Steven F. Ashby Center for Applied Scientific Computing Month DD

Report
선형계획법 및 연습
04. 심플렉스법 2
동아대학교 산업경영공학과
김준우
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

심플렉스 법 수행을 위한 준비
– 선형계획문제를 표준형으로 표현




일반 제약식 모두 등식
목적함수 최대화 또는 최소화
일반 제약식 우변은 0이상의 상수
모든 변수 비음제약
– 심플렉스 법 수행 위한 부가 조건


각 등식제약식에 계수 1인 추가 변수 한 개씩 필요
추가 변수 : 여유 변수 등, 기존에 없던 의사결정변수
– 위 조건들에 부합하지 않는 문제

Kim Jun Woo
수정을 거쳐 적합한 형태로 바꾼 후, 심플렉스 법 수행
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최대화 문제의 표준형
– 여유 변수 도입을 통해 표준형으로 수정

여유 변수 : 자원 잔여량에 해당
– 예) 가구 제조 업체 D기업
선형계획모형
의사결정변수
제품 개당 이익
책상
개당 이익(만원)
3
책장
2
자원 소요량 및 월 최대사용량
목재
페인트
책상
10
4
책장
5
4
상한(월)
300
160
월 총 이익 최대화를 위해 각
제품 몇 개씩 생산할 것인가?
Kim Jun Woo
X 1 : 월 책상 생산량
X 2 : 월 책장 생산량
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
제약식
10 X 1  5 X 2  300
4 X 1  4 X 2  160
X 1  0, X 2  0
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최대화 문제의 표준형
– 예) 가구 제조 업체 D기업

여유 변수 : S1 (목재 잔여량), S2 (페인트 잔여량)
선형계획모형 표준형
의사결정변수
S1 : 첫 번째 등식 제약식에서 계수 1
X 1 : 월 책상 생산량
X 2 : 월 책장 생산량
S 1 : 목재 잔여량
S 2 : 페인트
잔여량
S2 : 두 번째 등식 제약식에서 계수 1
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
제약식
10 X 1  5 X 2  S 1  0  S 2  300
4 X 1  4 X 2  0  S 1  S 2  160
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
S1  0,
S2  0
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최소화 문제 관찰
– 예) S목장 사료 구입 문제

일일 사료 구입 비용 최소화 필요
선형계획모형
의사결정변수
사료 1Kg 당 가격
가격 (원)
X 1 : 일 사료 A 구매량
사료A 사료B
200
300
X 2 : 일 사료 B 구매량
목적함수
영양소 함량 및 최소량
사료A 사료B 1일 최소
단백질(g)
1
3
30
탄수화물 (g)
1
1
20
지방 (g)
4
1
35
Min .Z  200 X 1  300 X 2
제약식
X 1  3 X 2  30
X 1  X 2  20
4 X 1  X 2  35
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

부등식 제약식을 등식 제약식으로 변형
– 자원 제약식 ( <= 형태 )


여유 변수 (잔여량) 활용
좌변에 여유 변수 더하여 등식으로 변경
– 이익 제약식 ( >= 형태)

잉여 변수, 인위 변수 동시 활용
– 잉여 변수 (surplus variable)





Kim Jun Woo
이익제약식 수정 위해 추가하는 변수
각 항목 기준치 초과량으로 해석 가능
각 이익제약식 좌변에서 차감하여 등식으로 수정
일반적으로 T1, T2, T3, … 로 표기
비음제약 필요
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

최소화 문제 제약식 수정
– 예) S목장 사료 구입 문제



T1 : 단백질 초과 공급량 (기준치 30초과량)
T2 : 탄수화물 초과 공급량 (기준치 20초과량)
T3 : 지방 초과 공급량 (기준치 35초과량)
각 영양소 공급량 =
최소량 + 초과량이 됨
좌변에서 잉여변수
차감하여 등식 형성 가능
단백질 공급 30
이상
X 1  3 X 2  30
X 1  3 X 2  30  T1
X 1  3 X 2  T1  30
탄수화물 공급
20 이상
X 1  X 2  20
X 1  X 2  20  T 2
X 1  X 2  T 2  20
지방 공급 35
이상
4 X 1  X 2  35
4 X 1  X 2  35  T3
4 X 1  X 2  T3  35
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

