Ecuaciones Cuadráticas. Repaso

Report
COLEGIO PARROQUIAL MIXTO
“SAN PEDRO CHANEL”
SOCIEDAD DE MARIA
(PADRES MARISTAS)
SULLANA
Ecuaciones Cuadráticas
Por: Jhony Sandoval Juárez
Especialidad: Matemática
4to “B”
DEFINICION:
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma
reales y a es diferente de cero
 6 x  10  0
2
, donde a, b, y c son números
EJEMPLOS
9 x  6 x  10  0
2
3x  9x  0
4 2
6
x  10  0
e4
2
a = 9, b = 6, c = 10
a = 3, b = -9, c = 0
a = -6, b = 0, c = 10
La ecuación se llama completa cuando tiene los tres términos a, b y c, es
decir cuando estos términos son distintos de cero.
La ecuación es incompleta si faltan las constante “b” ó “c”. Pero sí b=0,
la ecuación recibe el nombre de ecuación pura.
Una ecuación cuadrática
gráficamente representa una
parábola.
FORMAS DE SOLUCIONAR
UNA ECUACION
CUADRÁTICA
• Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los
valores de la variable) de las ecuaciones
cuadráticas:
• 1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrados
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación
cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el
valor de x de cada binomio.
•
•
•
•
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
a=1 b=2 c=-8
(x
) (x
)=0
( x + ) (x - ) = 0
4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
•
(x + 4 ) (x – 2) = 0
•
x+4=0
x–2=0
•
x+4=0
x=0–4
x = -4
x–2=0
x=0+2
x=2
Estas son las dos soluciones.
Completando Cuadrados:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y
siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Para lograrlo hay que dividir a toda la ecuación por el valor de a así:
Luego pasamos al otro miembro el valor de c/a y a la ecuación restante
le sumaremos a ambos miembros el valor de:
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x
4
2

12 x
4
x  3x  2  0
2

8
4

0
4
Ahora, a= 1
.
Ahora la nueva ecuación será:
x  3x  2  0
2
Donde, a= 1, b= 3 y c= -2
Luego:
x  3x  2
2
Le sumamos a ambos miembros el (b/2)2
3 2
3 2
2
x  3x  ( )  2  ( )
2
2
Finalmente la ecuación quedará:
3 2
3 2
( x  ( ))  2  ( )
2
2
.
METODO DE LA FORMA GENERAL O CUADRÁTICA
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la
siguiente fórmula:
x 
b 
b
2
2a
Ejemplo:
X2 + 2x – 8 = 0
x = -2 ± 6
2
X = -2 + 6
2
a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 - 6
2
x=4
x = -8
2
2
x=2
x=-4
 4 ac
EL DISCRIMINANTE
Como se vio anteriormente para resolver una ecuación cuadrática disponemos
de la siguiente fórmula general
x 
 b 
b
2
 4 ac
2a
Si llamamos D al discriminante de esta ecuación.
D  b  4 ac
2
Se concluye lo siguiente:
D>0  La ecuación tiene 2 soluciones reales diferentes
D=0  La ecuación tiene 2 soluciones reales iguales
D<0  La ecuación tiene 2 soluciones complejas
Ecuaciones cuadráticas:
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
• En una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0
• donde a = 0 , se tiene como raíces :
x1 
x2 
b
b  4 ac
2
2a
b
b  4 ac
2
2a
1
La suma de sus raíces ( x1 + x2 ) es igual a :
b 
x1 
b 
b
Sumando miembro a miembro,
2
 4 ac
se obtiene :
2a
 2b
x1  x 2 
a
 4 ac
2
2a
x2 
2
b
-b
x1  x 2  
b
 
