Slide 1 - Centro de Tecnologia - Universidade Federal da Paraíba

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Departamento de Engenharia Civil
Centro de Tecnologia
Universidade Federal da Paraíba
Capítulo 9: Compressibilidade
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Mecânica dos Solos I
Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos
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9-1 A Compressibilidade
Uma das principais causas de recalques é a
compressibilidade do solo, ou seja, a
diminuição do seu volume sob a ação das
cargas aplicadas; em particular, um caso de
grande importância pratica é aquele que se
refere à compressibilidade de uma camada de
solo, saturada e confinada lateralmente. Tal
situação condiciona os chamados recalques
por adesamento, que alguns autores
preferem
denominar
recalques
por
consolidação.
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9-2 Relação Carga-Deformação
Todos os materiais deformam-se pela ação de uma
carga aplicada, fornecendo a Resistência dos
Materiais, para os diversos materiais (madeira, aço,
etc.) empregados em construção, as características
da correlação entre cargas e as respectivas
deformações.
Essas correlações encontram-se tabeladas e são
utilizadas diretamente no projetos das estruturas.
Em engenharia de fundações já o problema é mais
complexo; as deformações dos solos, além de
comparativamente maiores, não se verificam
instantaneamente com a aplicação de carga, mas sim
em função do tempo, como é exemplo característico o
que acontece com as argilas.
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Para a estimativa da ordem de grandeza dos
recalques por adensamento, além do
reconhecimento do subsolo, que nos dará a
conhecer a espessura, posição e natureza
das camadas que o constituem, bem como
os níveis d’água, necessita-se ainda
conhecer:
a)a distribuição das pressões produzidas em
cada um dos pontos do terreno, pela carga
da obra; e
b)as propriedades dos solos que interessam
ao problema em exame, cuja caracterização
adiante abordaremos.
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9-3 Processo de Adensamento
A fim de explicar em que consiste o mecanismo do
processo de adensamento, consideraremos o caso
representado na figura por uma fundação que distribui
sua carga a uma camada de argila saturada, limitada
por camada de areia e por um leito rochoso,
impermeável.
Em um ponto M qualquer da camada compressível de
argila saturada, admitamos que a pressão transmitida
pela fundação seja p0.
Ora, parte dessa pressão, u, vai ser transmitida à
água que enche os vazios do solo; e a outra parte, p,
às suas partículas sólidas, de modo a se ter:
p0 = p + u
A pressão p tem o nome de pressão efetiva ou
pressão grão a grão, e ao acréscimo de pressão
neutra, u, chama-se sobrepressão hidrostática.
A água (admitida incompressível) que está presa nos
vazios do solo, sofrendo esta sobrepressão, começa a
se escoar em direção vertical, no sentido da camada
drenante de areia; no caso de argila, como a sua
permeabilidade é muito baixa, o escoamento se faz
muito lentamente.
Dessa forma, a pressão u vai diminuindo ate anularse, e p vai aumentando, uma vez que p0 é constante.
Assim, no momento de aplicação da carga: u = p0 e p
= 0 e, no final, quando cessa a transferência de
pressões de u para p, praticamente u = 0 e p = p0. Em
uma fase intermediária qualquer, teremos
p0 = p(t) + u(t)
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Seja P a forca normal ao plano de contato, na
situação de equilíbrio. Com as demais indicações da
figura, podemos escrever:
P = psAs + pag Aag + pgAg
ou
P/A = s = ps(As/A) + pag(Aag/A) + pg[(A-As-Aag)/A]
ou, ainda
s = aps + (1 – a)pg – c(pg – pag)
com
As/A = a
e
Aag/A = c
Como a é muito pequeno, (1 – a) → 1; ao contrário,
ps, em geral, é muito elevado. Assim, fazendo aps = p
(pressão efetiva), podemos escrever:
p = s – pg + c (pg – pag)
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Para solos secos: c = 0 » p = s – pg
Para solos saturados: c = 1 » p = s – pag
A pressão na água (pag) por sua vez se
decompõe em:
pag = uh + u
onde uh é a pressão hidrostática e u a
pressão
neutra
ou
sobrepressão
hidrostática oriunda de uma sobrecarga
aplicada ao solo.
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9-6 Compressibilidade dos Terrenos
