Calcul littéral e..

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Chap4- Calcul littéral et identités remarquables
Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables
Rappel:
Réduire une expression :
C’est regrouper les termes semblables.
On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux,
« les y avec les y », etc…
Lorsqu’on réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances
décroissantes.
5x x 6x =
30x²
7x + 5x = 12x
3x +45+5x² –4+2x² = 7x² + 3x + 41
Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables
Réduire une expression :
Ex4p112
a) Réduire si possible
A= 6x + 2x
B= 6 x 2x
C= 6 + 2x
D=6x² + 2x²
E= 6x + 2x²
F= 6x x 2x
G=(3x)²
H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8
> Calculer A, B,…H pour x=3
I / Développer un produit
Développer un produit, c’est le transformer en somme.
1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a :
k (a + b) = ka + kb
k (a – b) = ka – kb
3(x + 2 ) = 3x+ 6
-2(1 – 4x) = -2 + 8x
2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :
(a + b)(c + d) =
ac + ad + bc + bd
(x + 3)(5 – 4x)= 5x – 4x² + 15 – 12x
= -4x² – 7x + 15
I / Développer un produit
Ex4p112
b) Développer et réduire
A= 3(2x+5)
B= 2(6 – 3x)
C= -4(-2x +5)
D= 3(2x+4) + 5(4x+2)
E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x)
F= (5x+6) + (4x - 2)
G= (2x – 5) – (5x + 3)
H= (2x+4)(4x+2)
I= (-4x+6)(2x – 3)
J= (2x+3) (2x+3)
K= (3x – 4) (3x – 4)
Ex5p112
Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales?
a) A= (6x+4)(2x–3)
B= (4x–6)(3x+2)
b) A= 5(2x+3)+4x
B= 7(2x+1)+8
Exercice: Développer les expressions suivantes:
1) (a+b)²
2) (a–b)²
3) (a+b)(a–b)
II / Identités remarquables
Quels que soient les nombres a et b, on a :
•
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Le terme « 2ab » s’appelle le double produit (2 x a x b).
(3x + 2)² = (3x)² + 2x3xx2 + 2²
9x² + 12x + 4
•
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(x – 3)² = x² – 6x + 9
•
(5 + 2y)² = 5² + 2x5x2y + (2y)²
25 + 20y + 4y²
(-2x – 5)²= (-2x)² – 2x(-2x)x5 +5²
4x² + 20x + 25
(a + b)(a – b) = a² – b²
(x+ 2)(x – 2) = x² – 2²
= x² – 4
(10 – 3x)(10 + 3x) = 10² – (3x)²
= 100 – 9x²
II / Identités remarquables
Ex55p122: Développer
A= (6+x)²
B= (6 – x)²
C=(6 x x)²
E= (3 – x)²
F=(3 x x)²
D= (3+x)²
Ex56p122: Développer
A= (5+3x)²
B= (5 – 3x)²
C=(5 x 3x)²
E= (4 – 2x)²
F=(4 x 2x)²
D= (4+2x)²
Ex62p122: Développer
A= (2x+5)(2x – 5)
B= (x – 3)(x+3)
C=(5a+2)(5a – 2)
D= (3+5b)(3 – 5b)
Ex66p122: Développer
A= (5x+7)²
B= (4x – 3)(6x+2)
C=(2 – 6x)²
D= (9x – 3)(9x+3)
F= (4 – 7x)(4+7x)
E= (1+2x)²
Ex68p122: Développer et Réduire
A= 5x+ 3(5x+3)
B= 4x² + (3x+4)²
C= 6x² - (3x +2)²
D= 2x - (3x+4)(4x+3)
Ex69p122: Développer et Réduire
E= 4x² + (x+5)²
F= -8x – (2x – 2)²
G= 5x + 4(5x+4)
H= 10x² – (4x+3)(4x – 3)
III - Factoriser une somme:
Rappel :
(a+b)² =
(a–b)² =
(a+b)(a–b)=
Reconnaître des identités .
9x² + 12x + 4 =
16 – 40x + 25x² =
y² – 81 =
49 – 4x² =
x² + x + 1/4=
-81 + 100x² =
III - Factoriser une somme:
Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.
Pour cela il faut :
- soit trouver un facteur commun ;
- soit trouver une identité remarquable.
C’est le procédé « inverse » du développement.
Exemples: Factoriser avec un facteur commun
On repère le facteur commun : x
A = x² + 4x
On le met en facteur
=xxx+4xx
et on regroupe les autres termes.
= x( x + 4)
B = 4(x +5) + 4(2x+3)
= 4[ (x +5) + (2x+3) ]
= 4(3x + 8)
On repère le facteur commun : 4
On le met en facteur
et on regroupe les autres termes.
C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1)
= (2x + 1) ( x – 2 + 6 )
= (2x + 1) (x + 4)
Même principe, attention
D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4)
au signe « - » devant la parenthèse !
