מצגת

Report
‫פרויקט מסכם לתואר בוגר במדעים (‪ )B.Sc‬במתמטיקה שימושית‬
‫כאוס מעשי – מעגל‬
‫צ'ואה‬
‫‪Chua Circuit‬‬
‫מגיש‪ :‬דודו דיין‬
‫מנחה‪ :‬ד"ר ויקטור אוסטרובסקי‬
‫כרמיאל‬
‫מבוא‬
‫• לאון צ'ואה (‪ )Leon Chua‬המציא את מעגל ‪ CHUA‬בשנת ‪ 1983‬בעת שחקר את‬
‫משוואות לורנץ‪ .‬ויצר תופעה כאוטית מוחשית‪ ,‬פיזית ופשוטה למימוש‪.‬‬
‫• מערכת זו יצרה ויוצרת עניין רב לא רק בעולמם של מהנדסי האלקטרוניקה אלה‬
‫גם בעולמם של מתמטיקאים ופיזיקאים רבים‪.‬‬
‫• מכנים את המעגל הזה בספרות בתור "המודל לכאוס" )"‪.("Paradigm for chaos‬‬
‫• מתנד ‪ CHUA‬משמש כגנרטור מעבדתי של אותות אקראיים מדומים‪ ,‬נמצא‬
‫בשימוש רחב בתקשורת מוצפנת‪ ,‬בהדמיות של תהליכים במוח האנושי ועוד‪...‬‬
‫• מטרת הפרויקט הייתה לחקור את אופיו הכאוטי של מתנד ‪ CHUA‬ולהכיר דרכו‬
‫את תופעת הכאוס‪ .‬חקירת הכאוס התבצעה נומרית באמצעות תוכנת ‪.MATLAB‬‬
‫‪2‬‬
‫מהו כאוס?‬
‫• חוסר היכולת לקבוע כיצד מערכת דינאמית תתנהג ‪ .‬אין פתרון אנליטי למערכת‬
‫משוואות המתארת כאוס – עלינו לחשב איטרטיבית בצורה נומרית‪.‬‬
‫• ענף במתמטיקה אשר נפרס על דיסציפלינות רבות כמו פיזיקה‪ ,‬כלכלה‪,‬‬
‫אלקטרוניקה‪ ,‬ביולוגיה‪ ,‬פילוסופיה‪ ,‬אומנות ומזג האוויר‪.‬‬
‫• נדון בכאוס דטרמניסטי – התנהגותו העתידית מאופיינת בצורה חד משמעית על‬
‫ידי תנאי ההתחלה ברורים – ללא אלמנטים רנדומליים כלשהם‪.‬‬
‫• מסלול המערכת הכאוטית נמצא כל הזמן בתחום חסום של מרחב פזה‬
‫והמערכת שואפת למושך‪.‬‬
‫• עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה‪ ,‬כמו‬
‫המפה הלוגיסטית‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות‬
‫כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר‬
‫ראשון‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫מושך מוזר‬
‫דיאגרמת פאזה ‪ -‬כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד אחד של המצב‪ ,‬והזמן אינו מיוצג בה‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫מושך –תחום חסום במרחב פזה שאליו נמשכים‬
‫מסלולים השייכים לתחום המשיכה‪ .‬המושך הוא‬
‫לרוב נקודתי‪ ,‬אך יכול להגיע בצורת לולאות בודדות‬
‫או כפולות אך תמיד מחזוריות‪.‬‬
‫•‬
‫מושך מוזר – הוא מושך‪ ,‬כפי שהוגדר לעיל‪ ,‬בעל‬
‫ממד ‪ Hausdorff‬השונה מאפס‪ .‬רגיש לתנאי‬
‫ההתחלה ותלוי בפרמטרים של מערכת באופן‬
‫רציף (כלומר‪ ,‬בעל מבנה יציב)‪.‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪Real Chua Original function‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪15‬‬
‫‪5‬‬
‫•‬
‫כל המושכים‬
‫פרקטלים‪.‬‬
‫•‬
‫מושכים מוזרים מציגים התנהגות כאוטית‪.‬‬
‫המסלולים לא חוזרים על עצמם אלא חולפים זה ליד‬
‫זה‪ .‬החוקיות היא שהמסלולים ימשיכו לנוע בסביבת‬
‫המושך‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫המוזרים‬
‫שנתגלו‬
‫עד‬
‫כה הם‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪0.4‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪10‬‬
‫פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא‬
‫ליניאריות‬
‫• ישנן מספר שיטות לחישוב נומרי של מד"ר‪ .‬לצורך התכנסות מהירה יותר לפתרון‬
‫(מספר נמוך יותר של איטרציות) נבחר שיטות התכנסות מסדרים גבוהים מאחד‪.‬‬
‫• שיטת רונגה קוטה משיגה התכנסות מסדרים גבוהים ואינה כרוכה בחישוב‬