2a
a
b
a
El producto de sus raíces ( x1 . X2 ) es igual a : c
a
 b 

x1  x 2
 b 
2


2
4a

4 ac
4a
2
2
b  ( b  4 ac )
2

2
4a
2
2

b  4 ac
2a  2a
2
2
b  b  4 ac
2
2
b  4 ac
4a

b  4 ac   b 

c
a
2


Se desarrolla como un
binomio suma por su
diferencia,
por tanto :
x1  x 2 
c
a
Determinación de la ecuación
Si en la ecuación ax2 + bx + c = 0
dividimos entre “a” la podemos transformar en :
x2 –(-b/a)x + c/a = 0
y por tanto reemplazar “–b/a” por la suma y
“c/a” por el producto.
x2 – (x1+x2) x + (x1. x2) = 0
EJERCICIOS :
1.- Determina ( halla) la ecuación cuadrática cuyas raíces son 5 y -3
Recordar que la ecuación ax2 + bx + c = 0 se puede transformar en :
x2 –(-b/a)x + c/a = 0
Si consideramos
x2 – (x1+x2) x + (x1.x2) = 0
a=1
será
b = ( x1+ x2 ) = [ 5 +(-3)] = 2
será
c = (x1 . X2 ) = 5 ( -3 ) = - 15
Por tanto, la ecuación será :
x2 – 2x – 15 = 0
Es conveniente recordar que
en un trinomio como:
x2
+ 5x + 6 = 0, por la
descomposición por método
de aspa se cumple que
b sale con la suma de factores
y c con el producto de los
mismos
2.- Determina la ecuación cuadrática cuyas raíces son 3/4 y 1/4
Será
b = ( x1 +x2) = ( ¾ + ¼ ) = 4/4 = 1
Será
c = (x1 . x2 ) = ( ¾ . ¼) = 3/16
Por tanto la ecuación será : x2 – (1)x + 3/16 = 0
(se reduce a denominador común :
16x2 – 16x + 3 = 0
ECUACIONES REDUCIBLES A
CUADRÁTICAS
• ECUACIONES RACIONALES
FRACCIONARIAS
• ECUACIONES IRRACIONALES
(con RADICALES)
• ECUACIONES POLINÓMICAS DE
LA FORMA ax4 + bx2 + c = 0
(ecuaciones bicuadradas)
Ecuaciones racionales fraccionarias
Son ecuaciones que al ser transformadas en otras
equivalentes resultan ser cuadráticas.
Ejemplo:
x
x2

2
x3

x  20
x
x  5x  6
x2
2
Determinamos las restricciones

2
x3

x  20
( x  2 )( x  3 )
x  2 ; 3
Reducimos a denominador común y eliminamos denominadores
x ( x  3)  2 ( x  2 )
( x  2 )( x  3 )

x  20
( x  2 )( x  3 )
x ( x  3 )  2 ( x  2 )  x  20
Multiplicamos, reducimos y factorizamos
x  3 x  2 x  4  x  20
2
(x – 8) (x + 2) = 0
x  6 x  16  0
2
por tanto x’ = 8 ; x” = -2
C.S. = { -2 ; 8 }
ECUACIONES
IRRACIONALES
Son ecuaciones donde la variable está afectada por un radical.
Método para resolverlas
* Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo radical y al
otro los demás términos.
* Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los
radicales y luego se procede como en los demás casos.
* Se debe comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial.
EJEMPLO:
x  2 x  15
( x  15 )  ( 2 x )
2
x  15  2 x
2
x  30 x  225  4 x
2
Se ordena, se factoriza y se hallan las raíces
x  34 x  225  0
2
Por tanto: x’ = 25 ; x” = 9
( x  25 )( x  9 )  0
La raíz x” = 9 no satisface la ecuación inicial; se rechaza.
C.S. = { 25 }
Otro ejemplo:
2x  7 
x2
Ecuación con 2 radicales.
Se pasan ambos radicales a un miembro de la ecuación y el resto al otro,
para proceder a elevar al cuadrado, y desarrollar.
2x  7 


x 2

2
2 x  7  2 ( 2 x  7 )( x ) 
 x
2
2x  7 

2
x
2
2
2x  7  2 2x  7x  x  4
2
4
Habiendo quedado radical en el doble producto se repite el mismo proceso:
se ordena,
2
se eleva al
2
2
2
3x  3  2 2 x  7 x
cuadrado, 3 x  3   2 2 x  7 x
se resuelve.

9 x  18 x  9  8 x  28 x
2
Por tanto:
2
x  10 x  9  0
2

( x  9 )( x  1)  0
x’ = 9 ; x” = 1
Al comprobar las raíces en la ecuación original,las 2 sirven..
C.S.={1;9}
ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado : ax4 + bx2 + c = 0 ;
No contienen más que las potencias pares de la incógnita.
Para resolverlas se hace un cambio de variable.
El número de soluciones lo determina el grado de la ecuación (4).
EJEMPLO :
x  13 x  36  0
Si
y  13 y  36  0
factorizam os
4
2
2
(y - 4)(y - 9) = 0
y=4
x
2
hacemos
x  y
2
tendremos
y resolvemos; por tanto:
y = 9 Como habíamos hecho x2 = y lo reemplazamos
 4
x   4
x  2
x
2
9
y resolvemos
x   9
x  3
Por tanto :
C.S. = {-3; -2; 2; 3 }

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