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Taux de variation liés
Jacques Paradis
Professeur
Plan de la rencontre
 Volet historique
 Élément de compétence
 Exemple
 Méthode de résolution
 Exemples et exercices
Département de mathématiques
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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
 En 1676, il découvre le calcul différentiel, en même temps que
Newton. Il publie en 1684 son traité sur les différentielles.
 Plusieurs des notations utilisées actuellement en calcul
différentiel et intégral ont été suggérées pour la première fois par
Leibniz : dx, dy, dy/dx, d2y/dx2, Dy, D2y, Dny, , x .

 Il précise le « concept de fonction » (le terme est de lui, 1692) et
de « fonction dérivée ».
 On lui doit le terme « différentielle » que Newton appelle
«fluxion». On lui doit aussi le terme de « coordonnées ».
 Il précise les différentielles de u+v, uv et u/v.
 Il souhaite algébriser les processus qui font appel à l’infini, afin
de les rendre plus automatiques.
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Élément de compétence
 Résoudre des problèmes d’optimisation et de
taux de variation

Résoudre des problèmes de taux de variation
instantanés

Résoudre des problèmes de taux de variation liés
 Reconnaître des problèmes de taux de variation liés
 Résoudre des problèmes de taux de variation liés
avec la règle de dérivation en chaîne

Résoudre des problèmes d’optimisation
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Exemple
 Supposons que x désigne le taux hypothécaire à un moment t et
y, le nombre de maisons vendues à ce moment :

x : taux hypothécaire, y : nombre de maisons et t : temps
 Supposons de plus que le lien entre x et y soit exprimé au
moyen d’une équation*:

F(x,y) = k
 En dérivant implicitement ce lien** par rapport à t, nous
obtiendrons une équation liant dx/dt et dy/dt (lien entre le taux
de variation du taux hypothécaire et le taux de variation du
nombre de maison vendues) :


dx/dt : taux de variation du taux hypothécaire
dy/dt : taux de variation du nombre de maisons vendues
 Ainsi connaissant le taux de variation du taux hypothécaire,
nous pourrons calculer le taux de variation du nombre de
maisons vendues à un moment donné.
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Méthode de résolution
 Lire attentivement le problème (relire au besoin, le nombre de
fois qu’il faut);
 1. Identifier toutes les variables et faire un croquis si possible;
 2. Identifier le(s) taux de variation connu(s) et le taux de
variation cherché;
 3. Formuler une équation liant les variables (Si nécessaire,
éliminer une de des variables par substitution);
 4. Dériver
l’équation implicitement par rapport à t;
 5. Isoler le taux de variation cherché et évaluer ce taux en
remplaçant les variables par les valeurs appropriées.
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Exemple 1
 Une étude préparée pour la Société canadienne
d’hypothèque et de logement estime que le nombre de
mises en chantier N(t) (mesuré en millions) de nouvelles
constructions au Québec au cours des cinq prochaines
années est lié au taux hypothécaire r(t) (en pour cent par
année) par l’équation 9N2 + r = 36. Quel est le taux de
variation du nombre de mises en chantier par rapport au
temps lorsque le taux hypothécaire est de 3,5 % par an
et croît au taux de 1,5 % par an?
 Remarque : Prenez garde de ne pas remplacer les variables
de l’équation obtenue à l’étape 3 par leurs valeurs
numériques avant de dériver l’équation implicitement,étape 4.
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Exercice 1
 Un manufacturier de disques compacts consent à
fabriquer x milliers de coffrets de disques compacts
chaque semaine lorsque le prix de gros unitaire des
coffrets est p $. La relation entre x et p est modélisée
par l’équation x2 – 3xp + p2 = 5. Quel est le taux de
variation de l’offre lorsque le prix de gros d’un coffret
est 11 $, que l’offre hebdomadaire se situe à 4000
coffrets et que le prix de gros des coffrets augmente
de 0,10 $ chaque semaine?
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Exemple 2
 Posté à une distance de 1 200 m
de la rampe de lancement, une
spectatrice assiste au lancement
d’une fusée. Si celle-ci s’élève
verticalement et que sa vitesse
est de 175 m/s lorsqu’elle atteint
une altitude de 1 100 m, à quelle
vitesse la distance entre la
spectatrice et la fusée varie-t-elle
à ce moment précis?
z
y
Rappel : théorème de Pythagore
1 200
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Exercice 2
 Un ouvrier se trouve au haut d’une
échelle de 5 m appuyée contre un
mur. Or, l’échelle commence à
glisser vers le bas de telle sorte
que le pied de l’échelle s’éloigne
du mur. À quelle vitesse s’abaisse
le haut de l’échelle à l’instant où le
pied de l’échelle se trouve à 4 m
du mur dont il s’éloigne au taux de
2 m/s?
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y
5
x
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Exemple 3
 Une personne mesurant
1,8 m s’éloigne d’un
réverbère de 4 m de
haut à une vitesse de
2,1 m/s. À quelle vitesse
augmente la longueur
de l’ombre de cette
personne?
4
1,8
y
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ombre (x)
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Exercice 3
 Une personne mesurant
1,8 m s’éloigne d’un
réverbère de 4 m de
haut à une vitesse de
2,1 m/s. À quelle vitesse
l’extrémité de l’ombre
s’éloigne-t-elle du
réverbère?
4
1,8
y
x
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Devoir
 Exercices 5.2, page 197, au complet
 Exercices récapitulatifs, page 200, nos 9, 10,
12, 13, 14,15a, 15b et 15c (pour x = 1200 m seulement).
10a) Oui car la vitesse est de 41,6 km/h, b) 26,8 km/h
13a) 2016 cm3/s, 13b) 1512 cm3/s
15a) 3000 m, 15b) 6000 m et 120 s, 15c) -40 m/s
 Problèmes synthèse, page 204, #1a, 1b, 1c, 2,
3a, 4, 5, 6, 7, 8 et 10
2a) 10 cm/s, 2b) 82 cm2/s
4a) 20 km/h, b) 18,52 km/h, c) 28 km/h
7a) -0,2 cm/min, 4,906 cm3, 15 min, 8 cm3.
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Triangles semblables
 On appelle triangles semblables les
triangles qui ont la même forme mais
qui sont de taille différente.

 DEC semblable au  ABC
 Deux triangles sont semblables si tous
leurs angles sont égaux deux à deux.

C = C, E = B et D = A
 Si deux triangles sont semblables, alors
les côtés opposés aux angles égaux
sont proportionnels.
CE
CD
ED


CA
BA
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
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 « La partie du meilleur n’est pas
nécessairement le meilleur qu’on pouvait faire
de cette partie, puisque la partie d’une belle
chose n’est pas toujours belle. »
Leibniz
 « Ce sont les désordres dans les parties qui
relèvent merveilleusement la beauté du tout. »
Leibniz
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