‫נגזרות‪ ,‬אלא בערכי הפונקציה בלבד‪ .‬בשקופית הבאה מוצגת תוצאת המימוש של‬
‫שיטה זאת (מסדר ‪ )4‬ב ‪.MATLAB‬‬
‫• ‪ MATLAB ode45‬מבוססת על שיטה זו מסדרים ‪ 4‬ו‪.5-‬‬
‫• ; ‪, = 45 @,,0,‬‬
‫• פותר המשוואות מייצר מטריצת ערכים שבה העמודה הראשונה היא ווקטור‬
‫הזמן ועמודות ‪ 2,3,4‬הן ווקטורי הפתרונות ‪ v1, v2‬ו‪.i3 -‬‬
‫‪5‬‬
‫פתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות לא‬
)‫ליניאריות (המשך‬
Original f function
1
Time series
3
0
x(t)
y(t)
z(t)
2
-1
z(t)
This program uses R-K of order 4
step size = dt/1 = 0.01
estimated error < Inf
time in seconds = 3.5
step size = dt/2 = 0.005
estimated error < 0.00105452582235
time in seconds = 6.9
step size = dt/4 = 0.0025
estimated error < 0.00101011464799
time in seconds = 13.8
step size = dt/8 = 0.00125
estimated error < 0.00053596520172
time in seconds = 27.6
ERROR LIMIT SATISFIED
‫דוגמא לשימוש בנוסחאות רונגה קוטה מסדר‬
‫ קוד התכנית‬.ODE45 ‫ ללא שימוש ב‬4
.'‫מצורף בנספח א‬
1
-2
0
-3
-1
-4
-2
0.5
-3
0
y(t)
-4
0
-0.5
-0.5
0
0.5
x(t)
1
1.5
2
500
1000
1500
2000
2.5
6
2500
‫מתנד ‪ –CHUA‬מסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים‬
‫• ‪ CHUA‬בסיסי המורכב מרכיבים ליניאריים – נגדים‪ ,‬קבלים וסליל ומרכיב לא ליניארי –‬
‫דיודת ‪NR - CHUA‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ − 1  −  1‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ − 2  + 3‬‬
‫‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= − 2 + 0 3‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ =  V =  V + 0.5  −   +  −  −‬‬
‫על הפונקציה ‪ f‬לקיים את התנאים הבאים‪:‬‬
‫• פונקציה רציפה‬
‫• מחולקת לשלושה תתי קטעים לינאריים (לפחות) ע"י נקודות לא‬
‫גזירות‪.‬‬
‫• סימטריה אי זוגית‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪Gb‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Gb‬‬
‫מתנד ‪ –CHUA‬מסכימה חשמלית למשוואות חסרות מימדים‬
‫(המשך)‬
‫• ע"י החלפת המשתנים עוברים לצורה מקובלת יותר של המערכת שהיא צורה חסרת‬
‫מימדים ומנורמלת‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫;‬
‫‬
‫‪0 2‬‬
‫=‬
‫;‬
‫‬
‫=‬
‫; ‪ =  2‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‬
‫‪2 2‬‬
‫=‬
‫;‬
‫‬
‫‬
‫;‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫;‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫; =‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫;  = ‬
‫;  = ‬
‫‪x‬‬
‫; ‪= kα y − x − f x‬‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫; ‪=k x−y+z‬‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫;  ‪= −  −‬‬
‫‬
‫‪  =  + 0.5  −   + 1 −  − 1‬‬
‫• משוואות המצב של מעגל זה מושפעות משבעה פרמטרים שיוצרים מגוון רחב של דפוסי‬
‫התנהגות למערכת‪.‬‬
‫• יתרונות משוואות חסרות מימדים – חסרות יחידות (וטוב שכך ‪ -‬לא נוח לעבוד עם‬
‫מיקרו ונאנו)‪ .‬נוחות לעבודה גם למי שאינו מגיע מתחום האלקטרוניקה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫כאוס במתנד‬
‫‪ – CHUA‬רגישות לתנאי התחלה‬
‫• כמוכר במערכות כאוטיות‪ ,‬שתי נקודות קרובות מאוד יכולות להתפצל למסלולים שונים‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪Chua Dimensionless‬‬
