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Análisis de la Respuesta Transitoria y
estacionaria de Sistemas Dinámicos
Matemáticas en Todo y Para Todos
Noviembre 5 de 2012
Dr. Francisco Palomera Palacios
Depto de Mecatrónica y Automatización
ITESM Campus Monterrey
[email protected]
NOTA: Las figuras utilizadas en esta presentación son utilizadas para fines didácticos, y no de lucro.
A través de “google figuras”, se han obtenidos dichas gráficas desde diferentes websites.
Agenda
1) Introducción
2) Importancia de la respuesta transitoria y de estado estacionario.
3) Análisis intuitivo de ambas respuestas.
4) Dos modelos de interés de ecuaciones diferenciales lineales para el estudio de sistemas
dinámicos (primer y segundo orden).
5) La Transformada de Laplace en el análisis y solución de las ecuaciones diferenciales c.c.c.
(La función de transferencia y la función respuesta)
5) Teoremas básicos: del Valor inicial y del valor final.
6) Controlando el comportamiento deseado de la respuesta transitoria y de estado estacionario de
un sistema de control.
7) Conclusiones.
A qué nos referimos cuando mencionamos “
respuesta transitoria y de estado estacionario”.
Aunque sabemos que al subir de un piso a
otro por un elevador, la altura aumenta,
¿cómo graficamos ese comportamiento en el
dominio del tiempo hasta alcanzar la altura
(piso) deseada?
0
t
Análisis del comportamiento de la respuesta de sistemas físicos.
Comportamientos en el tiempo
de la temperatura cuando al ser
modificada dentro de una
incubadora
Comportamiento del movimiento
de los ejes “X”, “Y”, “Z”, de un
brazo manipulador que guía un
rayo laser para realizar cortes en
una pieza.
Posicionamiento de una
plataforma utilizada para
abordar/descender pasajeros
de un avión.
Comportamiento del
corazón a través de un
Electrocardiograma
Perfil de temperaturas
en un horno de
tratamiento térmico.
Ejemplo 1: ¿Dónde empieza y termina una respuesta transitoria
y una en estado estacionario en una gráfica en el dominio del
tiempo? (interpretación intuitiva)
Tiempo de la respuesta transitoria
Estado estacionario
Ejemplo 2: ¿Dónde empieza y termina una respuesta transitoria
y una en estado estacionario en una gráfica en el dominio del
tiempo? (respuesta oscilatoria)
Tiempo de la respuesta transitoria
Respuesta en estado
estacionario
Pero ¿Por qué la importancia de conocer y analizar la respuesta
transitoria y de estado estacionario de un sistema?
Comportamientos en el
tiempo de la temperatura
cuando al ser modificada
dentro de una incubadora
R = conocer qué tan rápido se
alcanza el valor deseado de la
respuesta, y qué comportamiento
ocurre en ese inter de tiempo.
Comportamiento del
movimiento de los ejes
“X”, “Y”, “Z”, de un brazo
manipulador que guía un
rayo laser para realizar
cortes en una pieza.
Comportamientos del
posicionamiento de una
plataforma utilizada para
abordar/descender
pasajero de un avión.
Para cada uno de los casos
mostrados, ¿cuál de las tres
respuestas sería un
comportamiento deseable?
La transformada de Laplace en el análisis y solución de
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c.
 2 ()
()
+
5
+ 6  = 18   ;  . . ,     ()
 2

Aplicar la transformada de Laplace a cada término
 2 Y s − sy 0 − y ′ 0 + 5sY s − 5y 0 + 6Y s = 18M s
   2 + 5 + 6 −   − ′  −   = 18()
2
i) Considero que las c. i.  0.
ii) No sustituyo la expresión
para M(s)
Obtengo la Función de
Transferencia: G(s)
()
18
= () = 2
()
 + 5 + 6
18
=
( + 2)( + 3)
i) Sustituyo las c. i. dadas.
ii) Sustituyo la expresión
equivalente para M(s)
  = ;
y(0) = 2
y’(0)=0
Obtengo la Función Respuesta: Y(s)
2
2 2 +10+2

Y(s)  2 + 5 + 6 = + 2 + 0 + 10 =

2
2 + 10 + 2
2 2 + 10 + 2
  =
=
( 2 + 5 + 6)   + 2  + 3



= +
+
 +2 +3
Modelado de sistemas físicos mediante ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Dos tipos de ecuaciones diferenciales lineales son muy utilizados para analizar y
describir el comportamiento de sistemas físicos:



+   =    :    
 2 ()
+
 2



+    =    ;    .
Para cada uno de los dos modelos de ecuación diferencial lineal, el valor de
sus parámetros, nos permiten conocer el comportamiento de su respuesta
transitoria y de estacionario ante señales forzantes conocidas.
Para un sistema que es modelado con un ecuación
diferencial lineal de Primer Orden


+

y(t) = 2 u(t);
y(0) = 1.4;
u(t) es una entrada escalón de magnitud 4.
Análisis:
  =
7
5.6
+
7+5.6
5
5
=
(5+1) (+0.2)
=
1.4+1.12 
=
(+0.2) 

++0.2 =
28

−
26.6
+0.2
;
  =    +  −.
  =  − .  −. ;  ≥ 
1] ¿Por qué y(0) = 1.4?
2] ¿Cómo podemos
evaluar y()?
i) A partir de y(t)
ii) A partir de Y(s)
Ambas por el teorema
del Valor Final
Para un sistema que es modelado con un ecuación
diferencial lineal con coeficientes constantes
Si un sistema físico es representado por la ecuación diferencial


