Aspectos Matemáticos de la Graficación

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CARRERA
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
MATERIA
GRAFICACIÓN
PROFESOR
MÉNDEZ LÓPEZ GENARO
ALUMNOS
LUNA ARIAS ABRIL
LÓPEZ ESPINOZA MIGUEL
DÍAZ BURGOS RICARDO
• ¿QUÉ ES UN FRACTAL?
• GEOMETRÍA FRACTAL
INTRODUCCIÓN
En la naturaleza no es trivial describir aquellas formas,
dado que no es suficiente aplicar las propiedades
euclidianas por lo que es necesario buscar una nueva
manera de poder describirlas, para todo esto usamos la
Geometría Fractal pero, ¿Qué es la Geometría Fractal?
Son objetos:
• Bastante artísticos
• Impresionantes
• Representaciones matemáticas de la naturaleza
• ¿QUÉ ES UN FRACTAL?
• Real Academia Española.
Una figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos.
• Por Definición.
Un conjunto cuya dimensión es estrictamente mayor que su
dimensión topológica.
La Geometría Fractal es la disciplina que tiene como objetivo
abstraer las formas de la naturaleza. También se le conoce
como Geometría de la naturaleza.
• GEOMETRÍA FRACTAL
Es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas,
elipses y demás objetos de la geometría tradicional son
reemplazados por algoritmos iterativos computacionales que
permiten describir sistemas naturales, caóticos y dinámicos.
Ejemplos de la Geometría Fractal
OBJETOS FRACTALES CLÁSICOS
Curva de Hilbert
Se conectan los centros de los cuadrados, comenzando siempre por el cuadrado inferior izquierdo y
terminando en el cuadrado inferior derecho.
Copo de nieve de Koch
Triángulo de Sierpinski
TEORÍAS MATEMÁTICAS
APLICADAS.
El concepto de fractal no dispone de una definición matemática
precisa y de aceptación general. Intentos parciales de dar una
definición fueron realizados por:
 B. Mandelbrot, que en 1982 definió fractal como un conjunto
cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente
mayor que su dimensión topológica. Él mismo reconoció que
su definición no era lo suficientemente general.
 D. Sullivan, que definió matemáticamente una de las categorías
de fractales con su definición de conjunto cuasiautosimilar que
hacía uso del concepto de cuasi-isometría.
Dimensión fractal.
 Puede definirse en términos del mínimo número
de bolas
de radio necesarias para recubrir el conjunto, como el límite:
 O en función del recuento del número de cajas
de una
cuadrícula de anchura
que intersecan al conjunto:
 Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y
que son invariantes bajo isometrías.[
Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
 De una definición más compleja, la dimensión de
Hausdorff-Besicovitch nos proporciona un número
,
también invariante bajo isometrías, cuya relación con la
dimensión fractal
es la siguiente:
Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con
la misma dimensión fractal.
Dimensión de fractales producidos
por un IFS
 Un sistema iterativo de funciones (IFS) es un conjunto
de funciones contractivas definidas sobre un subconjunto
de
. Cuando no hay solapamiento entre las imágenes de
cada función, se demuestra que
y que ambas pueden
calcularse como solución de la ecuación:
 donde ci designa el factor de contracción de cada aplicación
contractiva del IFS.
Tipos de fractales
Tipos de Fractales
Para distinguir los distintos tipos de fractales nos basamos en
varias de las características que poseen. De este modo
podemos clasificarlos según las siguientes características:
 Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un
cambio en la variación de sus escalas. Esto implica que los
fractales lineales son idénticos en sus escalas hasta el
infinito. Podemos hacernos una idea viendo las siguientes
imágenes:
 Sin embargo, no es este el caso de los fractales no lineales.
Estos se generan creando distorsiones no lineales o
complejas. A continuación unos ejemplos:
• Los fractales pueden ser generados a partir de elementos de
la matemática tradicional (fractales lineales) o a partir de
números complejos. De hecho, el fractal de Mandelbrot está
generado a partir de la iteración de la siguiente expresión
compleja:
Donde Z y W son números complejos.