잉여변수 도입한 최소화 문제 관찰
– 예) S목장 사료 구입 문제


심플렉스 법 실행을 위한 조건 만족하지 못함
각 등식제약식에 계수 1인 추가 변수 없음
제약식 수정한 선형계획모형
의사결정변수
X 1 : 일 사료 A 구매량
X 2 : 일 사료 B 구매량
T1 : 단백질 초과량
T 2 : 탄수화물 초과량
T 3 : 지방 초과량
목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0T1  0T 2  0T3
주의) 잉여변수도
가급적 추가하여
목적함수, 제약식
작성
제약식
X 1  3 X 2  T1  30
X 1  0,
X 2  0,
Kim Jun Woo
X 1  X 2  T 2  20
T1  0 ,
T2  0,
4 X 1  X 2  T3  35
T3  0
Linear Programming and Exercise
T1, T2, T3 : 각 등식에
추가되었으나 계수
1아님
‹#›
1. 최소화 문제의 표준형 관찰

잉여변수 도입한 최소화 문제 관찰
– 잉여변수만 추가한 모형으로 심플렉스 법 실행 불가

원점이 실행가능 기저해 (극점) 아님
– 예) S목장 사료 구입 문제 원점





X1 = 0
X2 = 0
T1 = -30
T2 = -20
T3 = -35
X 1  3 X 2  T1  30
X 1  X 2  T 2  20
비음제약 위배
잉여변수 : 초과량. 공급량이 최소요구량에 미달할
때는 초과량 음수가 됨
Kim Jun Woo
제약식
Linear Programming and Exercise
4 X 1  X 2  T3  35
X 1  0, X 2  0
T1  0 , T 2  0 , T3  0
‹#›
2. 최소화 문제의 표준형 작성

인위변수 (artificial variable)
– 이익제약식 수정 위해 도입되는 부가적 변수




각 항목의 기준치 대비 부족량으로 해석 가능
각 등식제약식 좌변에 추가
일반적으로 A1, A2, A3, … 로 표기
비음제약 필요
제약식
X 1  3 X 2  T1  A1  30
X 1  X 2  T 2  A2  20
4 X 1  X 2  T3  A3  35
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
T1  0 , T 2  0 , T3  0
A1  0 , A 2  0 , A3  0
Linear Programming and Exercise
‹#›
2. 최소화 문제의 표준형 작성

잉여변수와 인위변수 의미 관찰
– 모두 비음 변수




초과량 (잉여변수), 부족량 (인위변수) 모두 0이상 값 가짐
둘 중 한 쪽은 반드시 0이 됨
공급량 초과 시 : 잉여변수 > 0, 인위변수 = 0
공급량 부족 시 : 잉여변수 = 0, 인위변수 > 0
– 예) S목장 사료 구입 문제 첫 번째 제약식

일일 단백질 공급량 30이상
X 1  3 X 2  T1  A1  30
X1 = 10, X2 = 5인 경우
*. 단백질 공급량 = 10+3×5=25 (부족한 상태)
*. T1 (단백질 초과량) = 0
*. A1 (단백질 부족량) = 5가 되어 등식 만족시킴
X1 = 10, X2 = 10인 경우
*. 단백질 공급량 = 10+3×10=40 (초과 상태)
*. T1 (단백질 초과량) = 10
*. A1 (단백질 부족량) = 0이 되어 등식 만족시킴
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
2. 최소화 문제의 표준형 작성

목적함수에 인위변수 추가
– 모든 의사 결정 변수는 목적함수에 포함되어야 함
– 여유변수, 잉여변수


값이 얼마가 될지 알 수 없음
목적함수 값에 영향을 주지 않으므로 계수 0
– 인위변수



값이 0이 되어야 함 (제약식 만족 위해)
큰 수 M을 계수로 하여 목적함수에 추가
0이 아닌 경우 목적함수 달성 불리하도록 작성
– 예) S목장 사료 구입 문제 목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0T1  0T 2  0T3  MA 1  MA 2  MA 3
최소화할 목적함수에 큰 수 M이 곱해진 채로
포함됨. A1, A2, A3 모두 0이 되어야 목적함수
최소화 달성 가능
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
2. 최소화 문제의 표준형 작성

