Travail du Moment de force

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TRAVAIL
ÉNERGIE
PUISSANCE
DU SOLIDE AU SYSTEME POLY-ARTICULE
CH IV
P. MORETTO
Travail mécanique d’un solide en déplacement linéaire

Pour des mouvements linéaires, le travail d’une force est
égal au produit scalaire de cette force par le déplacement :

F est la force

d est le déplacement.

 est l’angle entre la force et la direction du déplacement
 
W  F .d
W  F . cos(  ).d
Travail mécanique d’un solide en déplacement linéaire
Soit la force « F », la distance « d » et «  » l’angle entre
la force et la direction du déplacement,
Le travail de la force F correspond au produit de la
composante « efficace » de cette force (F.cos( )) par la
distance « d » parcourue. Il s’exprime en N.m
F

F.cos()
d
Direction du déplacement
 
W  F .d
W  F . cos(  ).d
Caractéristiques du travail d’une force
F

y
0

x

F.cos()
Si F.cos() est dans le sens du
déplacement, le travail de la force F
est positif, il est qualifié de
« Moteur ».
d

y
0
F


x
F.cos()
d
Si F.cos() est dans le sens opposé au
déplacement, le travail de la force F
est négatif , il est dit « Résistant »
Exemples :



Pour un déplacement horizontal L :
Quel est le travail de F ?
 
Celui de P ?
WF  F .L

  0 _ et _ cos( )  1

d ' où _ WF  F . cos( ).L  F .L
  3 / 2 _ et _ cos( )  0

WP  P. cos( ).L  0 _ car _ cos( )  0
Travail : Cas général …..
La force n’est pas constante
La trajectoire n’est pas rectiligne
Le travail est alors la somme de
travaux élémentaires considérés sur
des déplacements plus petits sur
lesquels on fait l’approximation
d’une force constante Fi sur un trajet
rectiligne li
Sur la trajectoire AB, il est alors :
n 

n
 Wi   Fi .li
1
1


si _ lim li  0

 


B 
 Alors _  Fi .li   Fi .dli
A

1
Travail d’un solide en rotation
F.sin()
Rappel : Moment de force

 
M / 0 ( F )  OM  F
F
M F  F . sin( ).OM
F.sin() est la composante de
force « F » efficace à la mise en
rotation de M autour de « 0 ».

0
M
Travail d’un solide en rotation
F.sin() est la composante de
force « F » efficace à la mise en
rotation de M autour de « 0 ».
F.sin()
M’
Arc (MM’) est la distance
parcourue par M et MM’=OM.
(avec  l’angle MoM’)
W  F . sin( ).MM '
W  F . sin( ).OM .


W  F  OM .

W  M / o ( F ).
F


0
M
Travail du Moment de force
Travail d’un solide en rotation
 est l’angle parcouru pendant la rotation

M / o ( F ) : Moment de force

 
M / o (F )  OM  F
M’

0
Travail du Moment de force

W  M / o (F ).
F
M
Caractéristiques du travail d’un Moment de Force
F.sin()
M’
F
+

0
M
Lorsque le travail du Moment de
force est négatif , il est dit
« Résistant »
M’

0

Lorsque le travail du Moment de
force est positif, il est qualifié de
« Moteur ».
M
Travail et Energie
Travail du Poids
Energie Potentielle
Travail d’une Force et d’un Moment de force
Energie Cinétique
Energie Mécanique Totale
Travail du poids et Energie potentielle



Le poids est une force
qui travaille à la
descente de la masse
sur une trajectoire
verticale (donc =0)
L’énergie potentielle
dépend de « l’altitude »
de la masse.
Le travail du poids
explique une variation
d’énergie potentielle.


