3.多変数の関数と偏微分

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多変数の関数と偏微分
多変数の関数
• Rnの実関数
n個の実数x1,..., xnが決まると一つの実数が決まる
f(x1,..., xn)
• 経済学の例
りんごの需要がりんごの価格pだけでなく、みかん
の価格qと所得Yに依存する・・ D(p,q,Y)
財がたくさんあって、各価格がp1,..., pn,所得がYのと
き、各財の需要はD1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn (p1,...,
pn,Y )
RnからRmへの関数(写像)
• Rnの実関数をm個並べる
nの実数x1,..., xnが決まるとm個の実数が決まる
f1 (x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)
2変数の関数の図示
• 2変数のときは、等高線や等圧線を描くこと
ができる。
一般的にはレベル曲線
経済学では無差別曲線
f  x , y   xy  x
のレ ベル曲線
レベル集合
2 次 元 で は  x , y  : f
 x, y   a
無差別曲線の上の部分
一般的には
  x , ..., x  : f  x , ..., x   a 
  x : f  x   a
1
n
1
n
準凹関数
• レベル集合が凸集合
Aが 凸 集 合
x , y  A ,    0,1    x  1    y  A
凸集合
凸集合でない
多変量の関数の例
• 線形関数
f
 x1 , ..., x n   a1 x1  ...  a n x n
• アフィン関数(一次関数)
f
 x1 , ..., x n   a1 x1  ...  a n x n  b
• 線形代数で扱う
Cobb Douglas関数
f
 x1 , ..., x n  
1
A x1 ..., x n
n
, A ,  1 , ...,  n  0
対数を取る
ln f
 x1 , ..., x n   ln
A   1 ln x1  ...   n ln x n
対数が線形
Cobb Douglas生産関数
F  K , L   AK L


K :資本、 L :資本
単位の取り方でA=1に標準化できる
F K,L  K L

1
    1
F 2K , 2L   2K

2 2
1 

1 
K L

 2L 
1 
 2F  K , L 
資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2倍
一次同次関数と0次同次関数
f  a x1 , ..., a x n   a f
 x1 , ..., x n  , a
0
一次同次関数
f  a x1 , ..., a x n   a f  x1 , ..., x n  , a  0
k
k次同次関数
f  ax1 , ..., ax n   f
 x1 , ..., x n  , a
0
0次同次関数
一次同次の生産関数
• F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)
• 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分
の1にでもできる
• 規模に対して、収穫一定(constant return to
scale)
需要関数の0次同次性
D1  p1 , ..., p n , Y  , ..., D n  p1 , ..., p n , Y 
各財の 需要関数
• すべての財の価格と所得が2倍になっても経
済状態は変わらない→各財の需要は変化し
ない
D i  ap1 ,..., ap n , aY

D i  p1 ,..., p n , Y

効用関数の序数性
• 序数的・・・どちらがいいかのみ意味がある
• 基数的・・・大きさ自体に意味がある。
序数的なら
f
ln  f
 x1 , ..., x n  , f  y1 , ..., y n  の比較と
 x1 , ..., x n   , ln  f  y1 , ..., y n   の比較は同等
より一般的に

 f  x , ..., x   ,   f  y , ..., y   :  は 厳 密 に 増 加 的
1
n
1
n
の比較は同等
Cobb-Douglas 効用関数と対数
線形効用関数の同値性

ln  f  x1 ,..., x n    ln A x1 1 ..., x n

n
 ln  A   ln  x1
1

  ....  ln  x 
n
n
 ln  A    1 ln  x1   ....   n ln  x n 
対数線形のほうが使いやすい
レベル集合の不変性
gが 厳 密 に 増 加 的