완성된 최소화 문제의 표준형
– 예) S목장 사료 구입 문제
의사결정변수
X 1 : 일 사료 A 구매량
X 2 : 일 사료 B 구매량
T1 : 단백질 초과량
T 2 : 탄수화물 초과량
T 3 : 지방 초과량
A1 : 단백질 부족량
A 2 : 탄수화물 부족량
A3 : 지방 부족량
목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0T1  0T 2  0T3  MA 1  MA 2  MA 3
제약식
X 1  3 X 2  T1  A1  30
X 1  X 2  T 2  A2  20
4 X 1  X 2  T3  A3  35
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
T1  0 , T 2  0 , T 3  0 ,
A1  0 , A 2  0 , A3  0
Linear Programming and Exercise
‹#›
3. 최소화 문제 심플렉스 표

최소화 문제의 심플렉스 표 작성
– 원점에서 탐색 시작


원래 의사결정변수 모두 0
인위변수들이 비기저 변수
– 예) S 목장 사료 구입 문제



사료 A구매량 X1 = 0
사료 B구매량 X2 = 0
원점
X1  0 X 2  0
T1  0 T 2  0 T3  0
아무 사료도
구매하지 않음
단백질, 탄수화물,
지방 초과량 모두 0
Kim Jun Woo
A1  30
Linear Programming and Exercise
A 2  20
A3  35
단백질, 탄수화물, 지방
초과량 모두
최소필요량만큼 부족
‹#›
3. 최소화 문제 심플렉스 표

최소화 문제의 심플렉스 표 작성
– 초기 심플렉스 표 작성


변수 열 : 원래 의사결정변수 왼쪽, 인위 변수 가장 오른쪽
초기 기저변수 : 인위 변수
– 주의) 최대화 문제 심플렉스 표와 차이점

최하단 단위이익 : Zj – Cj 형태 (최대화 문제 : Cj-Zj)
목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0T1  0T 2  0T3  MA 1  MA 2  MA 3
Cj
M
M
M
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
원점에서 비기저 변수 값
M
A1
M
A2
M
A3
목적함수 내 계수 : 각
의사결정변수 1 증가 시,
목적함수 증가량에 해당
원점에서 목적함수 값
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
3. 최소화 문제 심플렉스 표
– 초기 심플렉스 표 작성

Cj
M
M
M
한계대체율 : 제약식 계수들을 작성
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
300
X2
3
1
1
0
T1
-1
0
0
0
T2
0
-1
0
0
T3
0
0
-1
M
A1
1
0
0
M
A2
0
1
0
M
A3
0
0
1
제약식
X 1  3 X 2  T1  A1  30
X 1  X 2  T 2  A2  20
한계대체율 : 열 변수 1 증가
시, 각 기저변수 감소량을 의미
4 X 1  X 2  T3  A3  35
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
3. 최소화 문제 심플렉스 표
– 초기 심플렉스 표 작성

Cj
M
M
M
한계비용 : 열 변수 1증가 시, 기저변수 감소로 인한 목적함수 감소량
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
0
T1
-1
0
0
-M
0
T2
0
-1
0
-M
0
T3
0
0
-1
-M
M
A1
1
0
0
M
M
A2
0
1
0
M
M
A3
0
0
1
M
한계비용
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
3. 최소화 문제 심플렉스 표
– 초기 심플렉스 표 작성





Cj
M
M
M
단위이익 : 열 변수 1증가 시, 발생하는 종합적인 목적함수 개선 효과
표 상단 Cj : 목적함수 증가 ( + ) 효과, 최소화 문제의 경우 부정적 효과
한계 비용 : 목적함수 감소 ( - ) 효과, 최소화 문제의 경우 긍정적 효과
최소화 문제 단위 이익 = 한계 비용 – 표 상단 Cj
참조) 최대화 문제 단위 이익 = 표 상단 Cj – 한계 비용
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
-1
-M
-M
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
1
M
0
단위이익 (목적함수 총 감소량)
기저변수 X1이 1 증가 : 목적함수 6M-200 감소
기저변수 X2가 1 증가 : 목적함수 5M-300 감소
…
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 풀이
– 최대화 문제 풀이 과정과 동일

