1000504精進教學數學研習講義(ppt檔)

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數學解題教學策略探究
林玉鴦
簡報大綱
壹、提升孩子解題能力的方法
貳、加減應用題的解題教學策略
叁、乘除應用題的解題教學策略
肆、植樹問題的解題教學策略
伍、平均問題的解題教學策略
陸、速率問題的解題教學策略
柒、相遇與追趕問題的解題教學策略
捌、四則運算的教學策略
玖、結語
壹、提升孩子解題能力的方法
※在《香港教育學院小學教師進修課程小學數學
課程與教學》裏,指出作為一個數學教師,處
理應用題時應注意下列幾點:
1.考慮學生的已有知識。
2.引導學生了解題意。
3.引導學生解答問題。
4.提示學生解答應用題時必須注意的地方。
5.鼓勵學生用不同方法解答應用題。
6.鼓勵學生養成估計和驗算答案的習慣。
7.鼓勵學生自擬應用題。
壹、提升孩子解題能力的方法
※根據數學家波爾的經典著作《如何解題》中,指出
數學解難題中的四個步驟:
1.了解問題:
設法理解整個題目要求的是什麼,並正確理解題意。
如:「什麼是未知數?」、「什麼是已知數?」
及「有什麼已知條件?」;可以透過畫圖、
引入適當的符號,皆有助於瞭解問題,
千萬不可在瞭解題意之前就埋頭苦算。
壹、提升孩子解題能力的方法
2.擬定計畫:
逐漸形成或經過一連串的嘗試錯誤所激發的靈感,
所規劃的解題路徑。
如:「是否知道什麼相關題目?」、
「仔細看未知數。」、
「這裡有個以前解過的問題能否運用?」
及「是否使用了全部條件?」
可運用重述問題、一般化、特殊化、類比、
除去部分條件等方法,架構出解題計畫。
壹、提升孩子解題能力的方法
3.執行計畫:
穩紮穩打地執行擬定好的計畫,並「檢查每一個步驟」,
時時確保過程中沒有遺漏任何已知的條件及預定的計畫。
4.驗算與回顧:
回顧整個求解的過程可加深對數學知識的理解及培養解
題能力。
如:「能否檢查這個論證?」、
「能否將其結果應用到其他問題上?」
「把問題裡的抽象數學元素賦予具體的詮釋。」
如此加深對問題的印象,可大幅增進解題能力,
但這個步驟也是最多人容易輕忽的。
貳、加減應用題的解題教學策略
1.布題盡量從孩子的日常生活中取材〈可改編課本的題目〉。
「例1」電梯從3樓向上走到15樓,電梯走了幾樓?
這題要怎麼改編成孩子比較容易懂的題目?
「例2」排隊結帳,王先生排在第12個,阿姨排在王先生前面第2個,
阿姨排在第幾個?
這題要怎麼改編成孩子比較容易懂的題目?
2.與孩子分析題意、從眾多文字中抽絲剝繭,讓孩子掌握題目
裡最關鍵的幾個數字所代表的意義(已知條件)及題目中要問
什麼(未知條件)。
3.不要只教孩子用關鍵字來判斷加或減,容易造成誤判。
「例」拔河比賽,參加的女生有80人,參加的女生比男生少
20人,共有多少人參加拔河比賽?(96年三、四年級)
貳、加減應用題的解題教學策略
4.尊重並鼓勵孩子多元的解題方式〈最好能窮盡各種解法〉
「例1」小英原來存了276元,買一本故事書用了97元,
媽媽又給她100元,小英現在有多少元?
「例2」一桶礦泉水30公升,第一天喝掉7.5公升,第二天
喝掉9.8公升,還剩下多少公升?(96年四年級)
5.佈題的題型要多樣化:
加法:併加型、添加型、比較型、序列型。
減法:拿走型、比較型、序列型。
叁、乘除應用題的解題教學策略
1.和孩子分析題意、掌握題目中的基準量、比較量、母
子和、母子差。
▲以某數為基準,某數叫做「基準量」,又稱做「母數」。
另一個量叫做「比較量」,又稱做「子數」。
(通常應用問題「倍」或「幾分之幾」前面有一個「的」,
此「的」前面是基準量,當作1)。
「例」「甲數是乙數的4倍」,此題中乙數是基準量,
甲數是比較量。
▲母子和:母數和子數的和,叫做「母子和」。
「例」「甲數是乙數的4倍」,甲乙兩數的和就是母子和。
▲母子差:母數和子數的差,叫做「母子差」。
「例」「甲數是乙數的4倍」,甲乙兩數的差就是母子差。
叁、乘除應用題的解題教學策略
※基準量知道,要算比較量、母子和或母子差,
通常用「乘法」。
「例1」甲數是乙數的3倍,乙數是50,那麼甲數是多少?
