در بدست آوردن عکس تبديل Z

Report
‫بسم ا‪ ...‬الرحمن الرحيم‬
‫درس کنترل ديجيتال‬
‫مهر ‪1389‬‬
‫دکتر حسين بلندي‪ -‬دکتر سید مجید اسما عیل زاده‬
‫عکس تبديل ‪z‬‬
‫روشهای عکس تبديل ‪z‬‬
‫‪ -1‬روش تقسيم مستقيم‬
‫‪ -2‬روش محاسبه ای‬
‫‪ -3‬روش گسترش کسرهای جزيی‬
‫‪ -4‬روش انتگرال معکوس سازی‬
‫تذکرمجدد ‪:‬‬
‫در بدست آوردن عکس تبديل ‪ ، Z‬فرض می کنيم که دنباله زمانی )‪ x(k‬يا‬
‫)‪ x(kT‬برای ‪ k<0‬صفر است‬
‫‪ -1‬روش تقسيم مستقيم‬
‫‪ ‬عکس تبديل ‪ Z‬با گسترش )‪ X(z‬به يک سری توانی بی پايان از ‪z 1‬‬
‫‪ ‬اين روش زمانی سودمند است که بدست آوردن صورت بسته برای عکس‬
‫تبديل ‪ z‬دشوار باشد يا تنها چند جمله اول )‪ x(k‬مورد نظر باشد‪.‬‬
‫‪ ‬اين روش از تعريف تبديل ‪ z‬حاصل می شود‪ .‬يعنی ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪X ( z )   x(kT ) z  k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x(0)  x(T ) z  x(2T ) z  ...  x(kT ) z‬‬
‫مثال ‪ :‬عکس تبديل ‪ z‬تابع زير را برای ‪ k=0,1,2,3,4‬محاسبه نماييد‬
‫‪10 z  5‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫)‪( z  1)( z  0.2‬‬
‫حل ‪:‬‬
‫‪10 z 1  5 z 2‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫‪1  1.2 z 1  0.2 z  2‬‬
‫از تقسيم صورت بر مخرج داريم ‪:‬‬
‫مثال ‪ :‬عکس تبديل ‪ z‬تابع زير را محاسبه نماييد‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X ( z )  1  2 z  3z  4 z‬‬
‫حل ‪ :‬با مقايسه رابطه فوق با تعريف تبديل ‪ z‬داريم ‪:‬‬
‫‪X ( z )  x(0)  x(T ) z 1  x(2T ) z 2  ...  x(kT ) z  k  ...‬‬
‫‪x(0)  0‬‬
‫‪x(1)  2‬‬
‫‪x(2)  3‬‬
‫‪x(3)  4‬‬
‫‪ ‬مقادير تمام )‪ x(k‬های ديگر صفر است‪.‬‬
‫‪ -2‬روش محاسباتی‬
‫‪ -3‬روش گسترش کسر جزئی‬
: (z=0) ‫ دارای قطبهای ساده و حداقل يک صفر در مبدا باشد‬X(z) ‫ اگر‬: ‫حالت کلی‬
Z 1[ X ( z )]  x(k )  y (k  1)
=0
X ( z)
 a1  a 2  a3      a n
z
(z  p ) (z  p ) (z  p )
(z  p )
1
a
 [( z 
i
p)
i
X ( z)
]
z
2
z  pi
3
n
: ‫مثال‬
10 z
X ( z) 
( z  1)( z  0.2)
X ( z)
10
12.5 12.5



z
( z  1)( z  0.2) z  1 z  0.2
X ( z)
10
12.5 12.5



z
( z  1)( z  0.2) z  1 z  0.2
1
1
X ( z )  12.5(

)
1
1
1 z
1  0.2 z
: ‫می دانيم‬
1
Z [
] 1
1
1 z
1
x(k )  12.5[1  (0.2) k ]
1
k
Z [
]

(
0
.
2
)
1  0.2 z 1
1
k  0,1,2,...
2z3  z
X ( z) 
( z  2) 2 ( z  1)
)‫) قطبهای مکرر‬: ‫مثال‬
: ‫ رابه صورت کسرهای جزئی گسترش می دهيم‬X(z)/z : ‫روش اول‬
X ( z)
2z 2 1
9
1
3




2
2
z
( z  2) ( z  1) ( z  2)
z  2 z 1
9 z 1
1
3
X ( z) 


1 2
1
(1  2 z ) 1  2 z
1  z 1
: ‫می دانيم‬
1
z
k 1
Z 1[
]

k
(
2
)
1 2
(1  2 z )
1
k
Z [
]

2
1  2 z 1
1
1
Z [
] 1
1
1 z
1
x(k ) 
k 0
2
9k (2 k 1 )  2 k  3
: ‫بنابراين‬
k  1,2,3,...
: ‫ ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم‬:‫روش دوم‬
10 z 2  15 z  8
X ( z)  2 
( z  2) 2 ( z  1)
Xˆ ( z ) 
2
10
z
 15 z  8
ˆ
X ( z) 
( z  2) 2 ( z  1)
9z
2
3


2
( z  2)
z  2 z 1
1
1
1
9
z
2
z
3
z
Xˆ ( z ) 


