sistema de dos ecuaciones

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Sistemas de ecuaciones
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
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Sistemas de ecuaciones
Federico y Alicia están jugando con monedas.
En un determinado momento, Federico le dice a Alicia:
“Si me das una de tus monedas, entonces tendré el
doble de monedas que tú”. Alicia se queda muy
pensativa, y le contesta: “Si tú me das una moneda,
entonces tendremos el mismo número de monedas”.
¿Cuántas tiene cada uno?
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Sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incógnitas
Álex y Javi quieren comprar un regalo a Lola y
tienen 15 pesos entre los dos
•Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y se puede escribir así:
ax + by = c
a, b y c son números
a y b se llaman coeficientes de las incógnitas
c se llama término independiente
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Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Además, Álex tiene un peso más que Javi.
•Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas
representan los mismos valores. Los sistemas de ecuaciones se
escriben así:
ax + by = c
dx + ey = f
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Sistemas de ecuaciones
Solución de un sistema
•Una solución de un sistema es un par de números que verifica las dos
soluciones simultáneamente.
•Resolver un sistema de ecuaciones es hallar las soluciones del sistema.
•Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
•Si un sistema tiene solución, se dice que es compatible.
•Si un sistema no tiene solución, se dice que es incompatible.
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Sistemas de ecuaciones
Solución de un sistema
Sistema
Determinado
Posición de
las rectas
Se cortan
Compatibles
Indeterminado Coincidentes
Incompatible
Paralelas
Solución
Una
solución
Infinitas
No tiene
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Sistemas de ecuaciones
Métodos de Solución de un sistema
Los principales métodos de solución para éste
sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas son:
 Método de Adición o
Sustracción (Reducción)
 Método de Igualación
 Método de Sustitución
 Método Gráfico
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Método de Reducción
PROCEDIMIENTO
a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por
una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones
equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las
incógnitas.
b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
c)
Se resuelve la ecuación lineal resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra
incógnita.
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Sistemas de ecuaciones
Método de Reducción
2x + 3y = 8
4x + y = 6
( -1 )
( 3)
2x + 3y = 8
4x + y = 6
-2x - 3y = -8
12x + 3y =18
2 x + 3y = 8
2 .(1) + 3y = 8
Despejo y obtengo
y =2
10 x
= 10
10
x=
10
x=1
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Sistemas de ecuaciones
Método de Igualación
a)
Se despeja la misma incógnita en cada una de las
ecuaciones del sistema dado.
b) Se igualan entre sí las expresiones obtenidas,
consiguiendo eliminar una de las incógnitas y dando
lugar a una ecuación con una incógnita.
c)
Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de
las ecuaciones originales para encontrar el valor de
la otra incógnita.
Siguiente
Sistemas de ecuaciones
Método de Igualación
2x + 3y = 8
4x + y = 6
4x + y = 6
Restando
y = 6 - 4x
2x + 3y = 8
Restando
3y = 8 - 2x
Dividiendo
y = 8 – 2x
3
Igualo las ecuaciones
8 – 2x = 6 - 4x
3
Despejo x obtengo
x= 1
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Sistemas de ecuaciones
Método de Igualación
Continuación…
y = 6 - 4x
y = 6 – 4 . (1)
x= 1
Solución:
x=1
y=2
y= 6-4
y=2
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Sistemas de ecuaciones
Método de Sustitución
a)
Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una
de las incógnitas en términos de la otra.
b) Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en
la otra ecuación que no se ha utilizado, se obtiene una
ecuación con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra
incógnita, también se sustituye en la expresión de la
primera incógnita despejada, obteniéndose el valor de la
otra incógnita, ambos procesos conducen al mismo
resultado.
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Sistemas de ecuaciones
Método de Sustitución
2x + 3y = 8
y = 6 - 4x
4x + y = 6
4x + y = 6
Restando
y = 6 - 4x
y = 6 – 4 .(1)
y= 6-4
y=2
2x + 3. (6 - 4x) = 8
2x + 18 – 12 x= 8
x= 1
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Sistemas de ecuaciones
Método de Gráfico
2x + 3y = 8
y = 8 – 2x
3
4x + y = 6
y = 6 - 4x
y = 8/3 - 2/3x
Graficamos las ecuaciones lineales y el punto
donde se cortan es la solución del sistema
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Sistemas de ecuaciones
Método de Gráfico
Solución
Sistemas de ecuaciones
Ejemplo de aplicación
En una granja hay conejos y patos. Si entre todos
suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y
patos hay?
x+ y = 18
x: conejos
y: patos
4x+ 2y = 52 (puesto que tiene 4 patas los conejos
(puesto que tienen 1 cabeza)
y 2 patas los patos)
Resuelvo el sistema por alguno de los métodos
Sistemas de ecuaciones
Ejemplo de aplicación
Solución
8 conejos
10 patos
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Actividades
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales utilizando dos de los los métodos vistos:
a. 8x - 9y = 7
3x + 2y = 8
b. 6a + 5b = - 8
-3a + 4b = 17
c.
3x + 2y = 13
5x + 4y = 23
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Actividades
2. Resuelve los siguientes problemas, planteando un
sistema de ecuaciones lineales y encuentra la
solución por alguno de los métodos vistos:
1. Adrián tiene 25 animales, entre ovejas y pavos. Un día se
da cuenta de que las patas de todos ellos suman 72.
¿cuántas ovejas y cuántos pavos tiene?
2. La suma de 2 números es 150 y su diferencia es de 30,
¿cuáles son los números?
3. La suma de 2 números es 15 y su diferencia es de 3,
¿cuáles son esos números?

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