Soit _ P  m.g _ et _ h _ Déplacem ent _ vertical


WP  P.h  m.g.h  m.g. cos( ).h
WP  m.g.h
WP  m.g.(hinit  h final )  m.g.hinit  m.g.h final
WP  EPot int  EPotfinal  EPot
hinit
h
hfinal

y
0

x
mg
Travail du poids et système poly-articulé
G: Centre de gravité du sujet.
i

mi OGi
 
1
O
G

_ avec __ M   mi

M
d ' où

i



M .OG   mi OGi
1

i

    i
 
M .g .OG  g . mi OGi   mi .g .OGi
1
1

mi, Gi
M, G
mi, Gi
Le travail du poids au centre de gravité (Cg) du
sujet équivaut à la somme du travail du poids sur
chacun des segments.
La variation d’Energie potentielle sera donc
étudiée au Centre de gravité du sujet auquel la
masse totale est rassemblée.
mi, Gi

y
0

x
Travail du poids et Energie potentielle
Le travail du poids explique la variation d’Energie Potentielle
du sujet.


Soit _ P  m.g _ et _ h  (hinit  h final ) _ Déplacem ent _ vertical
WP  m.g.(hinit  h final )  m.g.hinit  m.g.h final
WP  EPot int  EPotfinal  EPot
hinit
M, G
h
Le travail du poids explique la variation d’Energie
Potentielle du sujet.
Le poids est une force « conservative » car il est
possible de récupérer l'énergie dépensée.
Ex : Si le Cg de l’athlète monte, il gagne en énergie
potentielle et il suffit qu’il redescende pour restituer
cette énergie accumulée lors de la montée.
hfinal

y
0

x
Travail et Energie
Travail du Poids
Energie Potentielle
Travail d’une Force et d’un Moment de force
Energie Cinétique
Energie Mécanique Totale
Travail et énergie cinétique
Translation :


y
0

x
m
F
l

Le travail de la force
« F » sur la distance
« l » fait varier
l’énergie cinétique de
translation.
dv
dt
dv dv dl
dv
et _
 .  v.
dt dl dt
dl
F  m.a  m.
2
2
2
dv
dv
W   F .dl   m. .dl   m.v .dl
dt
dl
1
1
1
2
W   m.v.dv
1
1
1
W  .m.V2 ² Finale  .m.V1 ² Initiale
2
2
W  EcFinale  EcInitiale  Ec
Travail et énergie cinétique

Rotation:
F
M’

