 2    0  0  3    1
6
 RR = A1+A2+E
exercice: représentation réductible (RR) du groupe tétraèdre Td
Td
E
8C3
3C2
6S4
6sv
RR
7
1
-1
-1
-1
A1
1
1
1
1
1
A2
1
1
1
-1
-1
E
2
-1
2
0
0
T1
3
0
-1
1
-1
T2
3
0
-1
-1
1
1
ai      R  *  i  R  nR 
h R
1
 7 11  11 8    11 3   1 1 6    1 1 6    0
24
1
a2 
 7 11  11 8    11 3   1 1 6    1 1 6    1
24 
1
a3 
 7  2 1  1 1 8    1 2  3    1 0  6    1 0  6    0
24 
1
a4 
 7  3 1  1 0  8    1 1 3    1 1 6    1 1 6    1
24
 RR = A2+T1+ T2
1
a5 
 7  3 1  1 0  8    1 1 3   1 1 6    11 6    1
24 
a1 

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