Permeáveis (Areia e Pedregulho)
Em se tratando de terrenos muito permeáveis,
como as areias e os pedregulhos, o processo
de adensamento não se apresenta como
acabamos de expor, pois a pressão efetiva é
praticamente sempre igual à pressão aplicada
e, conseqüentemente, as deformações se
produzem
de
maneira
rápida.
Tais
deformações explicam-se simplesmente como
devidas a um reajuste de posição das
partículas do solo; daí serem, em muito maior
grau que nas argilas, irreversíveis as
deformações nos terrenos permeáveis.
9-7 Compressibilidade dos Terrenos
Pouco Permeáveis (Argila)
No caso de camada de argila, e de acordo com o
mecanismo anteriormente descrito, a sua variação
de altura, que se denomina compressão primária
ou adensamento propriamente dito, representa
apenas uma fase particular da compressão. Além
desta, considera-se ainda a compressão inicial ou
imediata – a qual se atribui a uma deformação da
estrutura da argila ante a aplicação brusca da carga
e à compressão instantânea da fase gasosa,
quando esta existir – e a compressão secundária
ou secular, também chamada “efeito secundário” do
adensamento, o qual se explica como uma
compressão do esqueleto sólido formado pelas
partículas do solo.
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Desses 3 tipos de compressão, apenas o primeiro
tem importância especial, dados os seus efeitos
sobre as construções. Mais adiante voltaremos ao
assunto, estudando-o em detalhes.
Tanto os efeitos devidos à compressão inicial
como os ocasionados pela compressão
secundária, são em geral negligenciados na
prática; os primeiros, em virtude de seu pequeno
valor; os outros, por serem muito atenuados pela
extrema lentidão com que as deformações
ocorrem, muito embora a compressão secundária
seja, às vezes, responsável por uma apreciável
fração do recalque total.
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9-9 Hipóteses Básicas Simplificadoras
Na formulação teórica da questão, e no que se segue,
abordaremos apenas a sua conceituação clássica. Admitem-se
as seguintes hipóteses simplificadoras:
- a camada compressível tem espessura constante,
lateralmente confinada e o solo que a constitui é homogêneo;
é
- todos os vazios estão saturados d’água;
- tanto a água como as partículas sólidas são incompressíveis;
- o escoamento da água obedece a lei de Darcy (com coeficiente
de permeabilidade constante) e se processa unicamente na
direção vertical;
- uma variação na pressão efetiva no solo causa uma variação
correspondente no índice de vazios.
Tais concessões às condições reais conferem um caráter
aproximado, para fins práticos, às conclusões dessa teoria,
embora, em geral, satisfatório.
9-10 Equação Diferencial do Adensamento
v = ki
→
v = – k(∂h/∂z)
v = – (k/ga)(∂u/∂z)
A variação de v ao longo de dz será: (∂v/∂z) = – (k/ga) (∂u2/∂z2)
Nessas condições, a água eliminada dos vazios do solo, no tempo
∂t, será:
– (k/ga) (∂u2/∂z2), a retirada com redução de vazios, pode-se dizer:
– (k/ga) (∂u2/∂z2) = – [1/(1+e)] (∂e/∂t)
(1)
Definindo-se o coeficiente de compressibilidade: av = – de/dp
Já que p = p0 – u e p0 = cte, tem-se que dp = – du:
de = av du donde ∂e/∂t = av (∂u/∂t)
Em (1) trocando o sinal, substituindo ∂e/∂t pelo seu valor e fazendo
k(1 + e) / (av ga) = cv (coeficiente de adensamento, em cm2/seg)
cv ∂2u/∂z2 = ∂u/∂t
(Eq. 3)
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9-10 Equação Diferencial do Adensamento
cv ∂2u/∂z2 = ∂u/∂t
(Eq. 3)
Esta é, em sua forma clássica, a equação de derivadas parciais,
de 2ª ordem, que rege o fenômeno do adensamento unidirecional
de uma camada argilosa saturada.
Dado o coeficiente de permeabilidade (k) em cm/seg, o coeficiente
de adensamento (cv) virá expresso em cm²/seg.
Bem, esta é a equação que temos que resolver.
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9-12 Resolução da Equação Diferencial
Resolvamos a eq. anterior que satisfaça:
Para z = 0……………………….. u = 0
Para z = 2H……………………… u = 0
Para t0 = 0………………………. u = p0
Expressando o valor de u, dado pela Eq. 3, mediante o produto de
2 funções de um só variáveis (solução de Bernoulli), teremos:
u = f(x)j(t)
sendo f(x) e j(t) funções, respectivamente, só de z e só de t. Depois
substitui na Eq. 3.
Finalmente teremos:
4 p0
u
π
onde:
T


