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5.1 Derive the equation of the
velocity profile in the pipe for
the case of laminar and
turbulent flow using the
contents of Brebbia textbook.
점성법칙이 유효하게 적용되기 위해서는, 작은 내경의 관로의 점성유체에 대한 층류이어야 한다.
<층류와 난류의 유속 분포도>
층류의 경우에는
난류인 경우에는 실험 결과로부터,
여기서,
층류 : Re < 2000
난류 : Re > 4000
천이영역 : 2000<Re<4000
5.2 Derive the equations of the
head loss for the problem 5.1
such as Darcy-Weisbach
equation.
관류유동에 있어서 난류인 경우의 수두손실은 Darcy-Weisbach식으로 다음과 같다.
여기서, 는 마찰상수이다.
개수로 유동에서의 Darcy-Weisbach식은 다음과 같다.
관의 형상에 따른 국부 수두손실은 다음의 식으로 평가된다.
압력과 마찰력의 평형 관계로부터 다음의 식을 구성할 수 있다.
마찰력(전단력) = 압력에 의한 힘 = 수두손실(압력손실)
위의 식을 정리하면 다음과 같다.
난류에 대한 실험에 의하면 마찰력은 다음과 같다.
층류에 대한 뉴턴의 제1점성법칙은 다음과 같다.
따라서, 수두손실은 다음과 같다.
5.3 Derive the equations of the
velocity from the head loss
equation for the problem 5.2
such as Manning's, Chezy's,
and Hagen-William's formula.
Hazen-Williams 공식
천이영역에 대해서는 다음과 같이 Hazen-Williams 공식을 적용한다.
for SI system
->
Manning 공식
R = 동수반경 = 윤변/단면적 = perimeter/area
n = 조도계수 = roughness coefficient
: hydraulic radius (
for a circular pipe)
Chezy 공식
Darcy-Weisbach 공식
여기서,
에서
->
라면
Chezy 공식의 일반형
-> Chezy의 평균유속공식
-> 지수형 평균유속공식
5.4 Explain the concept of
Reynold's number and hydraulic
radius.
레이놀즈수 (Reynolds number)
물체를 지나는 유체의 흐름 또는 유로속에서의 유체흐름의 관성력(관성저항)과 점성력의 크기의
비를 알아보는 데 있어서 지표가 되는 무차원수. 물체를 지나는 유체의 흐름 또는 유로속에서의
유체흐름의 관성력(관성저항)과 점성력의 크기의 비를 알아보는 데 있어서 지표가 되는 무차원수.
흐름 속에 있는 물체의 대표적 길이를 유체밀도를 , 점성률읜 관계식으 로 정의된다(여기서는 운
동점성계수). 흐름 상태는 레이놀즈수에 의해 크게 달라지므로, 레이놀즈수는 흐름의 특징을 정
해지게 하는 데 가장 중요한 조건이 된다. 레이놀즈수가 작은 동안은 정류상태이었던 흐름도, 레
이놀즈수가 임계값을 넘게 되면 불규칙적으로 변동하는 난류로 변하게 된다.
5.5 Explain the computational
algorithm of the pipe network
using the concept as shown in
the section of 4.3-4.5 in the
Brebbia's textbook.
관망 해석은 전체 절점에 대한 유량 및 수두를 계산하는 것이 주 알고리즘이다. 따라서, 전체 절점에 대하여 각 요
소별 행렬식을 합해 주어야 한다. 이때, 각 절점별로 연속방정식 즉, 유량의 물질수지가 유지되어야 한다. 따라서,
관망해석은 각 관로(요소)별로 에너지손실과 흐름을 해석하고, 전체 절점에 대한 물질수지를 고려하는 것이라 할
수 있다.
각 절점의 물질수질를 고려한 각 절점별 연속방정식은 다음과 같다.
여기서,
는 j 절점에서의 소비나 공급유량이다.
일반적으로, 전체 요소를 결합하기 위하여 다음과 같은 체계적으로 합치는 방법을 제시하였다.
