Kinematyka

Report
Zjawiska ruchu
Ruch – jedno w najczęściej obserwowanych zjawisk fizycznych
Często ruch zachodzi z tak dużą lub tak małą prędkością i w tak krótkim lub tak długim czasie, że nie
można obserwować bezpośrednio jego przebiegu. Wówczas zarejestrujemy trajektorię poruszającego
się obiektu
Ten ruch cząstek emitowanych w
zderzeniach jąder
atomowych trwał ułamki
milionowych części sekundy.
(CERN, Rap.Ann. 1986)
Teleskop ''Gemini'' na Hawajach.
Widoczne ślady ruchu
samochodów i ... gwiazd.
(Cern Courier, 39/7, 1999)
1
Opis ruchu - podstawowe pojęcia (1)
• Układ odniesienia – nieruchome w czasie obserwacji ciało lub zbiór ciał, względem którego
opisujemy ruch innych ciał
• Układ współrzędnych – związany z danym układem odniesienia zespól wzajemnie prostopadłych
osi umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni
• Punkt materialny - ciało, którego rozmiary w badanym ruchu można uznać za pomijalnie małe
• Układ punktów materialnych - zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej
konfiguracji przestrzennej
• Ciało sztywne – ciało, które nie ulega odkształceniu w czasie rozpatrywanego ruchu
• Stan spoczynku względem danego układu odniesienia – kiedy ciało nie zmienia swego położenia
względem tego układu odniesienia.
Z
Y
X
2
Układ odniesienia związany
z przejazdem kolejowym
i umiejscowiony na nim
układ współrzędnych
prostokątnych
Opis ruchu - podstawowe pojęcia (2)
• Ruch postępowy - wszystkie punkty danego ciała przemieszczają się tak samo co do wartości i
kierunku względem zadanego układu odniesienia
• Ruch prostoliniowy - przemieszczenie odbywa się wzdłuż linii prostej
• Ruch obrotowy - wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują
się na jednej prostej - osi obrotu
• Ruch płaski – ruch zachodzący w jednej płaszczyźnie.
• Kinematyka – dział fizyki zajmujący się opisem ruchu, bez wnikania w jego przyczyny
• Dynamika - dział fizyki zajmujący się opisem związków pomiędzy przyczynami ruchu, a jego
własnościami
Pociąg TGV
na dworcu w Nantes;
prędkość przejazdowa:
300 km/godz.
3
Układy współrzędnych (1)
Układ współrzędnych prostokątnych
- osie układu współrzędnych
- współrzędne początku układu
P – punkt w przestrzeni
trójwymiarowej
- wektor położenia punktu w przestrzeni
(promień wodzący)
Promień
wodzący
punktu P
-współrzędne prostokątne
punktu w przestrzeni
-wersory osi układu
współrzędnych
długość promienia wodzącego
4
Układy współrzędnych (2)
Układ współrzędnych sferycznych
Wektor położenia w układzie
współrzędnych sferycznych:
Współrzędne w układzie prostokątnym
wyrażone przez współrzędne sferyczne:
Współrzędne sferyczne wyrażone przez
współrzędne prostokątne:
5
Układy współrzędnych (3)
Układ współrzędnych cylindrycznych
Wektor położenia w układzie współrzędnych
cylindrycznych:
Współrzędne w układzie prostokątnym
wyrażone przez współrzędne cylindryczne:
Współrzędne w układzie cylindrycznym
wyrażone przez współrzędne prostokątne:
6
Układy współrzędnych (4)
Układ współrzędnych
biegunowych
Wektor położenia w układzie
współrzędnych biegunowych:
Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone
przez współrzędne biegunowe:
Współrzędne w układzie biegunowym
wyrażone przez współrzędne prostokątne:
7
Część I. Kinematyka
Prędkość
x    t
 t  0 . 0125 s
Wektor położenia w funkcji czasu.
Zmiana wektora położenia
w przedziale czasu .
  x / t
Zmiana położenia w jednostce czasu:
  12 m / s  43 km / godz .
 x  0 . 15 m
Fot. Ruch samochodu w czasie fotografowania
Wielkość „rozmycia” proporcjonalna jest do prędkości
samochodu i czasu naświetlana.
Kiedy przyrost czasu dąży do zera, to

 

dr
dt

x

y

z
  

dx  dy  dz 
lim


i 
 j
k 
t  0  t
dt
dt
dt
dt
- prędkość
chwilowa

r
9

dr
Prędkość (2)
Kierunek, zwrot i wartość wektora prędkości
Kierunek wektora prędkości
chwilowej pokrywa się ze
styczną do toru w danym
punkcie, a jego zwrot
wyznaczony jest przez znak
przyrostu wektora położenia.
Wartość wektora prędkości:
 
