光情報処理 徳山高専 情報電子工学科 原田徳彦 光情報処理の応用

Report
光情報処理
徳山高専
情報電子工学科
原田徳彦
光情報処理の応用
CGHを用いた光ファイバ多モード励振実験
数学的な準備
•
•
•
•
•
複素数
フーリエ変換
標本化定理
線形・時間不変のシステム
2次元フーリエ変換
オイラーの公式
e ix  cos x  i sin x
複素数は、実数の演算を継承しつつ、自乗すれば-1となる特別な文字式 i を導入しました。
その結果、オイラーの公式をはじめとする様々な複素数の性質が発見されています。
問題
Im
p
r
θ
0
Re
複素平面上の点pに対応する複素数を示せ。
Im
p
r sinθ
r
θ
0
点pの座標は
(r cosθ, r sinθ)
r cosθ
Re
複素数は
オイラーの公式より
r cosθ + i r sinθ = r(cosθ+ i sinθ ) = r exp(iθ)
問題
(a) i
(b) i
i
Im
0
Re
2
(c) i 
複素数に対応する複素平面上の点を示せ。
フーリエ変換
G( f ) 



g(x)e
i2 fx
dx

g( x)   G( f )e



e




i 2f1x i 2f 2 x
e
g ( x )e
i 2fx
i 2fx
df
(逆フーリエ変換)
dx   ( f1  f 2 )
(直交性)

j 2x
i 2fx


dx    G ( )e
d e
dx

 
 


i 2 x i 2fx

  G ( )  e e
dx d
 




  G ( ) (  f )d

 G( f )
(フーリエ変換)
2次元フーリエ変換
 
G( f x , f y ) 

g
(
x
,
y
)
e


i 2 ( f x x  f y y )
dxdy
物理的な準備
•
•
•
•
•
マクスウェル方程式
波動方程式
ヘルムホルツ方程式
平面波
球面波
マクスウェル方程式(1)
H y H x
E z

 Jz  
x
y
t
H z H y
E x

 Jx  
y
z
t
E y
H x H z

 Jy  
z
x
t
マクスウェル方程式(2)
E y E x
H z

 
x
y
t
E z E y
H x

 
y
z
t
H y
E x E z

 
z
x
t
波動方程式
u u u 1u



2
2
2
2
x y z
c t
2
2
2
u は Ex など E または H の一方向成分
2

光のゆらぎの数式表現
u(x, y,z,t)  A(x, y,z)cos[2t   (x, y,z)]
u(x,y,z,t)  Reu(x,y,z)e
i2t

ヘルムホルツ方程式
u u u
2



k
u
2
2
2
x y z
2
2
2
波数-波長-周波数-光速
k  2


c

2

平面波
u  Ae
ik r
u  Ae
 Ae
ik r
i ( k x xk y y kz z )
 u  u  u
2




k
u
2
2
2
x
y
z
2
2
2
球面波
ikr
e
uA
r
フーリエ変換の物理的解釈
 
U( f x , f y ) 

A
e

  

k
 i 2   f x  x

2

ky
 
 x  f y 
2
 
ky

kx
 A  f x 
, fy 
2
2

 
 y 

 
dxdy



平面波を z = 0 の面でフーリエ変換するとδ関数となります。
これは、フーリエ変換の基底関数が平面波そのものであることを意味しています。
z軸方向への伝搬式
u ( x, y , z )  



U  f x , f y e
 
i 2z
e

 2
1 f x 2  f y
0
dfx df y

i 2 f x x  f y y

ホイヘンス-フレネル回折式
1
u(x1, y1,z1) 
i



ikr01
z1e
ux 0, y0,0 r 2 dx0dy0
01

フレネル近似
ikz1
e
u(x1, y1,z1) 
iz1
e
  ux , y ,0





0
k
i
(x1 x 0 )2 (y1 y 0 )2
2z1
0

dx0 dy0
フランホーファ近似
u(x1, y1,z1 ) 
ikz1
e e
k
i
(x1 2 y1 2 )
2z1
iz1
e
2
i
(x1 x 0 y1 y 0 )
z1
  ux , y ,0




dx0 dy0
0
0
レンズ(位相変換素子)
t(x, y)  e
ik 0 ik(n1)(x,y)
e
近軸近似
tl ( x, y)  e
ikn0
e
k 2 2
i ( x  y )
2f
レンズ後焦点面の分布
0
f
i
u( x f , y f , f ) 
i
e
2
( x f x0  y f y 0 )
f
e
k
(xf 2  y f 2 )
2f
i f
dx0 dy0

 

 
At o x0 , y0 
u0 ( x0 , y0 ,0)  U0  f x , f y 
i
u f (x f , y f , f ) 
H ( fx, f y )  e e
ikf
ikf
e e
e
k
(xf 2  y f 2 )
2f
if
 xf yf 
U0  , 
 f f 
 i f ( f x 2  f y 2 )
 i f ( f x 2  f y 2 )
U f ( f x , f y )  U0  f x , f y 
 xf yf 
1
u f (x f , y f , f ) 
U  f  , 
if
 f f 
レンズ前後焦点面の分布
-f
0
f
1
u( x f , y f , z f ) 
i f
i
e
2
( x f x f  y f y  f )
f

 

 
dx f dy f
u  f x f , y f , f 
合成開口レーダー
s1 (t )  1e
 2r 
i 2f r  t  
 c 
散乱物体に当たって返ってくる信号の式です。σは反射強度や位相シフトを
表しています。
( x  x1 )
r  r1  ( x  x1 )  r1 
2r1
2
2
2
s1 (t )   1 ( x1 , r1 )e
2

4

r
2

(
x

x
)
1
i  2f r t  1 
r
r r1





x  va t
s(t )   s n (t
)   1 ( xn , r1 )e
n
n
2

2

(
v
t

x
)
4

r
a
n
i  2f r t  1 
r
r r1






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