‫‪Chua Dimensionless‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪X: -8.248e+49‬‬
‫‪Y: -9.834e+49‬‬
‫‪Z: 1.584e+48‬‬
‫‪X: 0.1‬‬
‫‪Y: 0.2‬‬
‫‪Z: 0.1326‬‬
‫‪15‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-0.05‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪-0.15‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.1‬‬
‫‪x 10‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪50‬‬
‫‪Time series‬‬
‫‪x 10‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪z(t)*10e-2‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫שינוי תנאי ההתחלה‬
‫‪Time series‬‬
‫‪50‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪z(t)*10e-2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 0 = 0.13264604‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪10‬‬
‫ל ‪ 0 = 0.13264605‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9000‬‬
‫‪8000‬‬
‫‪7000‬‬
‫‪6000‬‬
‫‪5000‬‬
‫‪4000‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-50‬‬
‫כאוס במתנד ‪– CHUA‬‬
‫מסלולים הומוקליניים והטרוקליניים – ‪Homoclinic & Heteroclinic Orbits‬‬
‫‪Chua homoclinic‬‬
‫‪Time series‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪1500‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪500‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫• מסלול הומוקליני זהו‬
‫מסלול שבו גם כיוון הלוך‬
‫וגם חזור עוברים דרך‬
‫אותה נקודת שיווי משקל‬
‫מסוג אוכף‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪Chua homoclinic‬‬
‫‪Time series‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3500‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪2500‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪1500‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪500‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪-0.4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-3‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫• לעומת זאת במצב שיש‬
‫שתי נקודות שיווי משקל‬
‫שונות‪ ,‬אחת לכיוון הלוך‬
‫והשנייה לחזור המצב‬
‫מתאר מסלול הטרוקליני‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫כאוס במתנד‬
‫‪ – CHUA‬הכפלה מחזורית לכאוס ‪Period-doubling route -‬‬
‫• הכפלה מחזורית לכאוס היא משפחה כאוטית שבה הדרך לכאוס היא מאוד הדרגתית‪ ,‬פיצול אחר‬
‫פיצול‪.‬‬
‫• כאשר נקודת שיווי המשקל מאבדת את יציבותה ונוצר‬
‫מסלול מעגלי חסום – מתרחש תהליך שנקרא‬
‫ביפורקציית אנדרונוב הופף )‪. (Andronov-Hopf‬‬
‫• הפיצולים מתרחשים בזה אחר זה (עם שינוי פרמטר‬
‫נבחר) ובכל פעם נוצר מעגל חסום נוסף עם מחזור חדש‪.‬‬
‫• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר ‪( R‬נגד) ישתנה בין‬
‫הערכים ‪ 1.1628K‬ל ‪.1.0005K‬‬
‫‪11‬‬
‫]‪[World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P8‬‬
)‫(המשך‬
‫ = המערכת תגיע לשני‬1.0004 ℎ ‫עבור‬
.DOUBLE SCROLL –‫מושכים‬
-3
‫כאוס במתנד‬
Period-doubling route - ‫ – הכפלה מחזורית לכאוס‬CHUA
‫ =  מסלול מעגלי‬1.0941  ℎ ‫עבור‬
:‫חסום‬
 = 1.1628 ℎ ‫עבור‬
:‫התכנסות לנקודת שבת‬