10
x y z
2
2
To wskazuje
prędkościomierz w
samochodzie.
2
Prędkość (3)
Wektor prędkości w układzie
współrzędnych biegunowych
Czym jest

dr
?
prędkość
radialna


| r ( t ) | | r ( t  dt ) | 1
prędkość
transwersalna
Prędkość (4)
Wektor prędkości w układzie
współrzędnych biegunowych

r 
prędkość radialna:
prędkość
transwersalna
(azymutalna):
Wartość
bezwzględna
wektora
prędkości:
12

dr
dt
  r 
 

r
d


dt
 r  
2
2
Przemieszczenie i droga
Zmiana położenia w czasie
 
d r   ( t ) dt
Przemieszczenie w skończonym odcinku czasu:



r1 ,2  r ( t 2 )  r ( t 1 ) 
s
t2

  ( t )dt
t1
t2
Przebyta droga:
s
  ( t )dt
t1
Jeśli prędkość nie zmienia się, to:
13
s   t
Przyspieszenie (1)
Przyspieszenie

a
(ang: acceleration), to zmiana prędkości w funkcji czasu.



2


d
d ( d r / dt ) d r



Definicja wektora przyspieszenia: a  lim
2
t  0  t
dt
dt
dt
Przyspieszenie jest pochodną wektora prędkości względem czasu,
czyli drugą pochodną wektora położenia względem czasu.
Składowe wektora przyspieszenia w układzie współrzędnych prostokątnych:

ax

ay

az
      
 d x  d y  d z 
a 
i 
 j
k
dt
dt
dt
14
Przyspieszenie (2)


   



- wersor styczny do toru w danym punkcie.



d
d
d 
d


a 

  
   
dt
dt
dt
dt
ds
- element
drogi przebyty
w czasie dt
Zauważmy, że:
ds    dt
ds  R  d 

d

n


d
dt


d  d  n

n - wersor prostopadły do toru w danym punkcie.
15

ds
więc:


R


d  d  n

d
d


a 
dt

n
R
a
n
as

d


 

2
R

n
Przyspieszenie (3)
as - przyspieszenie styczne
as 
d
an - przyspieszenie normalne
(dośrodkowe)
an 
dt

2
R
Zapamiętaj dobrze
tę zależność.
Jeszcze do niej
powrócimy.
Kiedy naciskasz pedał gazu
lub hamulca – zmieniasz as.
Kiedy kręcisz
kierownicą zmieniasz an.
as  0
as  0
Przyspieszenie, to nie tylko zmiana prędkości, to także zmiana kierunku
16
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (1)
Warunki początkowe
Składowe: [x,y,z]
przyspieszenia,
prędkości i położenia ciała
dla czasu t=0 .

a 0  [ 0 ,0 , a z 0 ]

 0  [ 0 , y 0 , z 0 ]

r0  [ 0 , y 0 , z 0 ]
Zakładamy, że az0=const .
Zadanie: Zbadać ruch odpowiadając na pytania:
1. Jak zmienią się te wartości po czasie t ?
2. Jaki będzie kształt toru?
17
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (2)
wartości stałe
Przyspieszenie:

a ( t )  [ 0 ,0 , a z 0 ]
w kierunku osi X:
nie ma ruchu
Prędkość:
w kierunku osi Y:
ruch ze stałą
prędkością
d  x  a x  dt  0  dt   x   0  dt  0  C   0
x
d  y  a y  dt  0  dt   y   0  dt  0  C    y 0
y
d  z  a z  dt  a z 0  dt   z 
 a z 0  dt
18
 a z 0  t  C  a z 0  t   z 0
z
w kierunku osi Z:
ruch ze stałym
przyspieszeniem
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (3)
w kierunku osi X:
położenie bez zmian
Położenie:
dx   x  dt  0  dt 

x   0  dt  0  C x  0
dy   y  dt   y 0  dt 
y    y0
 
 dt   y 0  t  y 0
w kierunku osi Y:
liniowa zależność
położenia od czasu
dz   z  dt  ( a z 0  t   z 0 )  dt 
t
2
 z   ( a z 0  t   z 0 )  dt  a z 0    z 0  t  z 0
2    

w kierunku osi Z:
kwadratowa zależność
położenia od czasu
19
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (4)
Równanie toru, z=f(y):
Eliminujemy czas:
t
y
 y0
gdzie
 y  y  y0
Równanie toru:
z  a z0 
t
2
2
  z0
A
B



C

 a



 z0 
2
z0 


 t  z0 
 y 
  y  z0 
 
 2  2 
y0 
 y0 

 A  y  B  y  C
     

2
równanie
paraboli
20
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (5)
Ilustracja graficzna rozwiązania
21
Przykład – ruch ze stałym przyspieszeniem (6)
Strumień wody w łazience kreśli parabolę
Kliknij w polu fotografii.
Symbol Genewy – fontanna o wysokości 130 m
wyrzuca 500 litrów wody w każdej sekundzie.
Odpowiedz: ile wody utrzymuje
ta fontanna w powietrzu?
22

similar documents