Integrais de Linha

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Integrais de Linha - Noções
• Vimos
b

f ( x ) dx
- integral em um intervalo [a, b]
a

f ( x , y ) dA n - integral dupla em uma região R
R
• Agora, Integrais sobre uma curva C
Alguns conceitos:
 Funções a valores vetoriais:
• No plano uma função y = f(x)
r(t) = x(t).i + y(t)j = < x(t), y(t) >
• No espaço uma função z = f(x, y)
r(t) = x(t).i + y(t)j + z(t)k = < x(t), y(t), z(t) >
Exemplos:
r(t) = (sent).i + (cost).j
r(t) = 2(cos t)i – 3(sent).j
r(t) = t.i + (t2 + 1).j
Exercícios:
1. Se r(t) = 0,5t2i – (t – 1)j: a) encontrar e marcar no plano
r(1); r(0); r(2); b) encontrar y = f(x)
2. Se r(t) = (lnt)i +(1/t)j: a) encontrar e marcar no plano
r(1); r(2); r(e); b) encontrar y = f(x)
3. Esboçar o gráfico e, quando possível, encontrar y = f(x):
a) r(t) = 3t.i + (t – 1).j
b) r(t) = (1 – t).i + t1/2.j
c) r(t) = (cost).i = 3(sent).j
d) r(t) = <2cos3t, 2sen3t>
Curvas Lisas
Quando r(t) = x(t).i + y(t).j, para a ≤ t ≤ b e dx/dt e dy/dt
São contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b],
A curva C no plano, correspondente à função r(t), é
chamada curva lisa.
Quando r(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k, para a ≤ t ≤ b e
dx/dt , dy/dt e dz/dt
São contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b],
A curva C no espaço, correspondente à função r(t), é
chamada curva lisa.
Integrais de Linha
• Seja f uma função definida em uma região contendo uma
curva lisa C de comprimento finito e {P1, P2, ... Pn} uma
partição da curva C.
• Seja Δsi o comprimento do i-ésimo subarco.
• Então a integral de linha de f ao longo de C é dada por:
n

C
f ( x , y , z ) ds  Lim
||  ||  0

f ( xi , yi , zi )  s
no espaço
f ( xi , yi , zi )  s
no espaço
i 1
n

C
f ( x , y , z ) ds  Lim
||  ||  0

i 1
desde que o limite exista
(||Δ|| = comprimento do maior subarco)
Calculando integrais de linha - Teorema
Seja f uma função contínua em uma região contendo a
curva lisa C. Se a ≤ t ≤ b e:
• C é dada por r(t) = x(t).i + y(t).t, então
b

f ( x , y ) ds 
C

f ( x ( t ), y ( t )) [ x ' ( t )]  [ y ' ( t )] dt
2
2
a
• C é dada por r(t) = x(t).i + y(t).t + z(t).k, então
b

C
f ( x , y , z ) ds 

a
f ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) [ x ' ( t )]  [ y ' ( t )]  [ z ' ( t )] dt
2
2
2

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