Real Chua Original function
x 10
Real Chua Original function
Real Chua Original function
-3
x 10
4
2
3
1
x 10
2
0
1
X: 0
Y: 0
Z: 0.0002
1
-1
-2
-1
-3
-2
-4
-3
-5
-4
0.4
0
z(t)
z(t)
z(t)
-1
0
0
-0.2
0
-2
-4
-0.4
2
4
-6
-0.8
-2
0.3
-3
0.2
4
0.2
X: 0
Y: 0
Z: 0.0002
-3
-4
0
0.1
0
1
2
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2
-0.1
3
0
4
y(t)
x(t)
y(t)
-0.2
x(t)
x(t)
y(t)
Time series
Time series
4
Time series
4
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
4
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
3
2
1
2
1
0
1
-1
0
0
-2
-1
-3
-1
-2
-4
-2
-3
-5
-3
-6
-4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
4
x 10
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
-4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
12
7000
‫כאוס במתנד‬
‫•‬
‫‪" – CHUA‬קריסת טורוס" (‪(Torus breakdown‬‬
‫דרך זו מגיעה לכאוס דרך מספר ביפרקציות מסוג אנדרונוב הופף בהן נקודת שיווי המשקל‬
‫מאבדת את יציבותה ונוצר מסלול מעגלי חסום‬
‫•‬
‫לאחר שתי ביפורקציות מסוג זה אנו מקבלים מושך‬
‫טבעתי‪ .‬בביפורקציה השלישית נראה כי המערכת הגיעה‬
‫למצב כאוטי‪.‬‬
‫• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר ‪ 1‬ישתנה בין הערכים‬
‫‪ 0.3nF‬ל ‪.0.0266nF‬‬
‫]‪[World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P10‬‬
‫‪13‬‬
)‫(המשך‬
(Torus breakdown( "‫ – "קריסת טורוס‬CHUA
:‫ נקבל מצב כאוטי יציב‬1 = 0.0266 ‫עבור‬
:‫ נקבל מושך טבעתי‬1 = 0.1 ‫עבור‬
‫כאוס במתנד‬
‫ מסלול‬- ‫ נקבל מצב יציב‬1 = 0.3 ‫עבור‬
‫מעגלי חסום‬
Real Chua Original function
Real Chua Original function
Real Chua Original function
0.01
0.04
0.005
0.015
0.02
0.01
z(t)
z(t)
0.005
z(t)
0
0
-0.005
0
-0.01
-0.02
-0.005
-0.01
-0.015
0.4
-0.04
1
-0.015
0.4
0.2
0.5
0.2
0
-0.2
-0.4
y(t)
-5
-4
-1
y(t)
x(t)
Time series
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
-2.6
-2.8
x(t)
x(t)
Time series
1
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
5
3
-2.4
-0.4
y(t)
-6
3
Time series
4
-2.2
-0.2
-2
-0.5
0
-2
0
0
0
5
-1.8
2
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
0.5
1
0
0
-0.5
-1
-1
-2
-1.5
-3
-2
-4
-2.5
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
-5
-3
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
149000
‫כאוס במתנד ‪ – CHUA‬ערבוב )‪(Intermittency‬‬
‫•‬
‫במצב זה מתחילים ממצב מחזורי ולאחר מיכן שכמתווספות הקפיצות הלא מחזוריות המצב הופך‬
‫לכאוטי‪.‬‬
‫• עם שינוי הפרמטר הנבחר‪ ,‬דומיננטיות הכאוס פוחתת‬
‫והחלק המחזורי מתגבר‪.‬‬
‫• בדוגמא המובאת להלן הפרמטר ‪ L‬ישתנה בין הערכים‬
‫‪ 0.21mH‬ל ‪.0.38mH‬‬
‫]‪[World Scientific, Eleanora Bilotta, Pietro Pantano-A gallery of Chua attractors..P12‬‬
‫‪15‬‬
)‫(המשך‬
‫ =  נראה‬0.38 ‫עבור‬
‫התחזקות של האזור המחזורי‬
.‫והחלשות האזור הכאוטי‬
(Intermittency) ‫ – ערבוב‬CHUA ‫כאוס במתנד‬
‫ =  נקבל מסלול‬0.3 ‫עבור‬
‫כאוטי משולב במסלול מחזורי‬
Real Chua Original function
‫ =  נקבל מצב יציב‬0.21 ‫עבור‬
‫ מסלול מעגלי חסום‬Real Chua Original function
Real Chua Original function
-3
x 10
-3
2
x 10
-3
x 10