  x , ..., x
1

n

  x , ..., x
1
f
n
 x1 , ..., x n  
A

 g  f  x1 , ..., x n    g  A 
レベル曲線・無差別曲線も変化しない
CES関数
F  K , L    K

 1    L


1

Cobb Douglasの一般化
1次同次


F  aK , aL     aK

  a K



  K
 a

 a


1

 1  
 1    a L

 1    L
 K



1

1

 1    L


1
 a  K

  aL 





1

 1    L


1

F  K , L    K

 1    L

  1    K  1    L
1
1

1
1

1

  K  1    L
線形
  0   K

 1    L


1


1
 K L
コッブ・ダグラス
ロピタル・ルールを用いる
ロピタル・ルール
lim x  a f  x   lim x  a g  x   0, g '  a   0

lim x  a
f x
g x

f ' a 
g ' a 
Y   K

 1    L

1


 対数を 取る
ln  Y  
ln   K

 1    L



 分 母 と 分 子 を  で 微 分 し 、0 を 入 れ る
d
d
ln   K

 1    L


 0


1
  K

 ln K

ln K   1    L ln L 

1 
 ln L

1 
 ln K L
 0
d
d
K
K


 1  

d

L
d

 1    L   0
   ln K   1    ln L 
 0
f x  a の 微分
x
補足
d
d
K

 K

 対 数 を 取 る
ln K
ln f  x   ln a  x ln a
x
 微 分
f ' x 
f x
 ln a

f '  x   f  x  ln a  a ln a
x
レオンチェフ形
 K

 1    L

L K 
L

1
     m in  K , L 

   1,  K  L
K

 K

 K    1    


 1    L
 K    1    
1

s
同 様 に L  K   K


 K
1



 1  
  K 



1
s
 s  K
 1    L


1

    L
1

各型のレベル曲線(等量曲線)
-∞< σ <1
σ=-∞
σ=1
CESは、Constant Elasticity of Substitutionで、代替の弾力性が一定の意味
偏微分(Partial derivative)
• 多変数の関数で、他の変数を定数として、一
つの変数のみについて、微分する
• dのかわりに∂を 使う
 f  x1 , ..., x n 
 xi
 lim   0
f  x1 , ..., x i 1 , x i   , x i  1 , ...., x n   f  x1 , ..., x i 1 , x i , x i  1 , ...., x n 

 f  x1 , ..., x n 
 xi
 lim   0
f  x1 , ..., x i 1 , x i   , x i  1 , ...., x n   f  x1 , ..., x i 1 , x i , x i  1 , ...., x n 

• 極限は上から取っても下から取っても一致
• そうでないときは、偏微分できない(偏微分不
可能である )
 f  x1 , ..., x n 
 xi
f i  x1 , ..., x n 
関数としては偏導関数
一次近似
• 一方向
 x , .., x , x , x , ., x   f  x , .., x
 f  x , ..., x 
¥
x x 

x
f
i 1
1
1
i
i 1
n
i
i
1
n
i

 f x 1 , ..., x n
 xi

:
 f  x1 , ..., x n 
 xi
を
 x1 , ..., x n    x 1 , ..., x n  で 評 価
i 1
, x i , x i  1 , ., x n

一次近似
• すべての方向
f  x1 , ..., x n   f  x 1 , ..., x n 
¥
f
 x , ..., x 
1
 x1
n
x
1

 x 1  .... 
f
 x , ..., x 
1
n
xn
x
n
• 略して全微分表現
df  x1 , ..., x n  

 f x 1 , ..., x n
 x1
df  f 1 dx1  ....  f n dx n

dx1  .... 

 f x 1 , ..., x n
xn

dx n
 xn

一次近似が成立しない例
x

f  x, y    y
0

 0, 0  で 評 価 す る
y0
x0
x  0, y  0
と f x  x, y   f y  x, y   1
x  yは 両 軸 以 外 で は 、 f  x , y   0
の いい近似で はな い
全微分(可能)
• すべての方向でいい近似

   0,    0,
x1  x 1

2

 ...  x n  x n

2


f
 x1 , ..., x n  

f x 1 , ..., x n


  f x 1 , ..., x n


 x1

x
1


x
1

 x 1  ...  x n  x n
ま え の 例 で は 、x  y  0, x  y  と す る と
0  0   x  y
x  y
2
2


 x 1  .... 