1 2
1
(1  2 z ) 1  2 z
1  z 1
9 z 1
2 z 1
3 z 1
X ( z)  2 


1 2
1
(1  2 z ) 1  2 z
1  z 1
1
Z [2] 
k 0
k  1,2,3,...
2
0
k 1
k
(
2
)
z
1
Z [
]
1 2
0
(1  2 z )
1
1
z
Z 1[
]
1
1 2z
1
z
Z 1[
]
1
1 z
x(k ) 
2 k 1
0
1
0
k  1,2,3,...
k 0
k  1,2,3,...
k 0
k  1,2,3,...
k 0
2
9k (2k 1 )  2k  3
k 0
k  1,2,3,...
‫تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی‬
‫در اين بخش‪ ،‬نخست تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی را تعريف کرده‪ ،‬سپس در مورد اينکه‬
‫روش تبديل ‪ z‬در حل اين معادالت تفاضلی چگونه بکار می رود بحث خواهيم کرد‪.‬‬
‫تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی‪ :‬سيستم زمان – گسسته خطی تغيير ناپذير با زمان زير را درنظر‬
‫می گيريم ‪:‬‬
‫)‪x(k )  a1 x(k  1)  ...  an x(k  n‬‬
‫)‪ bou (k )  b1u (k  1)  ...  anu (k  n‬‬
‫تبديل ‪ Z‬معادله فوق عبارتست از‪:‬‬
‫) ‪X ( z )  a1 z 1 X ( z )  ...  an z  n X ( z‬‬
‫) ‪ boU ( z )  b1 z 1U ( z )  ...  bn z  nU ( z‬‬
: ‫معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم‬
1
n
(1  a1 z  ...  an z ) X ( z ) 
1
n
(bo  b1 z  ...  bn z )U ( z )
: ‫معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم‬
1
n
bo  b1 z  ...  bn z
X ( z) 
U ( z)
1
n
1  a1 z  ...  an z
: ‫تعريف می کنيم‬
bo  b1 z 1  ...  bn z  n
G( z) 
1  a1 z 1  ...  an z  n
 o (kT ) 
: ‫تابع دلتای کرونر‬
k 0
k 0
1
0
U ( z )  Z [ o (kT )]  1
Z [ o (kT )]  1
: ‫پاسخ سيستم به ورودی تابع دلتای کرونر‬
1
n
bo  b1 z  ...  bn z
X ( z) 
 G( z)
1
n
1  a1 z  ...  an z
: ‫دنباله وزنی‬
1
g (k )  Z [G ( z )]
‫مثال‪ :‬معادله تفاضلی زير را درنظر بگيريد و تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد‪.‬‬
‫) ‪x(k  2)  a1 x(k  1)  a2 x(k )  bou (k  2)  b1u (k  1)  b2u (k‬‬
‫تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد‪ .‬با فرض اينکه سيستم در ابتدا در حالت‬
‫استراحت بوده و ‪u (k )  0‬برای ‪k . 0‬‬
‫حل‪ :‬تبديل ‪ z‬معادله فوق را بدست می آوريم ‪:‬‬
‫) ‪[ z 2 X ( z )  z 2 x(0)  zx(1)]  a1[ zx( z )  zx(0)]  a2 X ( z‬‬
‫) ‪ bo [ z 2U ( z )  z 2u (0)  zu (1)]  b1[ zU ( z )  zu (0)]  b2U ( z‬‬
‫اکنون بايد شرايط اوليه )‪ x(0‬و )‪ x(1‬را از معادله اصلی محاسبه نماييم‪:‬‬
‫‪k  2‬‬
‫)‪x(0)  a1 x(1)  a2 x(2)  bou (0)  b1u (1)  b2u (2‬‬
‫)‪x(0)  bou (0‬‬
‫‪k  1‬‬
‫)‪x(1)  a1 x(0)  a2 x(1)  bou (1)  b1u (0)  b2u (1‬‬
‫)‪x(1)  a1 x(0)  bou (1)  b1u (0‬‬
‫با فرض آنکه سيستم در حالت سکون بوده‪ ،‬معادله فوق را بصورت زير ساده می نماييم ‪:‬‬
‫) ‪( z 2  a1 z  a2 ) X ( z )  (bo z 2  b1 z  b2 )U ( z‬‬
‫) ‪(bo z 2  b1 z  b2‬‬
‫‪X ( z)  2‬‬
‫)‪U ( z‬‬
‫‪z  a1 z  a2‬‬
(bo z 2  b1 z  b2 )
X ( z)  2
U ( z)
z  a1 z  a2
X ( z ) bo z 2  b1 z  b2 bo  b1 z 1  b2 z 2
G( z) 
 2

U ( z)
z  a1 z  a2
1  a1 z 1  a2 z  2
:‫ دنباله وزنی سيستم زمان – گسسته زير را به دست آوريد‬:‫مثال‬
x(k )  ax(k  1)  u (k )
X ( z )  az 1 X ( z )  U ( z )
X ( z)
1
G( z) 

U ( z ) 1  az 1
1
X ( z) 
U ( z)
1
1  az
g (k )  Z 1[G ( z )] 
:‫حل‬
ak
k  0,1,2,...
0
k 0

similar documents