단위이익 형태만 다름
– 최초 심플렉스 표 관찰
기저해 : (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) =
( 0, 0, 0, 0, 0, 30, 20, 35 )
 최적해 아님 : 표 수정 통한 인접 기저해 이동 필요

Cj
M
M
M
Kim Jun Woo
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
-1
-M
-M
Linear Programming and Exercise
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
1
M
0
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 1) 진입 변수 선택


단위이익 가장 큰 비기저 변수 선정
진입 변수 : X1
기준열
Cj
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
M
M
M
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
-1
-M
-M
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
1
M
0
비기저 변수 중, 증가 시 목적함수 가장
많이 개선(감소)시키는 것
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 2) 탈락 변수 선택


Cj
M
M
M
기저 변수 중 최소비율시험 통해 선택
탈락 변수 : A3
기저
변수
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
해/기준열 값
0
T3
0
0
-1
-M
-M
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
1
M
0
30/1 = 30
20/1 = 20
35/4 = 8.75
기준행 : 가장
작은 양수에
해당하는 행
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 3) 심플렉스 표 수정

Cj
3-1) 기저 변수 항목 수정
기저
변수
A1
A2
X1
Zj
Zj-Cj
M
M
200
해
30
20
35
85M
200
X1
1
1
4
6M
300
X2
3
1
1
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
-1
-M
-M
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
1
M
0
기저 변수 아래 한계대체율 : 1 한 개와
나머지 0으로 구성 필요
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 3) 심플렉스 표 수정

Cj
M
M
200
Kim Jun Woo
3-2) 기저 변수 자신에 해당하는 행 한계 대체율 및 해 열 수정
기저
변수
A1
A2
X1
Zj
Zj-Cj
해
30
20
8.75
85M
200
X1
1
1
1
6M
300
X2
3
1
0.25
5M
6M-2005M-300
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
-0.25
-M
-M
Linear Programming and Exercise
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
0.25
M
0
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 3) 심플렉스 표 수정

Cj
M
M
200
Kim Jun Woo
3-3) 기저 변수 나머지 행 한계 대체율 및 해 열 수정
기저
해
200
300
변수
X1
X2
A1 21.25
0
2.75
A2 11.25
0
0.75
X1
8.75
1
0.25
Zj
85M 6M
5M
6M-2005M-300
Zj-Cj
0
T1
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0.25
0.25
-0.25
-M
-M
Linear Programming and Exercise
M
A1
1
0
0
M
0
M
A2
0
1
0
M
0
M
A3
-0.25
-0.25
0.25
M
0
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 3) 심플렉스 표 수정

Cj
3-4) 표 하단 한계비용 및 단위이익 수정
기저
변수
M
A1
M
A2
200 X1
Zj
Zj-Cj
Kim Jun Woo
해
200
X1
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
21.25
11.25
8.75
0
0
1
200
2.75
0.75
0.25
-1
0
0
-M
-M
0
-1
0
-M
-M
0.25
0.25
-0.25
1
0
0
M
0
0
1
0
M
0
-0.25
-0.25
0.25
32.5M+1750
0
3.5M+50
3.5M-250
0.5M-50
0.5M-50
Linear Programming and Exercise
-0.5M+50
-1.5M+50
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– 3) 심플렉스 표 수정
3-5) 두 번째 심플렉스 표 완성
 기저해 : (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) =
( 8.75, 0, 0, 0, 0, 21.25, 11.25, 0 )
 최적해 아님 : 표 추가 수정 필요

Cj
기저
변수
M
A1
M
A2
200 X1
Zj
Zj-Cj
Kim Jun Woo
해
200
X1
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
21.25
11.25
8.75
0
0
1
200
2.75
0.75
0.25
-1
0
0
-M
-M
0
-1
0
-M
-M
0.25
0.25
-0.25
1
0
0
M
0
0
1
0
M
0
-0.25
-0.25
0.25
32.5M+1750
0
3.5M+50
3.5M-250
0.5M-50
0.5M-50
Linear Programming and Exercise
-0.5M+50
-1.5M+50
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이
최소화 문제 심플렉스 표 수정