= (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] et (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)
= (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x )
= (x + 4) ( 6x + 3 )
Ex5p117 : Factoriser
A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3)
Ex6p117 : Factoriser
B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3)
Ex7p117 : Factoriser
C= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4)
Ex8p117 : Factoriser
D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2)
Ex1p117 : Factoriser
A=
Ex2p117 : Factoriser
C=
Ex3p117 : Factoriser
E=
Ex4p117 : Factoriser
F=
Exercice : Factoriser
A= 2x+10
B= 3x – 12
C= 6x² – 30
D= 28x + 4x²
E= 15x² + 25
F= 20x² – 30x
G= 7x² + 7
H= 9x – 3
Ex50p121 : Factoriser
F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2)
G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4)
H= (4x+5)² – (4x+5)
Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² »
D = 4x² – 12x + 9
= (2x)² – 2 x 2x x 3 + 3²
= (2x – 3)²
On reconnaît l’identité remarquable :
a² – 2ab + b² = (a – b)²
Avec a= 2x
et b=3
Ex9p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a²+2ab+b²
A= 4x² +12x +9
B= 9x² + 6x +4
Ex10p118 : Factoriser si possible
C= 9 + 24x + 16x²
D= x² +6x +9
Ex11p118 : Factoriser si possible
E= 9x² - 30x +25
F= 36x² - 12x +1
Exemples: Factoriser avec l’identité remarquable « a² – b² »
E = 25x² - 16
= (5x)² - 4²
= (5x + 4)(5x – 4)
C’est une différence de deux carrés a²–b²
cela se factorise en (a + b)(a – b) ;
F = (3x + 2)² – 25
(3x + 2) a
= (3x + 2)² – 5²
5
b
= (3x+2 + 5)(3x+2 – 5)
= (3x+ 7)(3x – 3)
a²–b² = (a + b)(a – b) ;
G = (x + 6)² – (2x + 1)²
(x + 6)
a
= ((x+6) + (2x+1))((x+6) – (2x+1))
(2x + 1) b
= ( x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1)
attention
= ( 3x+7 )( -x+5 )
au signe « - » devant la parenthèse !
Ex13p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a² - b²
A= 81x² - 16
B= 25 – 4x²
Ex14p118 : Factoriser
C= (4x+5)² - 49
D= 25 – (3x-4)²
Ex15p118 : Factoriser
E= (8x+6)² - (6x+2)²
F= (5x - 3)² - (2x - 4)²
Ex 54p122 – Factoriser si possible:
A=9x² - 36
B= 17x² +3x
C= 9 – 6x + x²
D= 25x² + 30x + 9
E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5)
F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7)
G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4)
H= (7x-9)² - (2x-3)²
I= (9x-2)² +(9x-2)
J=(4x+3)² - 64
Ex82p123:
Au Brevet
Soit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2)
a) Développer, puis réduire D.
b) Factoriser D.
c) Calculer D pour x=-4
d)Développer l’expression trouvée en b).
Comparer avec l’expression de la question a).
Ex100p125: Au Brevet
a) Soit E= 4x² + 8x – 5
Calculer E pour x=0,5
b) Soit F= (2x+2)² - 9
(1) Développer et réduire F.
(2) Factoriser F.
c) Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5
Ex18p119:
Soit F= -x² + 12x – 20
On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20.
On va afficher dans la colonne A les valeurs de x
et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F.
A
B
1
2
3
4
a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2?
b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul
souhaité?
c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum?
Ex80p123:
Au Brevet
Pour chaque expression suivantes:
(1) Développer, puis réduire
(2) Factoriser
(3) Contrôler que l’expression développée est bien égale à
l’expression factorisée.
A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5)
B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)²
C= (8x+2)² - 9
Ex98p125:
Démontrer que PAS est un triangle rectangle.
P
4x +4
3x +3
S
A
5x + 5
Ex92p124:
Voici 2 programmes de calcul.
Programme A:
• Choisir un nombre
• Lui ajouter 2
• Calculer le carré du
résultat
• Retrancher 4 au
nombre obtenu.
Programme B:
• Choisir un nombre
• Calculer son carré
• Ajouter au
résultat le
quadruple du
nombre choisi.
a) Appliquer le programme A au nombre 3:
A(3)=
b) Appliquer le programme B au nombre 3:
B(3)=
c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix:
Quelle conjecture peut-on faire?
La démontrer.
d) A(x) =
B(x) =
Ex110p126:
a) Ecrire en fonction de x l’aire
du triangle ABD
b) Ecrire en fonction de x l’aire
du triangle ABC
c) En déduire l’aire du triangle ACD.
d) Calculer directement l’aire ACD.
A
2x - 4
B
C
2x + 4
D
8
Ex97p125:
a) Ecrire une formule développée et réduite
pour calculer le volume du pavé.
b) Ecrire une formule développée et réduite
pour calculer l’aire totale du pavé.
c) Utiliser ces formules quand x=3.
3
x+5
x+5

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