Dérivée des fonctions trigonométriques

Report
Dérivée des fonctions
trigonométriques
Larry Gingras, professeur
Adapté par Jacques Paradis, professeur
Plan de la rencontre
 Angles – Rappel
 Définition des fonctions sinus et cosinus
 Identités trigonométriques
 Autres fonctions trigonométriques et
trigonométrie du triangle rectangle
 Dérivée des fonctions sinus et cosinus
 Dérivée des fns tangente et cotangente
 Dérivé des fns sécante et cosécante
 Applications aux taux liés
Département de mathématiques
2
Angles (rappel)
 Angle se calcule en degré ou en radian :
 1 radian = longueur du rayon
 2 radians = 360° et  radians = 180°
 Exemples :
 /6
= ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?
-
 Signe d’un angle :
 Angle positif : sens anti-horaire
 Angle négatif : sens horaire
 Remarque : les formules de dérivation des fonctions
trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés
en radians.
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Fonctions sinus et cosinus
 Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon
égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien:



Sinus = sin = ordonnée du point P : y
Cosinus = cos = abscisse du point P : x
Exemples :
P
(0 , 1)
 sin0= 0
 cos0 = 1
 sin(/2) = 1
 cos(/2) = 0
 sin(/6) = ?
 cos((/3) = ?
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(1 , 0)
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Identités trigonométriques
 sin2  + cos 2  = 1
(/2) – 
(b , a)
 tan2  + 1 = sec 2 
(a , b)
 1 + cot 2  = cosec 2 
 cos  = sin(/2 -  )

 sin  = cos(/2 -  )
 sin( ± ) = sin()cos() ± cos()sin()
 cos( ± ) = cos()cos() ∓ sin()sin()
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Autres fonctions trigonométriques
 Tangente, cotangente, sécante et cosécante
sin 
tan  
cos 
cos 
cot  
sin 
1
sec  
cos 
1
csc  
sin 
 Trigonométrie du triangle rectangle :



coté opposé a
sin  

hypoténuse c
cos  
coté adjacent b

hypoténuse
c
c
a

b
coté opposé a
tan  

coté adjacent b
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Moyen mnémotechnique
 S inus
 O pposé
 H ypothénuse
 C osinus
 A djacent
 H ypothénuse
 T angente
 O pposé
 A djacent
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hyp
opp

adj
7
Moyen mnémotechnique
 Sinus
 Cosécante
 cosec x = 1/sin x
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Limites (1de 2)
sin( x )
1
lim
x 0
x
tan 3 x
lim
?
x 0
2x
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Limites (2de 2)
cos( x)  1
0
lim
x 0
x
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Dérivée de la fonction sinus
-

d
sin x   cos x
dx
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Démonstration
[sin f (x)]'  [cos f (x)]  f' (x)
d
sin( x  h)  sin( x)
sin x   lim
h 0
dx
h
sin x cos h  cos x sin h  sin( x)
 lim
h 0
h
sin x cos h  sin( x)
cos x sin h
 lim

h 0
h
h
cos h  1
sin h
 lim sin x
 lim cos x
h 0
h 0
h
h
cos h  1
sin h
 sin x  lim
 cos x  lim
h 0
h 0
h
h
 sin x  0  cos x  1
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 cos x
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Dérivée de la fonction cosinus
-/2
/2
d
cos x    sin x
dx
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Démonstration

d
d
sin(   x)
 cos x  
2
dx
dx
 cos( 
(/2) – x
(b , a)
(a , b)
x
2
 cos( 

 x)  
2
  cos( 

2

x '
 x)  ( 1)
2
 x)
  sin x
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Sinus et cosinus

-
-/2
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On peut voir que la
variation de la pente
de la tangente de la
fonction sinus
correspond bien à la
fonction cosinus
/2
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Dérivée de tan x et cot x
tan x 
sin x
cos x
-/2
cot x 
/2
d
2
tan x   sec x
dx
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cos x
sin x
-

d
2
cot x    csc x
dx
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Démonstration
d
d  sin x  sin x '  cos x  sin x  cos x '
tan x   

dx
dx  cos x 
cos x 2
cos x  cos x  sin x   sin x 

2
cos x
cos x  sin x
1


2
cos x
cos2 x
2
 1 
 

 cos x 
2
2
 sec2 x
Rem: La démonstration pour cot x se fait de façon similaire
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Dérivée de sec x et csc x
sec x 
1
cos x
-/2
csc x 
/2
d
sec x   sec x tan x
dx
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1
sin x
-

d
csc x    csc x cot x
dx
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Démonstration
d
d  1 
1
d
sec x  
 cos x 

2
dx
dx  cos x  cos x  dx
1

  sin x 
2
cos x
1
sin x


cos x cos x
 sec x  tan x
Rem: La démonstration pour csc x se fait de façon similaire
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Résumé
d
sin f(x)  cos f(x) f '(x)

dx
d
tan f(x)  sec 2 f(x) f '(x)

dx
d
cos f(x)    sin f(x) f '(x)

dx
d
cot f(x)    csc 2 f(x) f '(x)

dx
d
sec f(x)  sec f(x)tan f(x) f '(x)

dx
d
csc f(x)    csc f(x)cot f(x) f '(x)

dx
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Exemples : Trouver la dérivée de :
 1)
f ( x)  tan3 4x
 2)
f ( x)  cos x  1  cot x
x  sin x

 3) y 
sec x
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Exercices
 Calculer f’(x) si
a) f(x) = sinx3
 b) f(x) = sin3x
 c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx

cos 2x
 d) f(x) 
sin2 (x  1)

e) x3 y 4  tan y  sec 3x
 Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.
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Application aux taux liés (exemple)
 Un homme est assis au bout d’un quai situé 5
m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une
câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci
vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2
m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et
la surface de l’eau quand la longueur du câble
entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?
z
5m

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Application aux taux liés (exercice)
 Une échelle de 6 m de longueur est appuyée
contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du
mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de
variation par rapport au temps t de l’angle 
formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque
le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

6m
x
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Devoir
 Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g),
2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a.
 Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6.
 Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b.
 Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b.
 Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque:
18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance
parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).
Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s
18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et
v = 20 m/min.
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Exemple 1
f ( x)  tan 4x
3
f ( x)  (tan 4 x)
3
f '( x)  3(tan 4 x)  (sec 4 x)  4
2
2
f '( x)  12 tan 2 4 x sec2 4 x
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Exemple 2
f ( x)  cos x  1  cot x
f ' ( x)  cos x  1 '  cot x  cos x  1  cot x '
f ' ( x)   sin x  0  cot x  cos x  1   csc2 x
cos x
1
f '( x)    sin x  
  cos x  1   2
sin x
sin x
cos x  1  cos x sin 2 x  cos x  1
f ' ( x)   cos x 

2
sin x
sin 2 x
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Exemple 3
dy  x  sin x '  sec x   x  sin x   sec x '

dx
sec x 2

( x)' sin x  x(sin x)'   sec x   x  sin x   sec x tan x 

sec 2 x

1  sin x  x(cos x)   sec x   x  sin x   sec x tan x 

sec 2 x
sec x 
sin x 

 sin x  x cos x   x sin x 
2

sec x 
cos x 
x  sin x
y

sec x
sin x 

 cos x  sin x  x cos x   x sin x 
cos x 

 sin x cos x  x cos x  x sin x
2
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