3
2.5
1.5
2
1
1
0.5
z(t)
1.5
z(t)
z(t)
2
1
-1
0.5
0
0.3
-2
0
0.2
-0.4
-0.6
0.1
-0.8
-1.2
-0.1
y(t)
-3
0.4
-0.5
0.6
0.4
-1
0
-1.4
0
0.5
0.2
2
0.2
x(t)
-1
-0.2
-1.5
0
-0.2
-0.5
0
y(t)
1
0
0
y(t)
-1
-0.4
-2
x(t)
x(t)
Time series
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
1.5
Time series
Time series
2.5
3
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
2
x(t)
y(t)
z(t)*10e-3
2
1
1.5
1
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
0
-1
-0.5
-1
-2
-1
-1.5
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
-1.5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
-3
0
2000
4000
6000
8000
10000
16
12000
14000
‫שימוש בפולינום ממעלה שלישית – ‪:CUBIC FUNCTION‬‬
‫•‬
‫מתנד ‪ CHUA‬עשיר בתופעות מעניינות בין היתר הודות לייחודיות החלק הלא לינארי‪ ,‬הפונקציה ‪f‬‬
‫•‬
‫פונקציה אי זוגית זו הינה פונקציה רציפה אך לא חלקה ‪ piecewise linear -‬ושתי נקודות השבר‬
‫יצרו עניין רב בעבר‪ ,‬בקרב החוקרים‪ ,‬בשל היותן האחראיות‪ ,‬לכאורה‪ ,‬לתופעות הכאוטיות‪.‬‬
‫•‬
‫נעסוק בפונקציה בעלת חוסר ליניאריות קלה‬
‫‪-2.9315446532 x+0.4530092443 x 3‬‬
‫‪100‬‬
‫‪   = ℎ1  + ℎ3  3‬גם לפונקציה זאת מימוש‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫פיזיקלי‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫• בדוגמא המובאת להלן נחקור את המודל חסר‬
‫‪-20‬‬
‫‪-40‬‬
‫המימדים עם פרמטר ‪ α‬שמשתנה בין הערכים‬
‫‪-60‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪ 1.1225‬ל ‪.3.5‬‬
‫‪17‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
)‫(המשך‬
:CUBIC FUNCTION – ‫שימוש בפולינום ממעלה שלישית‬
Cubic function alpha=3.5
Cubic function alpha=1.1225
2
1
20
X: 0
Y: 0.3
Z: 0.5
0
z(t)
10
-1
z(t)
-2
0
4
2
-10
0
-2
-20
-3
-2
-1
0
1
2
-4
3
α = 3.5 ‫עבור‬
‫נקבל מעגל‬
‫חסום‬
-3
-4
0.4
0.2
2.5
2
0
1.5
1
-0.2
y(t)
0.5
-0.4
y(t)
x(t)
Time series
α ‫עבור‬
‫ = נקבל‬1.1225
‫מעגל חסום‬
0
x(t)
Time series
20
3
x(t)
y(t)
z(t)
15
10
x(t)
y(t)
z(t)
2
1
5
0
0
-1
-5
-2
-10
-3
-15
-20
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
-4
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000 10000
18
)‫(המשך‬
:CUBIC FUNCTION – ‫שימוש בפולינום ממעלה שלישית‬
:Double-Scroll ‫ נקבל שני מושכים‬α =3.2 – ‫ נקבל שרשרת פיצולים וב‬1.8> α >3.2 ‫עבור‬
Cubic function alpha=1.8
Cubic function alpha=3.1
20
20
10
z(t)
-10
0
-10
-20
-30
5
-20
4
3
2
3
Cubic function alpha=2.5
2
0
-1
y(t)
x(t)
-4
-1
-2
x(t)
20
20
10
10
0
0
z(t)
-5
1
0
-2
0
y(t)
-10
-10
-20
4
-20
4
2
3
2
0
1
-2
y(t)
Cubic function alpha=3.2
2
0
1
z(t)
z(t)
10
X: 0
Y: 0.3
Z: 0.5
0
2
4
-1
x(t)
0
-2
0
-4
2
0
y(t)
-2
-4
-4
19
x(t)
‫שימוש בפונקציות ‪ f‬בעלות ‪ n‬מושכים‪:‬‬
‫בשימוש הפונקציה ‪ f‬הלינארית למקוטעין נוכל לייצר מספר רב יותר של מושכים ע"י תוספת של‬
‫•‬
‫תתי קטעים לינאריים נוספים‪.‬‬
‫אם נתייחס לפונקציה ‪ f‬כפונקציה מתמטית בלבד (כמודל חסר מימדים) נוכל למצוא פונקציות‬
‫•‬
‫נוספות שמתנהגות דומה ויוצרות מספר רב של מושכים‪.‬‬
‫נתייחס למערכת הבאה‪:‬‬
‫•‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.05‬‬
‫‪-0.1‬‬