 f x 1 , ..., x n

xn
x
n
 xn





2
x  x   y  y
2
2
2は 、  が 小 さ く な っ て も 小 さ く な ら な い

2 な ら

比較静学
• 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決
まっているとき、その未知数以外の方程式の
変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がど
んなふうにちょっと変化するかを考える問題
• 全微分(一次近似)して、連立方程式を解く
•
例 生産関数
F K,L
生産関数
K
資本の投入
L
労働の投入
限界生産物
F  K , L 
資本の限界生産物
K
F  K , L 
労働の限界生産物
L
一単位投入を増やしたとき産出がどれ
だけ増えるか
FK  K , L  , FL  K , L 
FK , FL
独立変数を省略
生産関数の全微分
Y  F K,L
資本の限界生産物
両辺を全微分
dY  FK dK  FL dL
変化率と弾力性による表現
dY  FK dK  FL dL
両辺をY=Fで割る
dY
Y

K F K dK

L F L dL
F
K
F
dY dK dL
,
,
Y
K
L
L
変化率
時間についての変化率と似て
いるが違う
変化率と弾力性による表現(2)
dY
Y

K F K dK
F
K

L F L dL
F
L
F
K FK
F
 F
K
K
変化率を変化率で割ったもの
弾力性・・
生産の資本に対する弾力性
変化率と弾力性による表現(3)
dY
Y

K F K dK
F

K
K FK
F
L F L dL
F
L
 K ,
L FL
F
 K
dY
dK
dL
ˆ
Y,
 K,
 L
Y
K
L
Rochester ハット
Yˆ   K Kˆ   L Lˆ
慣れれば本能的に瞬時に出る
Cobb-Douglousのケース

1 
Y  K L
 x
Y
K

K
'   x
 1 1 
L
 1
Y
L
 1    K L

dY  F K dK  F L dL
K
 1 1 
L
dK   1    K L dL
Yˆ   Kˆ  1    Lˆ



,
偏微分の積の公式
• 以下では、微分可能性などは仮定
  f  x , y  g  x , y 
x

f  x, y 
x
g  x, y  
g  x, y 
x
f  x, y 
 f x  x, y  g  x, y   g x  x, y  f  x, y 
2変数
  f  x1 , ..., x n  g  x1 , ..., x n 
 xi

 f  x1 , ..., x n 
 xi
g  x1 , ..., x n  
 g  x1 , ..., x n 
 xi
f  x1 , ..., x n 
 f i  x1 , ..., x n  g  x1 , ..., x n   g i  x1 , ..., x n  f  x1 , ..., x n 
多変数
合成関数微分の公式
(チェイン・ルール)
• パスを全部通す
• dと∂のどちらを使うかは、文脈による
チェイン・ルールの例1
f
 x , y  で xの 値 が t , uに 依 存 し g  t , u と
f
 g t, u  , y 
t

f
 g  t , u  , y  g  t , u 
x
 fx  g t, u  , y 
t
g  t, u 
t
 fx  g t, u  , y  gt t, u 
 f1  g  t , u  , y  g 1  t , u 
 f1  x , y  g 1  t , u 
 f1 g 1
なる
チェイン・ルールの例2
f
 x , y  で xの 値 が t , uに 依 存 し g  t , u と
f
 g t, u  , y 
u

f
 g  t , u  , y  g  t , u 
x
 fx  g t, u  , y 
u
g  t , u 
u
 fx  g t, u  , y  gu t, u 
 f x  x, y  g u t, u 
 f1 g 2
なる
パスを全部通す例
f  x , y  で xの 値 が t , uに 依 存 し g  t , u 
yの 値 が t , uに 依 存 し h  t , u と な る
f  g  t , u  , h  t , u  
t

f  g  t , u  , h  t , u   g  t , u 
x
 fx  g t, u  , h t, u 
t
g  t , u 
t

f  g  t , u  , h  t , u   h  t , u 
y
 f y  g t, u  , h t, u 
t
h  t , u 
t
 f x  g  t , u  , h  t , u   g t  t , u   f y  g  t , u  , h  t , u   ht  t , u 
 f 1  g  t , u  , h  t , u   g 1  t , u   f 2  g  t , u  , h  t , u   h1  t , u 
 f 1  x , y  g 1  t , u   f 2  x , y  h1  t , u 
 f 1 g 1  f 2 h1
上の例の導出
f  g  t , u 0  , h  t , u 0    f  g  t0 , u 0  , h  t0 , u 0  
 f  g  t , u 0  , h  t , u 0    f  g  t0 , u 0  , h  t , u 0  
 f  g  t0 , u 0  , h  t , u 0    f  g  t0 , u 0  , h  t0 , u 0  