두 번째 심플렉스 표에서 진입변수, 탈락변수 선정
Cj
기저
변수
M
A1
M
A2
200 X1
Zj
Zj-Cj
해
200
X1
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
21.25
11.25
8.75
0
0
1
200
2.75
0.75
0.25
-1
0
0
-M
-M
0
-1
0
-M
-M
0.25
0.25
-0.25
1
0
0
M
0
0
1
0
M
0
-0.25
-0.25
0.25
32.5M+1750
0
3.5M+50
3.5M-250
세 번째 심플렉스 표 작성
Cj
기저
해
200
X1
변수
300
M
200
X2
A2
X1
Zj
Zj-Cj
Kim Jun Woo
해/기준열 값
85/11
60/11
75/11
60M/11+40500
/11
0
0
1
0.5M-50
0.5M-50
21.25/2.75=7.73
11.25/0.75 = 15
-0.5M+50
8.75/0.25 = 35
-1.5M+50
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
1
0
0
-4/11
3/11
1/11
0
-1
0
1/11
2/11
-3/11
4/11
-3/11
-1/11
0
1
0
-1/11
-2/11
3/11
200
300
0
0
3M/111000/11
3M/111000/11
-M
-M
2M/11- -3M/11+
300/11 1000/11
2M/11- -14M/11
300/11 +1000/11
Linear Programming and Exercise
M
0
-2M/11+
300/11
13M/11+
300/11
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
네 번째 심플렉스 표 작성
Cj
기저
해
200
X1
변수
300
0
200
X2
T1
X1
Zj
Zj-Cj
15
20
5
5500
0
0
1
200
0
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
1
0
0
0
1
0
-4/3
-11/3
1/3
1/3
2/3
-1/3
0
-1
0
4/3
11/3
-1/3
-1/3
-2/3
1/3
0
T1
0
T2
-0.5
1.5
0.5
0.5
-5.5
-1.5
300
0
다섯 번째 심플렉스 표 작성 (최적)
Cj
기저
해
200 300
X1
X2
변수
300
0
200
X2
T3
X1
Zj
Zj-Cj
Kim Jun Woo
5
30
15
4500
0
0
1
200
0
1
0
0
300
0
0
0
-50
-50
-1000/3 100/3
-1000/3 100/3
-150
-150
Linear Programming and Exercise
0
-M
1000/3
-M+
1000/3
-100/3
-M100/3
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
0
1
0
0.5
-1.5
-0.5
-0.5
5.5
1.5
0
-1
0
0
0
50
150
-M+50 -M+150
0
-M
‹#›
4. 심플렉스 표를 이용한 최소화 문제 풀이

최소화 문제 심플렉스 표 수정
– S 목장 사료 구입 문제 최종 심플렉스 표 관찰
최적해 : (X1, X2, T1, T2, T3, A1, A2, A3) =
( 15, 5, 0, 0, 30, 0, 0, 0 )
 최적 목적함수 값 : 총 비용 4500원
 인위변수 값 0으로 조정됨 : 부족 영양소 없음

Cj
300
0
200
Kim Jun Woo
기저
변수
X2
T3
X1
Zj
Zj-Cj
해
200
X1
300
X2
0
T1
0
T2
0
T3
M
A1
M
A2
M
A3
5
30
15
0
0
1
1
0
0
-0.5
1.5
0.5
0.5
-5.5
-1.5
0
1
0
0.5
-1.5
-0.5
-0.5
5.5
1.5
0
-1
0
4500
200
0
300
0
-50
-50
-150
-150
Linear Programming and Exercise
0
0
50
150
-M+50 -M+150
0
-M
‹#›
5. 심플렉스 법 이용 정리

표준형 문제의 작성
– 부등식 제약식을 등식으로 수정



자원제약 (<=) : 좌변에 여유변수 (Si) 더함
이익제약 (>=) : 좌변에 잉여변수 (Ti) 차감, 인위변수 (Ai) 더함
등식제약 ( = ) : 좌변에 인위변수 (Ai) 더함
– 목적함수 수정 (최대화 문제)



여유변수 계수 = 0
잉여변수 계수 = 0
인위변수 계수 = -M ( 인위 변수 0 아닐 시, 목적함수 크게 감소)
– 목적함수 수정 (최소화 문제)



