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f kx  t 
Reflexão de um pulso
(A) Extremidade fixa
 f kx  t 
Parede exerce força para baixo: pulso é invertido
É como o problema de interfêrencia entre um pulso real e um virtual:
Corda virtual
(imaginária)
Deslocamento zero
(interferência destrutiva)
http://www.youtube.com/watch?v=LTWHxZ6Jvjs
(B) Extremidade livre
f kx  t 
f kx  t 
Extremidade livre não exerce força vertical: pulso é refletido sem se inverter
Corda virtual
(imaginária)
Deslocamento máximo
(interferência construtiva)
http://www.youtube.com/watch?v=aVCqq5AkePI
http://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE
18.6 – Energia no movimento ondulatório
Onda transporta energia:
Energia cinética -
v
u: velocidade transversal
y( x, t )  ymsenkx  t   
dm
u
Energia cinética do elemento dm:
y
u
 ym cos kx  t   
t
1
dK  dm u 2 ; dm  dx
2
1
dK  dx 2 ym2 cos 2 kx  t   
2
dK 1
  2 ym2 cos 2 kx  t   
dx 2
(densidade linear de
energia cinética)
Não nos interessa o valor instantâneo de dK/dx, mas sim seu valor médio
em um período:
dK
1
  2 ym2 cos2 kx  t   
dx
2
Valor médio do
cos2:
cos2
1
2
cos  
2
2
1
0 cos  d  2
2
1
1/2

dK
1
  2 ym2
dx
4
(densidade linear média
de energia cinética)
Energia potencial – como cada elemento dm da corda executa um
MHS, a energia potencial média é igual à energia cinética média!
Lembrando do MHS:
Então:
dU
1
  2 ym2
dx
4
(densidade linear média
de energia potencial)
Energia total – soma da energia cinética com energia potencial
dE
dK
dU
1


  2 ym2
dx
dx
dx
2
(densidade linear média
de energia mecânica)
dE
1
  2 ym2
dx
2
(densidade linear média
de energia mecânica)
Desta forma, a energia mecânica média contida
em um pedaço Δx da corda é:
Como a onda percorre uma distância Δx=vΔt em
um intervalo Δt, a energia média transmitida neste
intervalo é:
A potência média da onda é a taxa de energia
transmitida (energia por unidade de tempo):
dE
E 
 x
dx
dE
E 
 vt
dx
1
P  v 2 ym2
2
A potência é proporcional à velocidade, ao quadrado da
amplitude e ao quadrado da freqüência
Note que a amplitude é constante, e o mesmo vale para ondas planas em 3D
(conservação da energia)
Ondas esféricas (3D)
http://www.youtube.com/watch?v=vAW5zGGnGM0
Conservação da energia: potência emitida é
constante, energia se espalha por uma área
4πr2, densidade de energia então cai com
1/r2, amplitude cai com 1/r
Intensidade: potência por unidade de área
(unidades SI: W/m2)
Intensidade de uma onda
esférica cai com 1/r2
Capítulo 19 – Ondas sonoras
19.1,2 – Natureza das ondas sonoras
Som: ondas mecânica longitudinal. Sons audíveis: freqüência entre
20 Hz e 20 kHz (Kit LADIF)
Perturbação que se propaga: flutuações de pressão e densidade do
meio
compressão
expansão

0  m
0
0   m
x

0  m
0
0   m
x
 ( x, t )    0  msenkx  t 
Flutuações de pressão são proporcionais às flutuações de densidade:
p( x, t )  p  p0  pmsenkx  t 
Relação entre amplitudes de pressão e densidade
Módulo de (in)compressibilidade:
p
B
V / V 
dV
d   
V
Densidade:
m
m
1
 d  m d    2 dV

V
V
V 
dp
0

  m 
p m
B
B
Importante: Nesta fórmula, entra o B adiabático (sem troca de calor) e não o
B isotérmico (temperatura constante): processo ocorre muito rapidamente e
não há tempo para troca de calor
Deslocamento das moléculas do meio:
Moléculas sofrem deslocamento longitudinal
Vamos considerar o deslocamento de um elemento de massa δm
Posição de
equilíbrio
Podemos mostrar (quadro-negro) que:
Se  ( x, t )   msenkx  t ,
s( x, t )  sm coskx  t ,
 m pm
onde sm 

k0
kB
Velocidade longitudinal:
s
u x ( x, t ) 
t

 sm cos kx  t 
t
 smsenkx  t 
Ondas de deslocamento e densidade têm
diferença de fase de 90 graus:
19.3 – A velocidade do som
Vamos considerar um pulso de compressão propagando-se para a esquerda
em um tubo fechado. Analisando o problema no referencial do pulso, temos:
Região
comprimida
Δx
p
A
p+Δp
v
v+ Δv (Δv <0)
Velocidade do ar no
referencial do pulso
Elemento de fluido Δx leva Δt= Δx /v até entrar completamente na região
comprimida
Durante este intervalo, a
força média resultante
sobre o elemento é:
F  pA   p  p A
Δx’
A
p
F  pA
p+Δp
(p/ esquerda)
Δx’
A
p
F  pA
Massa do elemento:
p+Δp
Aceleração média:
2a. Lei de Newton:
m  Ax  Avt
a  v / t
 pA  Avt v / t
p
p
2
 v  
v  
v / v 
v
Assim:
Volume ocupado pelo ar antes:
V  Avt
Volume ocupado pelo ar depois:
V   Av  vt
Desta forma:
p
v  
B
V / V 
2
v
B

 V A  v t

V
Avt
V v

V
v
v
B

(análogo a

v

Resultado obtido pela primeira
vez por Newton (“Principia”).
Porém Newton considerou a
propagação isotérmica, e com
isso encontrou v=280 m/s,
muito abaixo do valor
conhecido v=343 m/s
A explicação correta só veio em
1816 com Laplace: propagação
adiabática
propriedade
elástica
para a corda)
inércia

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