f  g  t , u 0  , h  t , u 0    f  g  t0 , u 0  , h  t , u 0  
g  t , u 0   g  t0 , u 0 
g t, u   g t
0
f  g  t0 , u 0  , h  t , u 0    f  g  t0 , u 0  , h  t0 , u 0  
h  t , u 0   h  t0 , u 0 
0
h  t, u   h  t
0
, u 0 
0
, u 0 
 t  t 0で 割 り t  t 0
f
 g t, u  , h t, u 
t

f
 g  t , u  , h t , u   g  t , u 
x
t

f
 g t , u  , h t , u   h  t , u 
x
t
f  x , y  で xの 値 が tの み に 依 存 し g  t 
yの 値 も tの み に 依 存 し h  t  の と き
df  g  t  , h  t  

f  g  t  , h  t  
dt
x
g ' t  
f  g  t  , h  t  
y
h ' t 
 f1 g ' f 2 h '
tが 時 間 の と き
f  f1 g  f 2 h
微分方程式で よ く 使う
例2Cobb Douglas 生産関数の時間微分

1 
Y K L
Cobb Douglas生産関数
KとLで微分
Y
K
K
 1 1  
Y
L
L
 1    K L

KとLともに時間の関数だとする

Y t   K t  L t 
1 
tで微分
Y
Y
Y 't  
K 't  
L 't 
K
L
K
 1 1  
L
K '  t   1    K L


L 't 

Y 't  
Y
K
K
Y K
K 't  
 1
 1 1  
L
1 
L
Y
L 't 
L
K '  t   1    K L

K  1    K L


Y

1 
L
両辺を Y  K L で 割る
 
 1 1  
 K L K 1    K L L

Y
Y


K
Y
 1 1  
L

K
1 
1    K L


K L

K
K
 1  

1 
K L

L
L

L

L 't 
Y
Y

K
K
Y
 1  

L
L
K L
, . 生産、 資本、 労働の 成長率
Y K L

1 
Y K L
両辺の対数を取る
ln Y  ln  K L

1 

ln  xy   ln x  ln y , ln  x
ln  Y


dt
dt

d ln Y dY
dY
   ln x
ln  K    1    ln  L 
d ln Y
d ln Y

dt

1
Y
d ln Y dY
dY
dt
Y
K
Y 
Y

K
,
d ln x

dt
 1  
数IIIを少しやっていると見た瞬間にわかる
1
x

L
L
,
一般の生産関数
dY

K F K dK

Y
F
K
Yˆ   K Kˆ   L Lˆ
L F L dL
F
L
とパラレルに
Y
Y
 K
K
K
L
L
L
例3 オイラーの法則
f  ax1 , ..., ax n   a f
k
 x1 , ..., x n 
f
 x1 , ..., x n  が k 次 同 次
x iで 微 分
af i  ax1 , ..., ax n   a f i  x1 , ..., x n 
k
f i  ax1 , ..., ax n   a
k 1
f i  x1 , ..., x n 
偏 導 関 数 は k  1次 同 次
f  ax1 , ..., ax n   a f
k
 x1 , ..., x n 
aで 微 分

n
i 1
x i f i  ax1 , ..., ax n   ka
k 1
f
 x1 , ..., x n 
a  1で 評 価

n
i 1
x i f i  x1 , ..., x n   kf  x1 , ..., x n 
オイラー法則

n
i 1
x i f i  x1 , ..., x n   kf  x1 , ..., x n 
一次同次
0次同次

n
i 1
x i f i  x1 , ..., x n   f  x1 , ..., x n 

n
i 1
x i f i  x1 , ..., x n   0
例 一次同次生産関数

n
i 1
x i f i  x1 , ..., x n   f  x1 , ..., x n 
F K,L 
F  K , L 
K
K 
F  K , L 
L
L
F  K , L  F  K , L 
,
資本と 労働の 限界生産物
K
L
これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃
金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総
賃金で払いつくされ、超過利潤はない

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