PPS - Zavod za matematiku

Report
Sveučilište u Zagrebu
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije
ZAVOD ZA MATEMATIKU
DIPLOMSKI STUDIJ EKOINŽENJERSTVO
SEMINARSKI RAD
MODEL SUŽIVOTA GDJE JEDNA VELIČINA
OMETA DRUGU
Studenti:
Matea Šutalo
Nikolina Martinec
Ivana Tomašković
Voditelj rada:
dr. sc. Ivica Gusić,
dr. sc. Miroslav Jerković
Lipanj, 2012
SADRŽAJ

Uvod

Dinamički sustavi

Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu

Primjer modela u programskom paketu Matlab

Zaključak

Literatura
UVOD
Svaki organizam rođenjem pripada populaciji
određene vrste koja na istom staništu koegzistira s
populacijama istih ili drugih vrsta.
Jednostavnija međudjelovanja mogu se modelirati pa tako i odnos među
populacijama gdje jedna populacija na drugu utječe samo redukcijom broja
njenih jedinki, dok ta druga populacija na prvu ne utječe uopće.
Model suživota gdje jedna vrsta ometa drugu jednostavan je
matematički model koji se može koristiti u svrhu promatranja i shvaćanja
kako će se razvijati i ponašati dvije skupine jedinki dviju različitih vrsta, a
da su pritom na neki način izolirane od ostalih vrsta, pri čemu jedna
vrsta na drugu utječe samo tako da joj smanjuje kapacitet.
DINAMIČKI SUSTAVI






opisuje međusobnu zavisnost sustava varijabli i njihovu promjenu u
vremenu
mogu biti kontinuirani, diskontinuirani ili kombinacija navedenih
(hibridni)
opisani su diferencijalnim jednadžbama
ponašanje dinamičkih sustava moguće je predočiti orbitama
(trajektorijama - putanja ili orbita točke (x0, y0) kroz sva vremena)
važno je također opisati fiksne točke ili stacionarna stanja danog
dinamičkog sustava (varijable koje se neće promijeniti s vremenom) te
periodične točke jer su to stanja sustava koja se ponavljaju nakon
određenog perioda vremena
dinamički sustavi mogu biti linearni (jako rijetko) ili nelinearni (sustav čiji
je model opisan nelinearnim jednadžbama)
LOGISTIČKI MODEL


jedan od najjednostavnijih nelinearnih diferencijalnih
jednadžbi 1. reda kojom je moguće opisati rast neke
populacije
ovaj model često se naziva populacijskim modelom upravo
zato jer se koristi za modeliranje kretanja neke populacije
K – koeficijent rasta populacije
M – nosivi kapacitet
t – vrijeme
dx/dt – brzina rasta populacije (kraće x’)
MODEL SUŽIVOTA GDJE JEDNA VRSTA OMETA
DRUGU



jedna nesimetrična situacija
promatra način na koji jedna vrsta utječe na drugu
smanjujući joj kapacitet, a da pritom druga ne ometa prvu
može se opisati situacijom u zatvorenom sustavu gdje su
prisutne x, y, i t varijable
a - koeficijent razvoja
x – broj agresivaca y – broj žrtava
t – vrijeme
dx/dt – promjena gustoće populacije x po vremenu
dy/dt – promjena gustoće populacije y po vremenu
veličine x (napadača /
agresora)
b - koeficijent razvoja
veličine y (žrtve)
c - koeficijent nasrtljivosti
napadača
K - maksimalna teoretska
količina populacije x
L - maksimalna teoretska
količina populacije y kada
ne bi bilo varijable x
PRIMJERI MODELA SUŽIVOTA GDJE JEDNA
VELIČINA OMETA DRUGU U MATLABU




primjeri su prikazani u Matlabu
proučavali smo utjecaj početnih uvjeta i parametara na sudbinu
dviju vrsta
populacija jedne vrste (x) nazvana je “napadači” ("agresori“), a
druge (y) "žrtve"
parametri
a - koeficijent razvoja veličine x (napadača / agresora)
b - koeficijent razvoja veličine y (žrtve)
c - koeficijent nasrtljivosti agresora
K - maksimalna teoretska količina populacije x
L - maksimalna teoretska količina populacije y kada ne bi bilo varijable x