• Las iteraciones consisten en repetir y volver sobre si
mismo una cierta cantidad de veces. En el caso de los
fractales iteramos fórmulas matemáticas como
acabamos de ver en el anterior apartado. Esta iteración
la realizamos mediante el uso de algoritmos. Es por ello
que la aparición del campo de investigación de los
fractales es relativamente reciente, pues realizar
cálculos complejos para construirlos hubiese sido una
ardua tarea para llevarla a cabo sin la ayuda de una
computadora.
 Como vimos anteriormente, todos los fractales deben
poseer una dimensión fractal pero no todos tienen por
qué ser autosimilares. A estos fractales que no poseen
una
autosimilitud
los
denominamos
fractales
plasmáticos. El siguiente es un ejemplo de un fractal
plasmático:
Algoritmos de escape
La Imagen es un fractal de Mandelbrot, y se genera
mediante un algoritmo de escape. Para cada punto se
calculan una serie de valores mediante la repetición
de una formula hasta que se cumple una condición,
momento en el cual se asigna al punto un color
relacionado con el número de repeticiones. Los
fractales de este tipo precisan de millones de
operaciones, por lo cual sólo pueden dibujarse con la
inestimable ayuda de la computadora
Una característica especial del fractal Mandelbrot (y
de otros tipos afines) es la de generar un infinito
conjunto de fractales, ya que por cada punto se puede
generar un fractal tipo Julia, que no es sino una ligera
modificación en la fórmula del Mandelbrot.
Mandelbrot
Funciones iteradas
Helecho de Barnsley
El
sistema
de
funciones
iteradas (IFS) es un método creado
por M. Barnsley, basándose en el
principio de autosemejanza. En un
fractal IFS siempre se puede
encontrar una parte de la figura que
guarda una relación de semejanza
con la figura completa. Esa relación
es a menudo muy difícil de apreciar,
pero en el caso del helecho
(imagen)
es
bastante
clara:
cualquier hoja es una réplica exacta
de la figura completa.
Lindenmayer y Sierpinski
La idea es sencilla y antigua. Un triángulo
en el que se aloja otro, uniendo los puntos
medios de cada uno de sus lados. Esto se
repite con todos y cada uno de los
triángulos formados que tengan la misma
orientación que el original, y así
sucesivamente. Quizá se pueda explicar de
otra forma, pero lo mejor es verlo en la
animación siguiente.
El triángulo de Sierpinski es uno de los
pocos fractales que se puede dibujar con
exactitud sin ayuda de un ordenador,
siguiendo las instrucciones anteriores. En
área
fractal,
el
artículo
Koch
y
Sierpinski detalla más aspectos de este
tipo de curvas.
Triangulo de Sierpinski
Órbitas caóticas
Atractor de Lorenz
Cuando estudiamos en el colegio el
sistema solar nos dijeron que los planetas
describían órbitas elípticas. Como en todo,
eso es cierto sólo hasta cierto nivel. El
atractor de Lorenz se consigue llevando
esa incertidumbre hasta el extremo. La
imagen
es
una
representación
bidimensional y coloreada de esa figura.
Básicamente está formada por un hilo
infinitamente largo que va describiendo
una trayectoria tridimensional acercándose
y alejándose de dos puntos de atracción.
Este tipo de modelo nació con un estudio
sobre órbitas caóticas desarrollado por E.
Lorenz en 1963.
Los autómatas celulares están en
el otro extremo. Funcionan con
sencillas reglas que colorean
zonas a partir del color de las
adyacentes. Pese a que en
principio pueda parecer que las
imágenes conseguidas con este
método vayan a ser sencillas y
simétricas, no tiene por qué ser
así, como se demuestra en la
imagen.
Celular
Imágenes Fractales mas conocidas
STAR WARS: EL RETORNO DEL JEDI
Superficie de la Luna de Endor
Koch Snowflake
Sierpinski Gasket
El desarrollo de ambos se inicia con un triángulo y luego tomando
puntos intermedios se van insertando triángulos más pequeños.

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