3
1
〈知道基準量,求比較量〉
「例2」乙數是甲數的5倍,甲數是30,甲和乙共是多少?
5
1
〈知道基準量,求母子和〉
「例3」小蘭的存款是小文的6倍,小文的存款是150元,
小蘭和小文的存款相差多少元?
〈知道基準量,求母子差〉
叁、乘除應用題的解題教學策略
※知道比較量、母子和或母子差,要算基準量,
通常用「除法」。
「例1」一本故事書100元,已知一本故事書的價錢是
一枝鉛筆的5倍,一枝鉛筆多少元?
〈知道比較量,求基準量〉
「例2」甲數是乙數的3倍,已知甲、乙兩數的和是200,
那麼甲、乙兩數各是多少?
〈知道母子和,求母數和子數〉
「例3」甲數是乙數的3倍,已知甲、乙兩數相差是100,
那麼甲、乙兩數各是多少?
〈知道母子差,求母數和子數〉
叁、乘除應用題的解題教學策略
花蓮市學生基本能力檢測相關問題
「例1」仁愛國小的男生共120人佔全校人數的,全校有多少人?
(97年六年級)
「例2」中華國中七年五班全班有40人,男生佔,這次運動會要選出
班上男生的參加接力賽,這次參加接力賽的男生有幾人?
(97年六年級)
「例3」白米ㄧ袋2公斤,吃掉其中的後,還剩下多少公斤?
(97年六年級)
「例4」甲數是乙數的34倍,甲數是2210,乙數是多少?(98年五年級)
「例5」一本書總頁數的是84頁,那這本書的是多少頁?
(98年六年級)
2
5
叁、乘除應用題的解題教學策略
2.用圖解方式幫助孩子理解題意。
「例1」一些糖果平分給7個小朋友,每個人分到3顆,還剩下2顆,
原來有多少顆糖果? (96年三年級)
「例2」藍色繩子長75公分,紅色繩子的長比藍色繩子的2倍短
1公分,紅色繩子有多長?(96年三年級)
「例3」一條鐵絲做勞作剪一樣長的7段,每段長19公分,剩下
13公分,這條鐵絲本來長幾公分?(96年四年級)
「例3」一條緞帶長5公尺,包裝禮物用去2公尺,還剩下多少公尺?
(97年五年級)
「例3」飲料一瓶平分給5位小朋友,每位小朋友分到
2/5公升,請問這瓶飲料原有多少公升? (97年五年級)
叁、乘除應用題的解題教學策略
3.除法中注意「裝滿」與「裝完」的區別
~商的答案是否加1。
「例1」米200公斤,每30公斤裝一袋,可以裝滿幾
袋?還剩下多少公斤?
「例2」米200公斤,每30公斤裝一袋,需要幾個袋子
才能裝完?最後一個袋子裝了幾公斤?
「例3」米200公斤,每30公斤裝一袋,需要幾個袋子
才能裝完?最後一個袋子還可以再裝幾公斤?
叁、乘除應用題的解題教學策略
花蓮市學生基本能力檢測相關問題
(1)三年一班有33人,校外教學時搭小火車,每4個人坐一節車廂,
請問最少要幾節車廂才夠全班一起搭乘?(96年三年級)
(2)一台碰碰車可以坐四個人,三年甲班有31人,需要多少台才能全
部坐下? (98年三年級)
(3) 8765元最多可換成幾張一百元的鈔票? (97年四年級)
(4)校外教學時排隊搭乘纜車,班上有17位小朋友,每4人搭1台纜車,
依照順序從1號纜車開始搭乘,最後一位小朋友會搭上幾號纜車?
(98年四、五年級)
(5)花蓮國小辦理校外教學活動,共有 1235 人參加,已知一輛遊覽
車最多可載 45 人,則最少要租幾輛遊覽車才夠?(98年五年級)
肆、植樹問題的解題教學策略
※解題策略:先簡化問題,再用圖示表示,以便了解
兩端都種、兩端都不種、一端種與一端不種
棵數與間隔數的關係。
※全長、間隔數與距離的算法:
1. 全長÷距離=間隔數
舉實例並以圖示輔助,
2. 全長÷間隔數=距離
讓孩子確實理解公式,
非要求孩子死背公式。
3. 距離×間隔數=全長
肆、植樹問題的解題教學策略
※樹木的總棵數與間隔數的關係
1.兩端都種:樹木的棵數=間隔數+1。
「例」一條路長4250公尺,在一旁每50公尺種一棵樹,兩端都種,共種幾棵?
