Document

Report
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi
p( x)  x  7 x  1
3
2
x  3x  5
2
Racionalne funkcije
Algebrajske funkcije
Q( x) 
A( x) 
x  x 1
3
x 1 
x
Eksponentne
f ( x)  e
2x
5
3
x 1
2
x 
 2e
2
x
x
in
logaritmske funkcije
Kotne
g ( x)  ln( x  1  x )
2
u ( x)  sin(2 x  1)  3cos( x  2 )
in
ločne funkcije
MATEMATIKA 1
v( x)  arcsin
1 x
1 x
w( x)  arctg(1  x )
2
1
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih
operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.
Osnovne funkcije:
potence
x , n
n
eksponentna
ex
koreni
n
x, n 
logaritemska
ln x
MATEMATIKA 1
sinus
sin x
arkus sinus
arcsin x
arkus tangens
arctg x
2
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Funkcije podane z grafom
Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.
Krivulja v ravnini je graf neke
funkcije če jo vsaka navpična
premica seka največ enkrat.
MATEMATIKA 1
3
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
OBRATNE FUNKCIJE
f :AB
Praslika
Predpis b ↦
f -1(b)={a ∈ A| f(a)=b}
(množica rešitev enačbe
f(a)=b)
f -1(b) določa funkcijo, če imajo množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.
Tedaj je f bijektivna, predpis
f -1:BA, b ↦ f -1(b)
pa je obratna (inverzna) funkcija za f.
f je surjektivna, če imajo
f -1(b) vsaj en element.
f je injektivna, če imajo
f -1(b) največ en element.
Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno
ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna.
MATEMATIKA 1
4
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
EKSPONENTNA FUNKCIJA
injektivna
surjektivna
Zožimo kodomeno na (0,+).
exp: (0,+) je bijektivna.
Obratna funkcija je
exp-1=ln: (0,+)  
MATEMATIKA 1
5
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
TANGENS
injektivna
surjektivna
Zožitev tg :   2 , 2  
je bijektivna.
Obratna funkcija
1
arc tg  tg :
   2 , 2 
je strogo naraščajoča, ima
vodoravni asimptoti y=±π/2
MATEMATIKA 1
6
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
SINUS
injektivna
surjektivna
Zožitev
sin :   2 , 2   [1,1]
je bijektivna.

1



2
2
2
1
1
1

1

2
Obratna funkcija je arc sin  sin :[ 1,1]    2 , 2 
MATEMATIKA 1
7
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f (x)  x  e

f :
x
y xe
x
je bijekcija
x ye
y
Obratna funkcija
f
1
:

ni elementarna funkcija.
MATEMATIKA 1
8
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE
F(x,y)=0
f : AB je rešitev funkcijske enačbe, če je F(x,y)
definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.
Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.
x  xy  y  3
2
2
f1 ( x ) 
f2 ( x ) 
MATEMATIKA 1
 x  12  3x
2
 x  12  3x
2
2
2
f1 , f 2 :[ 2, 2] 
9
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
x  3x y  3y  1
4
2
2
4
Implicitna enačba določa funkcijo
na odseku med dvema
navpičnima tangentama
1
f1 ( x ) 
3x
2

12  3x
4
6
f2 ( x ) 
f3 ( x )  
3x
2

12  3x
2

12  3x
2b
3a
3b
4
6
4
4
6
f4 ( x )  
MATEMATIKA 1
3x
2a
3x
2

12  3x
4
6
10
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ZAPOREDJA FUNKCIJ
f1 ( x )  x
f2 (x )  x 
f3 ( x )  x 
f4 (x )  x 
x
3
3
x
3

3
x
5
5
3
3
x

x
5

5
x
7
7
f ( x )  arctg( x )
Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
11
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f1 ( x )  1.19  sin( x )
f 2 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
f3 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
 0.20  sin 4 x  0.16  sin 5 x
f 4 ( x )  1.19  sin x  0.38  sin 2 x  0.29  sin 3x
 0.20  sin 4 x  0.16  sin 5 x
 0.13  sin 6 x  0.12  sin 7 x
f ( x )  arctg( x )
Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
12

similar documents