(i) 유한요소법과 마찬가지로 각 요소별 절점의 연결도표를 작성한다.
(ii) 양의 유량은 시작절점에서 최종절점으로 흐른다.
(iii) 각 요소에 대하여 계수를 계산한다.
(iv) 해당되는 절점에 알맞게 합쳐주기 위하여 각 요소의 절점의 연결도를 고려하여 전체 요소를 합쳐준다.
다음에 각 요소행렬이 합쳐지는 예를 나타내었다.
위의 요소행렬을 더하는 방법은 i 요소내 k, j 절점의 경우 다음과 같이 일반화할 수 있다.
- (k,k)와 (j,j) 위치에
계수를 더해준다.
- (k,j)와 (j,k) 위치에
계수를 더해준다.
합쳐진 최종방정식은 다음과 같이 행렬과 벸터를 이용하여 간단히 나타낼 수 있다.
여기서,
는 관망의 특성 행렬,
는 관망의 수두 벸터,
는 관망 소비 벸터이다.
5.6 Determine the discharge through the
system as shown below by using the
concept of the equivalent pipe where,
=0.5, =300m, =600mm, = 2mm,
=240 m, =1m, =0.3mm,
,
and H=6m.
에너지방정식으로부터
정리하면
= 0.0033,
= 0.0003의 값과 그림 5.21로부터 f의 값을 완전난류 범위에 대해서 가정하
면,
이 값들로
을 구함으로써
= 2.848 m/s,
그림 5.21에서 = 0.0265, = 0.0168,
그리고
이다.
= 1.025 m/s
에 대해 다시 풀면
= 2.819m/s
5.7 Determine flow through each pipe and
the pressure at B as shown below for a
total flow of 12 cfs. Where, =3000ft,
=1ft, =0.00 ft; =2000ft, =8in,
=0.0001ft; =4000ft, =16in, =0.0008ft;
=2.00 slugs/ , =0.00003 /s, =8psi,
=100ft, =80ft.
= 3cfs라고 가정한다. 그러면
= 0.022이고 다음과 같다.
= 3.82,
= 3.82(1/0.00003) = 127,000,
파이프 2에 대해서는
파이프 3에 대해서는,
가정된 조건에 대한 총 유량은
따라서
를 구하기 위해
또는
여기서 평균 수두손실이 사용되었으므로 다음과 같이 된다.
= 0.001,
5.8 F ind the discharges for water at
20°C with the following pipe data and
reservoir elevations as shown below.
Where,
라고 가정하면
이므로 유입이 유출보다 다음 양만큼 더 크다.
라고 가정하면,
유입이 아직도 0.029m3/s만큼 크다. 선형적으로 외삽 함으로써
로 된다.
5.9 Explain the algorithm of the
Hardy Cross Method for the
pipe network analysis.
Hardy Cross방법은 모든 연결점에서 연속방정식이 만족되도록 각 파이프에 대해 유동을 가정하
는 방법이다
국부손실은 각 파이프의 등가길이로서 포함된다. 지수방정식은 보통
의 형태로 사용되
며, 여기서 r은
이다. r의 값은 각각 관로에서 일정한 값이며, 루프-균형 과정에 앞서
서 결정된다. 보정함은 아래와 같이 얻어진다.
임의 파이프에 대해 초기유량
가 가정될 때,
(11.7.1)
이다. 여기서
는 보정된 유량이고
는 보정량이다. 이때 각각의 파이프에 대해
지금 하나의 회로에 대해
이다.
는 회로내의 모든 파이프에서 동일하기 때문에 로부터 밖으로 나왔고, 절대값 기호
는 회로에 따른 합의 방향을 고려하기 위해 부가되었다. 마지막 식을 풀면 관망중의 각 회로에 대
한
를 구할 수 있다.
(11.7.2)
5.10 The distribution of flow through
the network as shown below is
desired for the inflows and outflows
as given. For simplicity n has been
given the value 2.0. Implement the
Hardy Cross Method for this problem.