0
cv t
H2
1
 2 N  1πz 
sen 
e

2N  1
 2H

é o Fator Tempo.

2 N 12 π 2T

4
Eq. 9
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9-12 Resolução da Equação Diferencial
Repetindo a Eq. 9:
4 p0
u



0
1
 2 N  1z 
sen 
e

2 N  1  2H

Fazendo-se:

2 N 12 2T

4
Eq. 9
1
M  2 N  1
2
Tem-se ainda:


u
0
2 p0
M
Mz   M 2T

sen H e


Eq. 9’
Que é a forma mais simples de se expressar a solução da Eq. (3).
Assim, para qualquer tempo dado, t, a variação com a profundidade z, do
excesso de pressão neutra, u, pode ser calculada por esta equação,
expressa como uma fração (u/po) da pressão po aplicada.
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9-13 Porcentagem de Adensamento
Conhecida a distribuição da pressão neutra ao longo da camada em
função do tempo, podemos agora calcular a porcentagem ou grau de
adensamento Uz na profundidade z e num tempo t.
Esta porcentagem pode ser definida pela relação:
p0  u
p
Uz
 1
p0
p0
a qual torna-se igual a zero no momento da aplicação de po e igual a 1,
(100%), no final do adensamento.
Substituindo u pelo seu valor dado pela Eq. (9’), a Eq. (10) escreve-se:
U z 1 


0
2
Mz   M 2T
 sen
e
M
H 
Eq. (10)
Finalmente, substituindo, acharíamos para um tempo t, a porcentagem
média U de adensamento ao longo de toda camada de espessura 2H
igual a:

U 1 

0
2  M 2T
e
2
M
Eq. (13)
9-13 Porcentagem de Adensamento
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9-14 Fórmulas Aproximadas
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Admite-se que a eq. (13) possa ser representada,
aproximadamente, pelas seguintes expressões:
quando U < 60% T = (/4)U2
quando U > 60% T = -0,9332log(1 – U) – 0,0851
Uma fórmula aproximada é dada por Brinch
Hansen:
3
T
U 6 3
T  0,5
9-15 Superficies Drenantes
Se a camada adensável pode drenar livremente
tanto pela face superior como pela inferior
(drenagem dupla), ela se denomina camada
aberta (2H) e, quando não, será camada semiaberta (H).
Para o caso de camada semi-aberta, sujeita a um
diagrama de pressão retangular, a curva da figura
anterior é ainda a representação U = f(T).
Para diferentes diagramas de pressões, e tendo em
vista as duas condições de drenagem da camada,
existem outros gráficos e tabelas que fornecem os
valores correspondentes da função U = f(T).
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9-15 Superfícies Drenantes
U Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
50% 0,20
0,29
0,09
90% 0,85
0,93
0,72
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1 η 
U 1  U 2 
U 4  U 1  
1  η 
 η 1
U 1  U 2 
U 5  U 1  
 η  1
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9-17 Ensaio de Adensamento
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9-20 Variações do Índice de Vazios com a Pressão Efetiva
Vl  Vs Vl / S  Vs / S hl  hs hl
εl 



1
Vs
Vs / S
hs
hs
hl, Vl, el: altura, volume e índice de vazios correspondente a
uma determinada leitura l do micrômetro.
S, hs: área do círculo interno do anel e altura reduzida da amostra.
Conhecidos a altura ho do corpo de prova antes
do ensaio e o índice de vazios eo
correspondente, tem-se imediatamente que:
h0
hs 
1  ε0
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9-20 Variações do Índice de Vazios com a Pressão Efetiva
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9-21 Pressão de Pré-Adensamento
Se pa = pe: normalmente adensada.
Se pa > pe: pré-adensado
Se pa < pe: parcialmente adensado
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Índice de Compressão
e
K
pf
log
pi
Quanto maior K, mais compressível é o solo.
Relação entre K e LL
K = 0,009(LL – 10%)
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Curva Tempo-Recalque
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Ajuste da Curva Tempo-Recalque
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Determinação dos Coeficientes de
Adensamento e Permeabilidade
k (1  ε )
cv 
av γ a
cv t
T 2
H
cv 
2
0,2 H 50
t50
cv av g a
k
1 e
k
Tav γ a H
2
1  ε t
0,2av g a H
k
1  et50
2
50
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Comparação entre Tempos de Adensamento
cvt
T 2
H
t1 H

t2 H
2
1
2
2
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Compressão Secundária
ht  sa  b log t h
s = acréscimo de pressão
h = espessura da camada
a e b = constantes determinadas pelo ensaio edométrico
t = tempo (em dias)
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Cálculo dos Recalques
Recalque Total
h = h – h1
e
e p
h 
h 
h
1 e
1  e p
av
mv 
1  ei

av

hp
1 e
h  mv hp
mv é o coeficiente de decréscimo de volume ou perda específica
de água intersticial. Tendo em vista o valor de e, temos:
h
p  p
h 
K log
1 e
p
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Evolução do Recalque em Função do Tempo
T
cvt
h
 
f
2
Para T = 2 temos que U ≈ 100, assim:
h
2 
f 

t
cv
2
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Carga da construção
Carregamento Lento Durante o Período de Construção
Diagrama de carga
Período de construção
tc/2
Recalque
tc/8 tc/4
Curva teórica
Tempo
tc
2tc – tc/2
2tc
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Ise Bay (Japão)

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