Kim Jun Woo
여유변수 계수 = 0
잉여변수 계수 = 0
인위변수 계수 = M (인위 변수 0아닐 시, 목적함수 크게 증가)
Linear Programming and Exercise
‹#›
5. 심플렉스 법 이용 정리

심플렉스 표의 작성
– 표준형 문제 기준으로 작성

항상 원점에서 탐색 시작
– 가장 하단 단위 이익



Kim Jun Woo
각 비기저 변수 1증가 시 발생하는 (좋은 효과 – 나쁜 효과)
최대화 문제 : Cj – Zj
최소화 문제 : Zj-Cj
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타


여러 제약식 가진 선형계획 문제
1) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형
– 기본 조건 이전 문제와 동일


책상 : 3만원, 책장 : 2만원 이익
월 목재 최대 300, 월 페인트 최대 160

책상, 책장 합하여 30개 이상 생산
참조) 최적해는 이전 문제와 동일 (20, 20)
제품 개당 이익
책상
개당 이익(만원)
3
책장
2
자원 소요량 및 월 최대사용량
목재
페인트
Kim Jun Woo
의사결정변수
X 1 : 월 책상 생산량
– 추가 제약

선형계획모형
책상
10
4
책장
5
4
상한(월)
300
160
Linear Programming and Exercise
X 2 : 월 책장 생산량
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
제약식
10 X 1  5 X 2  300
4 X 1  4 X 2  160
X 1  X 2  30
X 1  0, X 2  0
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타

가구 제조 업체 D기업 문제 변형
– 표준형 문제의 작성
의사결정변수
X 1 : 월 책상 생산량
X 1 : 월 책상 생산량
S 1 : 목재 잔여량
X 2 : 월 책장 생산량
S 2 : 페인트 잔여량
X 2 : 월 책장 생산량
T1 : 총 개수 초과량
A1 : 총 개수 부족량
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
Max .Z  3 X 1  2 X 2  0  S 1  0  S 2  0  T1  MA 1
제약식
10 X 1  5 X 2  300
10 X 1  5 X 2  S 1  300
4 X 1  4 X 2  160
4 X 1  4 X 2  S 2  160
X 1  X 2  30
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
X 1  X 2  T1  A1  30
X 1  0 , X 2  0 , S 1  0 , S 2  0 , T1  0 , A1  0
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타

가구 제조 업체 D기업 문제 변형
– 초기 심플렉스 표의 작성

Cj
0
0
-M
초기해 : X1=0, X2=0, S1=300, S2=160, T1=0, A1=30
기저
변수
S1
S2
A1
Zj
Cj-Zj
해
300
160
30
490
3
X1
10
4
1
-M
3+M
2
X2
5
4
1
-M
2+M
0
S1
1
0
0
0
0
0
S2
0
1
0
0
0
0
T1
0
0
-1
M
-M
-M
A1
0
0
1
-M
0
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2  0  S 1  0  S 2  0  T1  MA 1
제약식
10 X 1  5 X 2  S 1  300
4 X 1  4 X 2  S 2  160
X 1  X 2  T1  A1  30
X 1  0 , X 2  0 , S 1  0 , S 2  0 , T1  0 , A1  0
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타


여러 제약식을 가진 선형계획 문제
2) S목장 사료 구입 문제 변형
– 기본 조건 이전 문제와 동일
– 추가 제약

선형계획모형
의사결정변수
탄수화물, 지방 공급량 합은 65g이하
X 1 : 일 사료 A 구매량
X 2 : 일 사료 B 구매량
사료 1Kg 당 가격
가격 (원)
사료A 사료B
200
300
목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2
제약식
영양소 함량 및 최소량
X 1  3 X 2  30
사료A 사료B 1일 최소
단백질(g)
1
3
30
탄수화물 (g)
1
1
20
지방 (g)
4
1
35
4 X 1  X 2  35
X 1  X 2  20
5 X 1  2 X 2  65
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타