그림 11.16(a)
그림 11.16(a)에는 가정된 유동분포가 표시되어 있다. 위쪽 좌측에는 아래쪽의 1번
회로에 대한 의 항이 계산되어 있다. 그 옆에는 같은 회로에 대한
를계
산한 것이다. 그림의 우측 위편에는 제2회로에 대한
것이 같은 형식으로
나타나 있다. 첫 번 단계에서 보정된 유량은 맨 위쪽 수평 관에서 15 + 11.06 =
26.06이 결정되고, 대각선 파이프는 35 + (-21.17) + (-11.06) = 2.77이다.
5.11 The program in Fig. 11.18
in the text book is used to solve
the network problem displayed
as below. The pump data are
as follows:
Implement the pipe network modeling for this problem by using the suggested program of Hardy Cross Method.
0
0.03
0.06
0.09
30
29
26
20
모든 파이프에 대해 Hazen-Williams의 관로계수가 100이다. 그림 11.19는 입력데이터를 나타내고, 그림 11.20은 이 문제의
컴퓨터 출력이다 .
관로와는 다른 요소를 갖는 수력시스템은 이들을 등가 길이로 대치함으로써 취급 될 수 있다. 부가요소가 점프일 때는 특별
한 주의 가 필요하다. 또 시스템에서 수력구매선의 고정된 높이가 두 군데 이상 있는 경우에도 특별한 기교가 필요하다.
그림과 같이 압력수두의 높이가 여러 곳에서 고정되어 있는 시스템의 경우는 수조에서의 미지의 유입량과 유출량을 고려하기 위
해, 그리고 균형을 이를 때까지 연속식을 만족시키기 위해 가요소를 도입한다. 이의 요소에 의해 각 쌍의 고정압력수준 사이를 연
결하면 가상적인 또는 인위적인 회로가 형성된다. 이의 요소들은 유동을 수반하지는 않지만, 수조들의 높이차와 같은 크기만큼의
수력구매선의수준을 강하시킨다. 만일의 요소에서 수두강하가 가정된 양의 방향으로 양의 값을 갖는다면 루프 3(그림 11.17)의 보
정량은 다음과 같다.
(11.8.1)
이 보정량은 단지 파이프 1과 4에만 적용된다. 만일 실제 관로가 가상루프 내에 추가로 존재한다면, 각각은 루프균형의 반복에 따
라서 적절하게 조절될 것이다. 식 (11.8.의 항들은 식 (11.7.2)와 관련시킴으로써 쉽게 확인할 수 있다. 또는 Newton방법(부록 B)을
적용하여도 같은 식을 얻을 수 있다.
시스템내의 펌프는 그것을 통과하는 유량에 대응하는 펌프의 수두상승과 같은 크기의 음의 수두손실을 나타내는 유동요소로서
취급된다. 그림 에서 요소 8의 펌프 양정-유량 곡선은 3차방정식으로 표시될 수 있다.



이때
는 점프의 차단양정이다. 루프 4의 보정량은
(11.8.2)
이 보정량은 루프 중의 파이프 5와 펌프 8에 적용된다. 식 (11.8.2)는 Newton방을 루
프에 적용하여도 얻을 수 있다. 펌프를 가진 관망을 만족스럽게 균형 시키기 위해서
는, 양정-유량곡선의 기울기가 0보다 작거나 같아야만 한다. 그림 11.18의 BASIC프
로그램은 정상상태에 있는 다양한 액체의 파이프유동문제 해석하는 데 이용될 수 있
다. 여기서는 Hardy-Cross의 루프-균형법이 이용되어 있고, Hazen-Williams식으로
기술된 관로의 유동 또는 Darcy-Weisbach식으로 해석된 층류나 난류유동이 취급될
수 있다 즉, 스프링쿨러 시스템에서와 같이 여러 개의 수조는 고정압력레벨을 갖는
경우도 해석될 수 있고, 승압펌프 또는 급수펌프를 갖는 시스템도 취급될 수 있다. 입
력데이터를 적절히 지정함으로써 USC단위계나 Sl단위도 사용할 수 있다.

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