početni uvjeti - x0, y0 početna količinu agresora, odnosno žrtve
i
.
POČETNO STANJE SUSTAVA – RAVNOTEŽA
Sustav se sastoji od dvije diferencijalne jednadžbe
Sustav je u ravnoteži ako je:
što znači da je
iz toga slijedi da je
ako je
 Sustav je u ravnoteži
ako je x = 10 i y = 10
PRIMJER 1.
Jednadžbe modela suživota
gdje jedna veličina ometa drugu
Početni parametri
Početne vrijednosti x i y
SUSTAV JE U RAVNOTEŽI
 kapaciteti
žrtava i
napadača su
uravnoteženi
 promjenom
vremena (t)
broj
populacija se
ne mijenja
Graf 1. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je sustav u ravnoteži
PRIMJER 2.
 proučava se
utjecaj promjene
koeficijenata,
parametara i početnih
uvjeta
 u Primjeru 2 broj
do kojega se
napadač može razviti
je 30, a broj do kojeg
se žrtva može razviti
je 40
 početne vrijednosti
napadača i žrtve su
10 kao u Primjeru 1
Graf 2. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu
 poboljšanjem uvjeta za život obje vrste su se počele razmnožavati
 također možemo vidjeti u kojem je vremenu broj napadača prešao
određenu količinu te se kapacitet žrtava počeo smanjivati
OVISNOST PROMJENE GUSTOĆE VRSTE 1 O
PROMJENI GUSTOĆE VRSTE 2
 povećanje gustoće
napadača (x) direktno utječe
na gustoću žrtava (y)
 trajektorije su definirane
za različite početne uvjete x0
i y0 koji se kreću od
vrijednosti 10 do 50 sa
korakom 5
 točka ponora trajektorija,
(30,22) - to je fiksna točka u
kojoj x ide prema svom
kapacitetu, a y prema svom
relativnom kapacitetu
Graf 3. prikaz skupa trajektorija koje opisuju životne
cikluse dviju vrsta  različite boje – različiti x
UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA - POVEĆANJE
KOEFICIJENTA C

utjecaj nasrtljivosti napadača c sa 0,6 na 0,7
Graf 4. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,7
UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA - POVEĆANJE
KOEFICIJENTA C

 pri manjem
broju napadača
broj žrtava
počinje padati
Graf 5. Ovisnost gustoće populacije vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c = 0,7
UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA – SMANJENJE
KOEFICIJENTA C
 ako smanjimo
utjecaj nasrtljivost
napadača na
c = 0,1 vidimo da je
broj žrtava veći od
broja napadača jer
je njihov kapacitet
veći od kapaciteta
napadača
 kako napadači
usporavaju rast
žrtvi, te žrtve nikad
neće dostići svoj
maksimalni
kapacitet L = 40
Graf 6. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,1
.
UTJECAJ NASRTLJIVOSTI NAPADAČA – SMANJENJE
KOEFICIJENTA C
 primjećujemo da se
točka ponora trajektorija
kod c = 0,1 podigla po
y osi, s obzirom na
točku ponora kod
c = 0,6
 utjecaj napadača je u
ovom slučaju manji pa
se samim time i relativni
kapacitet žrtava
povećao
Graf 7. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c = 0,1
UTJECAJ PARAMETRA K, ODNOSNO UTJECAJ
KAPACITETA NAPADAČA
Povećanje parametra K, za K = 50
50
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gustoća populacije x
Graf 9. Ovisnost promjene gustoće
vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2
kada je K = 50
Graf 8. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 50
 povećanje kapaciteta napadača na K = 50 tijekom vremena direktno
se povečava brojčano stanje napadača, a samim time i na smanjenje
kapaciteta žrtava
UTJECAJ PARAMETRA K, ODNOSNO UTJECAJ
KAPACITETA NAPADAČA
50
Smanjenje parametra K, za K = 20
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Gustoća populacije x
Graf 11. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o
promjeni gustoće vrste 2 kada je K = 20
Graf 10. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 20
 smanjenjem kapaciteta napadača K = 20 direktno se utječe na njihovo
brojčano smanjenje
 u skladu s tim vidljivo je smanjenje utjecaja napadača na žrtve
 iz grafa 11. vidljivo je kako se zbog smanjenja parametra utjecaj gustoće
napadača na gustoću žrtava smanjio
50
UTJECAJ PARAMETRA L, ODNOSNO UTJECAJ
KAPACITETA ŽRTVE
50
Povećanje parametra L, za L = 50
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gustoća populacije x
Graf 13. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o
promjeni gustoće vrste 2 kada je L = 50
Graf 12. Promjena gustoće populacije vrsta u
vremenu kada je L = 50
 povećanjem parametra L dolazi do povećanja broja žrtava, ali s obzirom da
je napadača još dovoljno da taj rast zaustave na određenom nivou, žrtve se ne
mogu razviti do punog potencijala
UTJECAJ PARAMETRA L, ODNOSNO UTJECAJ
KAPACITETA ŽRTVE
50
Smanjenje parametra L, za L = 35
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Gustoća populacije x
Graf 14. Promjena gustoće populacije vrsta u
vremenu kada je L = 35
Graf 15. Ovisnost promjene
gustoće vrste 1 o promjeni gustoće
vrste 2 kada je L = 35
 smanjenjem parametra L na 35 smanjuje se kapacitet žrtve
 budući da smo smanjili kapacitet žrtava, ranije će doći do pada njihove gustoće
 porastom broja napadača broj žrtava brže pada tj. veći je utjecaj napadača na žrtve
50
UTJECAJ INTEZITETA RAZMNOŽAVANJA
POJEDINIH VRSTA
50