S목장 사료 구입 문제 변형
– 표준형 문제의 작성
의사결정변수
X 1 : 일 사료 A 구매량
X 2 : 일 사료 B 구매량
S 1 : 탄수화물 , 지방 총합의 잔여량
X 1 : 일 사료 A 구매량
X 2 : 일 사료 B 구매량
목적함수
T1 : 단백질 초과량
T 2 : 탄수화물 초과량
T 3 : 지방 초과량
A1 : 단백질 부족량
A 2 : 단백질 부족량
A3 : 지방 부족량
Min .Z  200 X 1  300 X 2
제약식
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0  S 1  0  T1  0  T 2  0  T3  MA 1  MA 2  MA 3
X 1  3 X 2  30
X 1  3 X 2  T1  A1  30
X 1  X 2  20
X 1  X 2  T 2  A2  20
4 X 1  X 2  35
4 X 1  X 2  T3  A3  35
5 X 1  2 X 2  65
5 X 1  2 X 2  S 1  65
X 1  0, X 2  0
X 1  0 , X 2  0 , S 1  0 , T1  0 , T 2  0 , T 3  0 ,
A1  0 , A 2  0 , A3  0
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타

S목장 사료 구입 문제 변형
– 초기 심플렉스 표의 작성

Cj
0
M
M
M
초기해 : X1=0, X2=0, S1=65, T1=0, T2=0, T3=0, A1=30, A2=20, A3=35
기저
변수
S1
A1
A2
A3
Zj
Zj-Cj
해
65
30
20
35
150
200
X1
5
1
1
4
6M
300
X2
2
3
1
1
5M
6M-200 5M-300
0
S1
1
0
0
0
0
0
0
T1
0
-1
0
0
-M
-M
0
T2
0
0
-1
0
-M
-M
0
T3
0
0
0
-1
-M
-M
M
A1
0
1
0
0
M
0
M
A2
0
0
1
0
M
0
M
A3
0
0
0
1
M
0
목적함수
Min .Z  200 X 1  300 X 2  0  S 1  0  T1  0  T 2  0  T3  MA 1  MA 2  MA 3
제약식
X 1  X 2  T 2  A2  20
X 1  3 X 2  T1  A1  30
4 X 1  X 2  T3  A3  35
Kim Jun Woo
5 X 1  2 X 2  S 1  65
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타


여러 제약식을 가진 선형계획 문제
3) 표준형 조건의 고려
– 표준형 모형




1)
2)
3)
4)
목적함수 최대화 또는 최소화
일반 제약식 모두 등식 형태
제약식 우변 상수는 모두 0이상
모든 의사결정변수 비음 제약
– 심플렉스 법 사용 위해 표준형 문제 필요
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타


여러 제약식을 가진 선형계획 문제
3) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형
– 추가 제약

책상보다 책장 개수가 5개 이상 많아야 함
선형계획모형
의사결정변수
X 1 : 월 책상 생산량
제품 개당 이익
책상
개당 이익(만원)
3
책장
2
자원 소요량 및 월 최대사용량
목재
페인트
책상
10
4
책장
5
4
상한(월)
300
160
X 2 : 월 책장 생산량
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
제약식
10 X 1  5 X 2  300
4 X 1  4 X 2  160
X 1  X 2  5
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
Linear Programming and Exercise
‹#›
6. 초기 심플렉스 표 작성 기타


여러 제약식을 가진 선형계획 문제
3) 가구 제조 업체 D기업 문제 변형
– 음수인 우변 상수 처리

해당 제약식 양변에 -1 곱함
의사결정변수
의사결정변수
의사결정변수
X 1 : 책상 생산량
X 2 : 책장 생산량
S 1 , S 2 , T1 , A1
X 1 : 월 책상 생산량
X 1 : 월 책상 생산량
X 2 : 월 책장 생산량
X 2 : 월 책장 생산량
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
제약식
제약식
제약식
10 X 1  5 X 2  300
10 X 1  5 X 2  300
10 X 1  5 X 2  S 1  300
4 X 1  4 X 2  160
4 X 1  4 X 2  160
4 X 1  4 X 2  S 2  160
X 1  X 2  5
X 1  0, X 2  0
Kim Jun Woo
목적함수
Max .Z  3 X 1  2 X 2
 0 S 1  0 S 2  0 T1  MA 1
X1  X 2  5
 X 1  X 2  T1  A1  5
X 1  0, X 2  0
X 1 , X 2 , S 1 , S 2 , T1 , A1  0
Linear Programming and Exercise
‹#›

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