※教學策略:
1.分析題意,了解已知條件及未知條件:
已知條件:(1)4250公尺是道路的全長。
(2)50公尺是兩棵樹之間的距離。
(3)知道只在一旁種樹,兩端都種。
未知條件:一共種幾棵數。
2.用圖示表示,讓孩子了解兩端都種,樹木的棵數與間隔數的關係。
1
2
3
4
3.進行解題
1
2
3
肆、植樹問題的解題教學策略
※樹木的總棵數與間隔數的關係
2.一端種,一端不種:樹木的棵數=間隔數。
「例」一條路長4250公尺,在一旁每50公尺種一棵樹,一端種,一端不種,
共種幾棵?
※教學策略:
1.分析題意,了解已知條件及未知條件:
已知條件:(1)4250公尺是道路的全長。
(2)50公尺是兩棵樹之間的距離。
(3)知道只在一旁種樹,一端種,一端不種。
未知條件:一共種幾棵數。
2.用圖示表示,讓孩子了解,一端種,一端不種,樹木的棵數與間隔數的關係。
1
2
3
3.進行解題
1
2
3
肆、植樹問題的解題教學策略
※樹木的總棵數與間隔數的關係
3.兩端都不種:樹木的棵數=間隔數-1。
「例」一條路長4250公尺,在兩旁每50公尺種一棵樹,兩端都不種,共種幾棵?
※教學策略:
1.分析題意,了解已知條件及未知條件:
已知條件:(1)4250公尺是道路的全長。
(2)50公尺是兩棵樹之間的距離。
(3)知道在兩旁種樹,兩端都不種。
未知條件:一共種幾棵數。
2.用圖示表示,讓孩子了解,一端種,一端不種,樹木的棵數與間隔數的關係。
1
2
3.進行解題
1
2
3
※先算出一旁的棵數
再乘以2
1
2
3
1
2
肆、植樹問題的解題教學策略
※樹木的總棵數與間隔數的關係
4.封閉的區域(如圓形或正方形):樹木的棵數=間隔數。
2
1
8
3
1
2
8
3
7
4
7
6
6
5
1
1
4
4
5
2
4
2
3
3
※如果正方形或長方形的4個角都不種
那麼樹木的棵數=間隔數-4
肆、植樹問題的解題教學策略
花蓮市學生基本能力檢測相關問題
(1)小美幫班上布置布告欄,她想在一條10公尺長的彩繩上,每隔2公尺綁上一
張小卡片,首尾都要有,請問小英需要多少張小卡片? (96年四年級)
(4)路上每支路燈都有編號,而每兩支路燈之間的距離是30公尺,學校門口的路
燈是第144號,魯夫家門口的路燈是77號,從魯夫家到學校距離是幾公尺?
(96年五年級)
(2)用6公尺的彩帶布置教室,彩帶頭尾都要掛鈴鐺,從一端開始每1公尺也掛上
一個鈴鐺,全部共掛了幾個鈴鐺?(97年三、四、五年級)
(5)一排房子有12棟,每2棟房子中間種一棵樹,這排房子共種多少棵樹?
(98年三年級)
(3)植樹節種樹時,將樹苗種在直線走道的右邊,從走道一端開始每4公尺種一
顆,到另一端剛好種下第8顆樹苗,這條走道有多長? (98年四年級)
伍、平均問題的解題教學策略
1.平均數的意義:
※把幾個同類量取多補少,使其一樣多,叫做「平均」。
「例1」小英有100元,小凱有200元,小凱給小英幾元後,
兩個人的錢就會一樣多?
「例2」110、111、112、113、114五數的平均數是多少?