‫‪-0.15‬‬
‫‪5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪-5‬‬
‫‬
‫; ‪x − 2ac‬‬
‫‪  ≥ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪+ d ;  − 2 ≤  ≤ 2‬‬
‫‪  = −bsin‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪x + 2ac ;   ≤ −2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫; ‪=α y−f x‬‬
‫‬
‫‪y‬‬
‫;‪= x − y + z‬‬
‫‬
‫‪z‬‬
‫; ‪=  −‬‬
‫‬
‫שימוש בפונקציות ‪ f‬בעלות ‪ n‬מושכים‪( :‬המשך)‬
‫מערכת זאת מייצרת ‪ n‬מושכים שנקבעים ע"י ‪ . =  + 1‬הפרמטר ‪ d‬נקבע לפי ‪ –n‬אם ‪ n‬אי זוגי אז‬
‫ערכו יהיה ‪ ,‬אחרת ערכו ‪.0‬‬
‫עבור  = ‪  = 3,‬נקבל‬
‫שלושה מושכים כאוטיים‬
‫‪sine function, 3 attractors‬‬
‫‪Time series‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪-8‬‬
‫‪7000‬‬
‫‪6000‬‬
‫‪5000‬‬
‫‪4000‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪2000‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪21‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-0.4‬‬
‫‪-0.6‬‬
‫‪-0.8‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪0‬‬
CNN – Cellular neural network :‫רשתות נוירונים עצביות‬
‫רשתות נוירונים עצביות‪:‬‬
‫‪(CNN – Cellular neural network‬המשך)‬
‫‪abs(x + 1)/2 - abs(x - 1)/2‬‬
‫‪1‬‬
‫• לכל תא יש כמה מקורות זרם מבוקרים מתח‪ .‬ומקור מתח‬
‫מבוקר מתח הנמצא במוצא התא ומתפקד באמצעות הפונקציה‬
‫‪ = 0.5  + 1 −  − 1 :‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-6‬‬
‫• מקור מתח המוצא שולט שמקורות‬
‫הזרם המבוקרים מתח של תאים‬
‫סמוכים באופן הבא‪:‬‬
‫• ‪ CNN‬נמצאים כיום בשימוש רחב בחומרה בפתוח מעבדי ‪ CNN‬בטכנולוגיות ‪ .VLSI‬גם תחום‬
‫התוכנה כיום עשיר במודלים שמדמים מערכות כאלה ובונים איתם אפליקציות של בינה‬
‫מלאכותית ועיבוד אותות‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות‬
‫• מתנד ‪ CHUA‬וכאוס בכלל משמשים לצרכי הצפנה‪ .‬בשימוש זה מאפננים אות מידע ידוע‬
‫בתוך גל נושא כאוטי‪.‬‬
‫• במצב זה אות המידע אינו ניתן לגילוי כיוון שאת האות הכאוטי אי אפשר "לנחש" או לחזות‬
‫ללא ידע מוקדם לגבי המערכת הכאוטית שיצרה אותו‪.‬‬
‫• בהמשך לאותו אות מידע מאופנן‬
‫כאוטית יש מקלט אשר יוכל לפענח‬
‫את האות המקורי‪ .‬המקלט יוכל‬
‫לשחזר את האות המקורי אם ורק אם‬
‫הוא בעצמו מערכת כאוטית זהה‬
‫לזאת שבמשדר ומסונכרנת עמה‪.‬‬
‫)‪S'(t‬‬
‫‪-‬‬
‫‪Reciever Chaos‬‬
‫‪Generator‬‬
‫‪24‬‬
‫)‪r(t‬‬
‫‪+‬‬
‫)‪S(t‬‬
‫‪Message Signal‬‬
‫‪Transmitter Chaos‬‬
‫‪Generator‬‬
‫הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות‬
‫(המשך)‬
‫• סנכרון המערכות הכאוטיות מתבצע ע"י הנגד ‪ .Rc‬יש כמובן שיטות נוספות אך נתמקד‬
‫בשיטה זו‪.‬‬
‫• לצורך הבנת המערכת יש לדמיין שתי מערכות כאוטיות זהות שיכולות לעבוד בנפרד אם‬
‫הנגד ‪ Rc‬גדול מאוד‪ ,‬ואז הקשר ביניהם שואף לנתק‪ .‬או בסנכרון אם ערכו נמוך יותר‬
‫• בשימוש חוקי כירכהוף נרכיב את ששת המשוואות הבאות‪ .‬יש לציין כי הסנכרון יכול‬
‫להתבצע על פי כל אחד ממשתני המצב ‪.V1,V2,I3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪22 − 12  −  12 +‬‬
‫‪ − 12‬‬
‫‬
‫‪11‬‬
‫‪ 11‬‬
‫‪22‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ − 22  + 32‬‬
‫‬
‫‪21 12‬‬