0
M
dw
dt
dw dw d
dw
et _

.
 w.
dt d dt
d
M t  I .  I .
2

Le travail du Moment
de force « Mt » sur
l’arc MM’ fait varier
l’énergie cinétique
angulaire.
2
2
dw
dw
W   M t .d   I . .d   I .w.
.d
dt
d
1
1
1
2
W   I .w.dw
1
1
1
W  .I .W2 ² Finale  .I .W1 ² Initiale
2
2
W  EcAng _ Finale  EcAng _ Initiale  EcAngulaire
Energie cinétique … Système poly-articulé
3 étapes
1) Rotations des segments dans R*
z
R*
Ec / R*
x
y
2) Translations des segments dans R*
Ec / R*
z
R
x
1
  I i . ² i
2
1
  .mi .V ² Gi / R*
2
3) Translations du Cg dans référentiel externe R
y
mi : Masses des segments; M: Masse totale
Gi : Centre de gravité des segments
G : Centre de gravité du sujet; V, vitesse linéaire, w,
vitesse angulaire, R*, Référentiel centré en G et R,
Référentiel externe
Ec / R
1
 M .VG / R ²
2
Energie cinétique
d’un Système Poly-articulé
Energies
cinétiques
Internes
Energie
cinétique
Externe
1
Ec / R*   I i . ² i
2
1
Ec / R*   .mi .V ² Gi / R*
2
Ec / R 
1
M .V ² G / R
2
EcTotale  EcInt1  EcInt 2  EcExt
SMt (Fext)
Théorème de l’Energie Cinétique
Le théorème de l’énergie cinétique énonce :
Ec  ( EcInt1  EcInt 2  EcExt )  WF int  WFext
La variation d’Energie Cinétique est due à la somme des travaux
des Forces Externes et des travaux des Forces Internes.
Travail et Energie
Travail du Poids
Energie Potentielle
Travail d’une Force et d’un Moment de force
Energie Cinétique
Energie Mécanique Totale
Energie Mécanique « Totale »
d’un Système Poly-articulé
1
Ec / R*   I i . ² i
2
Energie
Cinétique
1
Ec / R*   .mi .V ² Gi / R*
2
Ec / R 
Energie Potentielle
1
M .V ² G / R
2
EPot / R  M .g.hG / R
Energie Mécanique
ETotale  ( EcInt1  EcInt 2  EcExt )  EPot
Totale*
SMt (Fext)
*: En l’absence de force de frictions, liaisons et de caractéristiques élastiques.
Théorème de Conservation
de l’Energie Mécanique
Le théorème de conservation de l’énergie mécanique (Em) énonce :
En l’absence de forces de frictions et de liaisons (non
conservatives), l’Energie Mécanique Totale est constante.
EmTotale  EcInt1  EcInt 2  EcExt  Ep  Constante
Soit encore que la variation d’Em est nulle:
EmTotale  ( EcInt1  EcInt 2  EcExt  Ep)  0
Exemple de conservation
de l’Energie Mécanique
EP et EC en phase opposée
EC
EP
(Cavagna et al., 1977; Dickinson et al., 2000; Lee and Farley, 1998)
Les forces de liaisons articulaires et de frictions sont négligées.
Les énergies cinétiques et potentielle se compensent et permettent au sujet une économie
non négligeable qui rend la marche peu coûteuse. EmTotale  0
En réalité, le rendement est d’environ 70% de l’énergie mécanique conservée.
Les 30% perdus sont liés au travail de forces non conservatives (Liaisons et frictions
entrainent la dissipation d’Energie en chaleur ….. par exemple).
EmTotale  WF . Non _ Conservati ves
Travail, Energie et Puissance
la puissance est la quantité d'énergie par unité de temps fournie
par un système.
La puissance correspond donc à un débit d'énergie : deux systèmes
de puissances différentes pourront fournir le même travail (la même
énergie), mais le système le plus puissant sera le plus rapide.
Travail et Puissance

La Puissance (P) correspond à la quantité d’énergie (E)
ou au travail (W) développé par unité de temps (t)
E W
P

t
t

(Translation)
W
t
 
Or _ W  F .d
D' où
F .d
d
P
 F .  F .v
t
t
P

P  F .v
La Puissance correspond également au produit scalaire
de la Force (F) et de la Vitesse (v).
Travail et Puissance

(Rotation)
En rotation, la Puissance (P) correspond à la quantité de
travail (W) développée par unité de temps (t)
W
t

Or _ W  M t .
P
W
P
t

P  M t .w
D' où

t 
t
M t .
P
 M .  M .w
t
t
La Puissance correspond également au produit du
Moment de Force (Mt) et de la Vitesse angulaire (w).
Puissance de l’athlète (Poly-articulé)
D’après le théorème de l’énergie cinétique :
( EcInt1  EcInt 2  EcExt ) WF int  WFext
Ec


t
t
t
1
Ec / R*   I i . ² i
2
Ec / R*
1
  .mi .V ² Gi / R*
2
Ec / R 
1
M .V ² G / R
2
Un athlète Puissant développe une quantité d’énergie importante en peu de temps.
Le travail des forces internes (muscles…) et externes (réaction…) doit être
développé en un temps le plus bref possible.
ATTENTION :



un athlète explosif est un athlète qui finit en
morceaux éparpillés sur le terrain.
Ce terme n’a pas de signification dans le domaine
de l’analyse du mouvement et de la biomécanique
Par contre vous pouvez trouver des athlètes forts et
rapides, ils sont alors PUISSANTS.
Les grandeurs physiques
, s-1
, kg.m.s-2
, kg.m².s-3

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