(連續數的平均數可以指導孩子用心算的方法)
2.平均數的算法:
(1)總和÷個數=平均數。
(2)總和÷平均數=個數。
(3)平均數×個數=總和。
每個公式都要舉例說明,
讓孩子確實理解,不要死背
伍、平均問題的解題教學策略
花蓮市學生基本能力檢測相關問題
(1)小華有36張色紙,比小英多14張,小華給小英多少張後,
兩人的色紙張數會一樣多?(96年三、四、五年級)
(2)小羅和4位同學到遊樂園玩,全部門票共要800元,小羅自己又花
了60元買飲料,小羅共花了多少元? (97年四、五年級)
(3)超商集點活動,弟弟集了14 點,姊姊集的點數比弟弟多8 點,
姊姊要給弟弟幾點後,兩人的點數才會一樣多?(98年四、五年級)
(4)飲料一瓶平分給5位小朋友,每位小朋友分到公升,請問這瓶飲料
原有多少公升? (97年五年級)
陸、速率問題的解題教學策略
1.速率的意義:
單位時間(一秒、一分、一小時)內所移動的
距離,叫做「速率」。
2.速率的基本公式:
距離÷時間=速率
距離÷速率=時間
速率×時間=距離
陸、速率問題的解題教學策略
花蓮市學生基本能力檢測相關問題
(1) 800公尺賽跑,胖虎跑了5分9秒,大雄跑了479秒, 小夫跑了4分79秒,
請問誰跑得最快? (97年五年級)
(2)小明走路的秒速是0.8公尺/秒,也就是說他的分速是多少?(97年六年級)
(3)爸爸騎摩托車的時速是60公里/時,他騎車載小明去部落中的學校上學一
趟花了3分鐘,從小明家到學校是多少公里?(97年六年級)
(4)分速1.8公里的火車,行駛36分鐘,共可以行駛多少公里? (98年六年級)
(5)分速0.98公里的車,速度跟下面哪一個速度是一樣快的?(98年六年級)
980公尺/分 980公尺/時 58.8公里/秒 0.01633公里/時
(6)時速100公里的自強號火車,從花蓮站出發要到達距離20公里的新
城站,需要多少分鐘?(98年六年級)
柒、相遇與追趕問題的解題教學策略
一、兩人同時相向而行,相遇的問題
※解題策略:實作(請學生實際演出)或用圖示表徵
※距離÷(兩人速率的和)=相遇所需的時間。
「例」小芬和小伶相距2520公尺,小芬的分速是75
公尺,小伶的分速是65公尺,兩人同時相向
而行,幾分鐘以後會相會?
柒、相遇與追趕問題的解題教學策略
二、兩人同時相背而行的問題
※兩人速率的和×時間=兩人的距離。
※距離÷(兩人速率的和)=相遇所需的時間。
「例1」小凱和小傑兩人同時從甲地朝相反方向行走,
小凱的分速是65公尺,小傑的分速是55公尺,
1小時後,兩人相距多少公尺?
「例2」純蕙的秒速1.2公尺,思涵的秒速1.8公尺,兩人
沿著一個周長360公尺的圓形池塘,同時同地朝
著相反方向出發,幾分鐘後,兩人會相遇?
柒、相遇與追趕問題的解題教學策略
三、追趕問題
※解題策略:實作(請學生實際演出)或用圖示表徵或列表
※距離÷(兩人速率的差)=追到所需的時間。
「例1」小明和小威兩人從學校出發,小明走路的分速是80公尺,
小威走路的分速是60公尺,小威出發3分鐘後,小明才出發。
(1)小明需要幾分鐘後,才能追上小威?
(2)當小明追上小威時,小威已經走了多少分鐘?
(3)小明需要走幾公尺後,才能追上小威?
「例2」小婷每個月存120元,小惠每個月存80元,小惠先存了半年後,
小婷才開始存,小婷存了幾個月後,兩人的存款就會一樣多?