‫‪32‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= − 22 + 0 32‬‬
‫‬
‫‬
‫‪25‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪21 − 11  −  11 +‬‬
‫‪ − 11‬‬
‫‬
‫‪11‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪21‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪ − 21  + 31‬‬
‫‬
‫‪21 11‬‬
‫‪31‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= − 21 + 0 31‬‬
‫‬
‫‬
)‫(המשך‬
‫הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות‬
-3
-3
x 10
x 10
Transmitter Chaos Generator
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
0.5
0
y(t)
-0.5
-3
-2
0
-1
1
3
2
x(t)
Correlation line
2.5
V12
Reciever Chaos Generator
5
z(t)
z(t)
5
‫נתחיל מהמצב בו שתי‬
‫המערכות ותנאי ההתחלה‬
 ‫ ערכו של‬.‫זהים לחלוטין‬
= 10 ℎ
-4
-5
0.5
0
-0.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-1
-0.5
0
V11
0.5
1
1.5
2
2.5
1
2
3
Time series for Transmitter
1.5
-1.5
0
2.5
2
-2
-1
-2
x(t)
2
-2.5
-2.5
-3
y(t)
-2.5
x(t)
y(t)
z(t)*10e-2
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
26
‫הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות‬
)‫(המשך‬
Transmitter Chaos Generator
Time series V1 - Transmitter & Reciever
3
-3
V11
V12
x 10
5
2
X: 4
Y: 0.01
Z: 0.001
z(t)
1
0
0
-1
-5
0.4
0.2
4
-2
2
0
0
-0.2
-2
-0.4
y(t)
-4
-3
x(t)
‫ = ליצירת סנכרון ונשנה‬100 ℎ ‫כעת נשנה את‬
‫משמעותית את תנאי ההתחלה‬
31 0 = 1mA , 21 0 = 0.1, 11 0 = 4
Correlation line
2.2
2.15
2.1
0.5
2.05
0
2
3000
4000
5000
6000
Correlation line
2
1
-0.5
V12
V12
1
2000
3
V11
V12
2
1.5
1000
11 0 ‫נשנה את אחד מתנאי ההתחלה ל‬
= 0.0005
‫ונראה יציאה מובהקת מסנכרון‬
Time series V1 - Transmitter & Reciever
2.5
0
0
1.95
-1
-1
1.9
-1.5
-2
1.85
-2
-2.5
-3
1.8
-2
-1
0
1
V11
2
3
4
-200
0
200
400
600
800
1000
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
V11
0.5
1
1.5
2
27
2.5
‫הצפנה וסנכרון בין מערכות כאוטיות‬
‫(המשך)‬
‫‪-3‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪Transmitter Chaos Generator‬‬
‫• במערכת פיזיקלית אמתית יהיה קשה מאוד למצוא שני רכיבים‬
‫באמת זהים ותכונותיהם הפיזיקליות עלולות להשתנות תוך כדי‬
‫עבודתם כתלות בטמפרטורה למשל‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪X: 4‬‬
‫‪Y: 0.01‬‬
‫‪Z: 0.001‬‬
‫‪2‬‬
‫• באיורים הבאים ניכר שינוי רב יותר‪ ,‬גם בתנאי ההתחלה וגם‬
‫בחוסר דיוק הרכיבים הלינאריים וערכיהם הוסתו עד כדי ‪.5%‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪11 = 1.05, 21 = 52.5, 1 = 1.05 ℎ,  = 100 ℎ,‬‬
‫‪11 0 = 4, 21 0 = 0.01, 31 0 = 1‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0.5 0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-3‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪Correlation line‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪Time series V1 - Transmitter & Reciever‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Reciever Chaos Generator‬‬
‫‪4‬‬
‫‪V11‬‬
‫‪V12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V12‬‬
‫‪0‬‬
‫‪X: 0.0008854‬‬
‫‪Y: 4.05e-05‬‬