+

y(t) = 2 u(t); y(0) = 1.4; u(t) es una entrada escalón de magnitud 4.
Obtener la solución de la ecuación diferencial, y(t).
Solución:
Utilizando el operador “D” para la homogénea: 5D + 1 = 0; D= -1/5 = -0.2
Utilizando la Transformada de Laplace:

4
5.6
[5  ] + L[y(t)] = L[1.4 u(t)] = 1.4 [  ] =  ;
5s Y(s) – 5y(0) + Y(s) =
Y(s) [5s + 1] =
  =
5.6

5.6

+ 5(1.4) =
7
5.6
+ 5
7+5.6
5
=
(5+1) (+0.2)
7+5.6

=
1.4+1.12 
=
(+0.2) 

++0.2
  =    +  −. Mediante esta expresión evaluamos la magnitud
de la respuesta en estado transitorio y en estado estacionario.
¿En el dominio del tiempo o Laplace?
1.2


+  =2 
3.6


+  =4 
1.2


+  =4 
… … … (1)

+  =  :

   

…………. (2)
……….. (3)
      ó   ""
i)
¿Cuál respuesta de los tres sistemas crece más rápido en el tiempo?
ii)
¿En cuánto se aumenta el valor de la magnitud de la respuesta cada vez que
transcurre un valor de tiempo t = ?
iii) ¿Cuál respuesta alcanzará el mayor valor en estado estacionario?
Análisis de la Respuesta Transitoria de un sistema de
primer orden ante una entrada escalón.
t
y(t)
t=0
t=
t=2
t= 3
t= 4
t= 5
A K [1 - e
A K [1 - e
-τ τ
A K [1 - e
A K [1 
A K [1 - e
A K [1 - e
-4 τ τ
-5 τ τ
] = A K [1 - 1 ] = 0
] = A K [1 - e
-2 τ τ
-3 τ
e
-0
Comentario
-1
] = 0.632 A K
] = A K [1 - e
]  A K [1 
] = A K [1 - e
] = A K [1 - e
-5
-4
-2
-1
e
...
t=
AK
y(t) incrementa su valor en 0.632 del
valor total AK.
] = 0.864 A K
y(t) incrementa su valor en 0.864 del
valor total AK
]  0.9502 A K
y(t) incrementa su valor en 0.9502 del
valor total AK
] = 0 .9 8 2 A K
] = 0.9932 A K
...
y(t) no ha aumentado y permanece en su
valor inicial.
y(t) incrementa su valor en 0.982 del
valor total AK
y(t) incrementa su valor en 0.9932 del
valor total AK
y(t) alcanza su máximo valor de estado
estable que es AK.
Si analizamos que y(t = ) alcanza el 0.632 de AK, el valor que le falta para alcanzar su valor de
estado estable es (1-0.632) de AK. Consideramos ahora que en t = 2, la respuesta y(t) se
incrementa: (1-0.632)(0.632)AK = (0.368)(0.632) AK = 0.2325 AK. Si sumamos este valor al obtenido
en y(t = ), obtenemos que: 0.632AK + 0.2325 AK = 0.8645 AK, que corresponde al valor alcanzado
por y(t = 2). Siguiendo un razonamiento similar al anterior se pude comprobar el crecimiento de
y(t) de acuerdo a los valores obtenidos en la Tabla .
Teoremas de evaluación de una función:
valor inicial y del valor final
Teorema del Valor Inicial: y 0 = lim   = lim . ()
→∞
t→0
Teorema del Valor Final: y  = lim   = lim . ()
t→∞
Donde: Y(s) = L[y(t)]
→0
Análisis del efecto del valor de los parámetros K y  en los
sistemas modelados como primer orden, en su respuesta
transitoria y de estado estacionario.
G  =

+1
2
3  =
1.2 + 1
4
2  =
3.6 + 1
1  =
4
1.2 + 1
Análisis del efecto del valor de los parámetros en los sistemas modelados como
segundo orden en su respuesta transitoria y de estado estacionario.
()
()
2 
=   = 2 +2ζ
 +
2

; efecto del valor de la razón de amortiguamiento
0<<1
=1
>1
Analogía de Sistemas Físicos
Comportamiento de carga y descarga de un circuito RC eléctrico
Cuya analogía con otros sistemas térmico, hidráulico, fisiológico,…
puede ser aplicada para su análisis.
Control automático de la altura de una plataforma de
abordaje/descenso
De las tres
gráficas de
respuesta en el
tiempo, ¿Cuál
sería la respuesta
deseable, y por
qué?
Algunas conclusiones
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
La respuesta transitoria de un sistema contiene información relevante antes de
tomar su valor en estado estacionario, ignorarla, es como no ver la película
completa.
Se puede modificar la forma y magnitud de la respuesta transitoria de un sistema
de manera natural o mediante un controlador.
En procesos de producción entre más pronto se alcance y se mantenga el estado
estacionario, la producción inicia más pronto y con una mejor calidad de
producción.
La respuesta transitoria puede mostrar el efecto del valor de los parámetros, como
en el caso de los sistemas de primer orden ante una entrada escalón.
Los sistemas de primer y segundo orden, son dos modelos muy utilizados en la
representación de sistemas dinámicos.
….
Respuesta transitoria y de estado estacionario
de sistemas dinámicos.
Hay un dicho: “Después de la tempestad viene la calma”
Será que también se puede parafrasear como:
¿después del estado transitorio viene el estado estacionario?
Sé constante en tus actividades, por eso,
¡Intégrate!, no te derives.
No te quedes fuera, siempre encontraras
quiénes te podemos apoyar¡
Gracias por su atención

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