Stochasticke_ modelovanie_P1

Report
Prednáška 1
STOCHASTICKÉ MODELY A SIMULÁCIE
1. STOCHASTICKÉ MODELOVANIE
Ekonomicko – matematické modely:
 deterministické
 stochastické


vlastné stochastické modely
indeterministické modely
Stochastické modelovanie
STOCHASTICKÉ MODELY
Modely založené na Markovových procesoch
 Modely hromadnej obsluhy
 Modely zásob
 Modely obnovy

metóda „Monte Carlo“
STOCHASTICKÝ PROCES
X(t, )
t T   
t - najčastejšie čas,
T - reálna časová množina
 - element náhodného javu
 - pravdepodobnostný priestor
xj (t) j = 1, 2, ...n
t = t0 (t0 = 9) X (t0, ), j = 1, 2, ...n.
E1, E2,....Em
 Markovova vlastnosť:

 
P X n  E j / X n1  Ei , X1  Er  P X n  E j / X n1  Ei

2. MODELOVANIE STOCHASTICKÝCH DYNAMICKÝCH
SYSTÉMOV MARKOVOVÝMI REŤAZCAMI
Markovov reťazec


konečný Markovov reťazec
nekonečný Markovov reťazec
krok, resp. fáza procesu
PRÍKLAD 1
Podnik uvádza na trh nový produkt a sonduje jeho úspešnosť, ktorý z hľadiska odbytu
možno charakterizovať nasledovným spôsobom:
 produkt sa považuje za úspešný, ak sa v určenom čase predá viac ako 70% výroby,
 produkt sa považuje za neúspešný, ak sa v určenom čase predá menej ako 70%
výroby.
Na začiatku v priebehu prvého mesiaca sa zistila 75% úspešnosť produktu.
 ak bol produkt v prvom mesiaci úspešný, s pravdepodobnosťou 0,5 zostal úspešným
aj v nasledujúcom mesiaci.
 ak nebol úspešný, s pravdepodobnosťou 0,2 sa stane v nasledujúcom mesiaci
úspešným.
Podnik spustil reklamnú kampaň:
 v prípade úspešnosti produktu v prvom mesiaci sa zvýšila jeho úspešnosť na 80%
 ak bol predaj na začiatku neúspešný, jeho úspešnosť sa využitím reklamy zvýšila iba
na 30%.
Predpokladajme, že sú zistené aj “výnosy” odpovedajúce jednotlivým alternatívam
úspešnosti produktu.
Úlohou je skúmať vývoj úspešnosti produktu po mesiacoch a stanoviť pre podnik
optimálnu politiku súvisiacu s etablovaním sa produktu na trhu.
E1 - produkt sa považuje za úspešný,
 E2 - produkt sa považuje za neúspešný

1. pravdepodobnosť stavu, resp. absolútna
pravdepodobnosť:
p kj  P ( E kj ).
k
p  (p1k , p k2 ,p km ),
k=0
0
p  (p10 , p 02 ,p 0m ),
m

j1
p kj  1.
m

j1
p 0j  1.
2. pravdepodobnosť prechodu
Markovov reťazec - homogénny, ak pre každé i, j, k platí:
p ijk  p ij
Matica podmienených pravdepodobností prechodu:
 p11

 p 21
P 


p
 m1
p12

p 22



p m2

p ijk 
m

r 1
p1m 

p 2m 
 

p mm 
p irk 1 .p rj
m
0  p ij  1
P
Markovov reťazec - nehomogénny
(k )
p
j 1
ij
P
 1; i  1, 2,  m
k
 pk
 11
 pk
(k)
P   21

pk
 m1
k
p12

p k22



p km 2

p1km 

k
p 2m 

 
p kmm 
SKÚMANIE OČAKÁVANÉHO VÝVOJA SYSTÉMU
POMOCOU MARKOVOVÝCH REŤAZCOV
Stavy :
 tranzientné (prechodné)
 rekurentné (návratné)
- periodické (s pravidelným návratom)
- aperiodické (s nepravidelným návratom),
 absorbčné (nenávratné)
Ergodické markovove reťazce.
 Absorbčné markovove reťazce.

ERGODICKÉ MARKOVOVÉ REŤAZCE
Určenie vektora absolútnych pravdepodobností po k-krokoch:
A. homogénny reťazec:

vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku:

vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku:

vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku:
B. nehomogénny reťazec:
1  0
p  p .P
 2 1
0 2
p  p .P  p .P
 k  k 1
0 k
p  p .P  p .P

vektor absolútnych pravdepodobností po 1-kroku:

vektor absolútnych pravdepodobností po 2-kroku:
 1  0 (1)
p  p .P
 2  0 (1) ( 2)
p  p .P .P

vektor absolútnych pravdepodobností po k-kroku:


p k  p 0 .P (1) .P ( 2) .  .P ( k )
Asymptotické správanie sa ergodických reťazcov
lim p ( n )  p  , j  1, 2,  m,
ij
j
n 
 n 1
lim p 
n 
 
p  p .P
n 
lim p  p
n 
m

i 1

pi
 1.
MARKOVOVE REŤAZCE S VÝNOSOM (OCENENÍM)

očakávaný celkový výnos procesu po k krokoch, ktorý vznikol zo
stavu Ei
m
v i( k ) 


j1

stredná hodnota bezprostredného výnosu odpovedajúca stavu Ei
qi 


p ij rij  v (jk 1) , i  1, 2,  m.
m
p r
j1
ij ij
, i  1, 2,  m
vektor stredných hodnôt bezprostredných výnosov
v i( k )  q i 
m

j1
p ij v (jk 1) , i  1, 2,  m
 (k ) 
 ( k 1)
v  q  P.v
MARKOVOVE REŤAZCE S ALTERNATÍVAMI
riadené Markovove reťazce,
príp. Markovove rozhodovacie procesy
HOWARD v roku 1960
„metóda iterácie podľa hodnoty“
Ei - stavy systému
i = 1, 2, ...m
 h - index alternatív
 pijh - pravdepodobnosť prechodu medzi stavmi
Ei a Ej pri h-ej alternatíve
 rijh - ocenenie (výnos) prislúchajúce
 k - index kroku.

POSTUP
1. krok:
celkové očakávané výnosy na optimálnej ceste
stredná hodnota výnosu stavu Ei pri h-ej alternatíve
POSTUP
2 krok:
určíme vektor odpovedajúcich alternatív
 (k)
d
 dk 
 1 
  
 k 
dm 

similar documents