‫‪Z: -4.63e-07‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-6‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪28‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V11‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫בניית מתנד ‪ CHUA‬מוחשי‬
‫‪Time series‬‬
‫‪5‬‬
‫• זהו אמנם פרויקט במתמטיקה‪ ,‬אך בתור‬
‫מהנדס אלקטרוניקה רציתי לבנות את‬
‫תוצאות‬
‫עם‬
‫ולהשוות‬
‫המעגל‬
‫הסימולציה‪.‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪z(t)*10e-3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫• המעגל נבנה בתכנת ‪ PSPICE‬ומוצג כאן‬
‫זמן ריצה של ‪.15ms‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪800‬‬
‫‪900‬‬
‫‪700‬‬
‫‪500‬‬
‫‪600‬‬
‫‪400‬‬
‫‪200‬‬
‫‪300‬‬
‫‪0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪R111‬‬
‫‪1.8k‬‬
‫‪V‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪22k‬‬
‫‪220‬‬
‫‪U8A8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪U9B‬‬
‫‪V+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪OUT‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪x 10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫‬‫‪V- TL082‬‬
‫‪2‬‬
‫‪TL082‬‬
‫‪VDD‬‬
‫‪R5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪22k‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪2.2k‬‬
‫‪R6‬‬
‫‪3.3k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪VDD‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪220‬‬
‫‪I‬‬
‫‪VCC‬‬
‫‪VDD‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪y(t‬‬
‫‪29‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪x(t‬‬
‫)‪z(t‬‬
‫‪V-‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪10n‬‬
‫‪5‬‬
‫‪OUT‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪100n‬‬
‫‪L1‬‬
‫‪18mH‬‬
‫‪VCC‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪VCC‬‬
‫‪V+‬‬
‫‪Real Chua Original function‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫• קצרה היריעה מלהכיל את תכנם של אלפי מאמרים על מעגל אחד‪.‬‬
‫• מתנד ‪ CHUA‬הוא ללא ספק מודל לכאוס ולייצור תופעות מגוונות במערכות דינאמיות‬
‫• מתמטיקאים ממשיכים בחקירת הגאומטריה של המושכים המוזרים שמעגל זה יוצר‪,‬‬
‫במציאת פונקציות לא לינאריות נוספות ועוד‪...‬‬
‫• מומחים ממשיכים למצוא בתכונותיו הכאוטיות שימושים נוספים בתחומים שונים כמו‬
‫בעיבוד אותות‪ ,‬במוזיקה וביצירת תמונות מרהיבות‪.‬‬
‫• בפרויקט זה היה לי העונג לחזור "לספסל הלימודים" ולשקוד על מחקרים מרתקים‪.‬‬
‫• השילוב בין מתמטיקה לאלקטרוניקה בפרויקט זה הוא ייחודי כיוון שהפעם‬
‫האלקטרוניקה היא זו ששימשה את המתמטיקה בביסוס תופעה אבסטרקטית כמו‬
‫כאוס‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫• כאוס נשמע לי בהתחלה כמו תחום מאוד תיאורטי ולא פרקטי‪ .‬אך מסתבר שיש סדר‬
‫ושליטה בתוהו ובואו (למרות שלא פשוט להגיע אליו)‪.‬‬
‫• מעניין לראות שמערכות דינמיות רבות בעולמנו‬
‫מתנהגות לפי פרמטרים דומים לאותו מתנד פשוט‪.‬‬
‫כך ניתן לראות בתמונה משמאל – שימוש בדיאגרמת‬
‫פאזה לניתוח כלכלי‪.‬‬
‫‪ DOUBLE SCROLL‬כמעט מושלם‪.‬‬
‫]‪[http://www.bentamari.com/PicturesEcometry/articals07-ChaosAndEconomics.pdf - page 4‬‬
‫‪31‬‬
32

similar documents