Promjena koeficijenta a, za a = 0,5
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Gustoća populacije x
Graf 16. Promjena gustoće populacije vrsta u
vremenu kada je a = 0,5
Graf 17. Ovisnost promjene gustoće
vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada
je a = 0,5
 promjenom parametra a broj napadača puno brže dosegne svoj
maksimum (intenzitet njihovog razvoja je puno veći), pa samim time i broj
žrtvi brže padne
50
UTJECAJ INTEZITETA RAZMNOŽAVANJA
POJEDINIH VRSTA
50

Promjena koeficijenta b, za b = 0,5
45
Gustoća populacije y
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Gustoća populacije x
Graf 18. Promjena gustoće populacije vrsta u
vremenu kada je b = 0,5
Graf 19. Ovisnost promjene gustoće
vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada
je b = 0,5
 promjenom parametra b se povećava intenzitet razvoja žrtvi pa brže
dosegnu maksimalan broj koji mogu dostići, ali čim se napadači (agresori)
dovoljno razviju, opet broj žrtvi opada
ZAKLJUČAK

Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu je vrlo
jednostavan i razumljiv.

Mijenjanjem određenih parametara i početnih uvjeta dolazimo
do različitih odnosa populacija.

Možemo zaključiti da se povećanjem početnog intenziteta
razvoja ili razmnožavanja, nasrtljivosti te maksimalnog
kapaciteta napadača povećava utjecaj na žrtvu. Do istog učinka
dolazi ako se neki od tih parametara i koeficijenata kod žrtve
smanjuju.

Promjena bilo kojeg parametra ili koeficijenata žrtve ili
napadača nema utjecaj na razvoj napadača.

Ovaj model se zbog svoje pouzdanost može koristiti za
izračunavanje kretanja neke populacije.
HVALA NA PAŽNJI!!!
LITERATURA






1) http://elgrunon.wordpress.com/2007/04/18/malapovijest-deterministickog-kaosa-iii/
2) http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems_theory
3) http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-1Uvod_u_kaoticne_sustave.htm
4) Damir Marinić; Teorije dinamičkih sustava kao
metateorijski okvir za istraživanja ličnosti; pregledni rad;
Osijek 2008.
5) Petra Sabljić; Diskretni dinamički sustavi – logistički
model, Kaos; seminarski rad; Zagreb 2009.
6) Ivica Gusić; Uvod u matematičke metode u inženjerstvu;
predavanja s Fakulteta kemijskog inženjerstva i tehnologije u
Zagrebu.

similar documents