「例3」機車和火車相距24公里,若機車在前面以時速60公里前進,火車
以時速80公里在後面追趕,在幾小時後可以追上?(98年六年級)
捌、四則運算的教學策略
※四則混合計算的規則(利用逐次減項法)
1.由左而右計算:
一個算式裡,如果只有加減或只有乘除,就由左而右,依照順序計算
「例1」15-7+3-6
「例2」120÷5×6×2
2.先乘除,後加減:
一個算式裡,如果有加減,也有乘除,要先算乘除,最後再算加減。
「例1」13+8×4-18÷9
「例2」100-56÷4×7
3.有括號,由括號先算:
(1)在四則混合計算的算式裡,如果有括號,就要先算出括號裡的數。
(2)括號裡的數如果有加減,也有乘除,則要先算乘除,最後再算加減
「例1」15-(4+6)× 9
「例2」200÷(400÷5-20)×5
捌、四則運算的教學策略
※指導學生利用加減互逆、乘除互逆的性質來解
未知數及做驗算。
1.加法: □+5=16
65+□=100
2.乘法: □×8=48
12×□=6
3.減法: □-28=100
60-□=24
4.除法: □÷15=300
8÷□=2
捌、四則運算的教學策略
※孩子常見的迷思概念或錯誤之處
1.只有出現加減符號,會「先加再減」。
「例」80-20+5=80-25=55
2.只有出現乘除符號,會「先乘再除」。
「例」40÷5×2=40÷10=4
3.答案正確,而計算過程不對。
「例」100-6×5+8=100-30=70+8=78
4.其他的錯誤類型
「例」16+4×(10÷5-2) =16+4×0=20×0=0
捌、四則運算的教學策略
※善用交換律做簡化計算
※交換律:指一個式子中,各數字的計算順序任意變
動,其計算結果都是一樣的。
ㄅ+ㄆ+ㄇ=ㄅ+ㄇ+ㄆ
=ㄆ+ㄇ+ㄅ
ㄅ×ㄆ×ㄇ=ㄅ×ㄇ×ㄆ
=ㄆ×ㄇ×ㄅ
※「交換律」只適用於連加法或連乘法的算式。
「例」25+89+75
=25+75+89
=100+89
=189
「例」125×79×8
=125×8×78
=1000×78
=78000
捌、四則運算的教學策略
※善用結合律做簡化計算
※結合律:指一個算式中,不論先算哪兩項,
其計算結果都是一樣的。
ㄅ+ㄆ+ㄇ=〈ㄅ+ㄆ〉+ㄇ=ㄅ+〈ㄆ+ㄇ〉
ㄅ×ㄆ×ㄇ=〈ㄅ×ㄆ〉×ㄇ=ㄅ×〈ㄆ×ㄇ〉
※「結合律」只適用於連加法或連乘法的算式。
「例」879+64+36
「例」899×25×4
=879+〈64+36〉
=899×〈25×4〉
=879+100
=899×100
=979
=89900
捌、四則運算的教學策略
※善用分配律做簡化計算
※分配律:「乘法對加(減)法的分配律」是指乘法
可以分配到以加(減)法隔開的兩項上,
也就是先乘再加(減)與先加(減)再乘
的結果是一樣的。
★「分配律」只適用於乘法對加法或乘法對減法的算式。
「例1」56×37+44×37
=(56+44)×37
=100×37
=3700
「例2」 25×(10-4)
=25×10-25×4
=250-100
=150
※做四則計算時,若能善用交換律、結合律或分配律,
可以簡化計算,不但可以節省計算時間,
更能降低計算的錯誤率。
捌、四則運算的教學策略
※連減法的簡便算法
1.連減法:被減數不可以換位置。
(1)可以先把減數相加後,再用被減數去減。
「例」875-49-125-151
=875-(49+125+151)
=875-325
=550
(2)可以把減數任意對調。
「例」875-49-125-151
=875-125-151-49
=750-151-49
=550
捌、四則運算的教學策略
※連除法的簡便算法
2.連除法:被除數不可以換位置。
(1)可以先把除數相乘後,再用被除數去除。
「例」39000÷125÷8
=39000÷(125×8)
=39000÷1000
=39
(2)可以把除數任意對調。
「例」4500÷25÷45÷10
=45000÷45÷10÷25
=1000÷10÷25
=100÷25
=4
捌、四則運算的教學策略
※只有加減或只有乘除的簡便算法
3.只有加減:第一個數不更動位置,先加後減或先減後
加,其結果是一樣的。
「例」163+87-63
=163-63+87
=100+87
=187
「例」163+87-63
=163+(87-63)
=163+24
=187
4.只有乘除:第一個數不更動位置,先乘後除或先除
後乘,其結果是一樣的。
「例」24×48÷6
=24÷6×48
=4×48
=192
「例」24×48÷6
=24×(48÷6)
=24×8
=192
玖、結語
一、應用題的解題教學策略:
1.確實要求孩子讀題。
2.與孩子分析題意、讓孩子確實理解題意。
3.讓孩子掌握已知條件(知道題目上每個數字所代表的意義)
4.讓孩子知道題目要求的答案是什麼。
5.敎孩子冷靜思考,擬定解題策略。
6.算出答案後,敎孩子能思考答案的合理性。
二、建議老師們能透過圖示、列表或實作的方式,讓孩子
真正理解公式的緣由,不要只要求孩子死背公式。
三、鼓勵孩子能嘗試各種不同的解題策略。
恭請賜教
祝大家教學愉快

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