股票K報酬率

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單元9
投資組合的風險
 利用共變異數與相關係數求出兩股票間的變異數與標準差
 兩變數的變異數矩陣
股票A
股票B
股票A
x A2  A2
x A x B AB
股票B
x A x B AB
x B2  B2
 將矩陣內所有的值加總即為投資組合A、B的變異數:
Var(投資組合)  x A2 A2  xB2 B2  2( x A xB AB )

x A代表持有股票A的比重, x A2 則為股票A持有比重的平方
 當投資組合的共變異數為正的時候,將會增加投資組合報
酬率的波動程度
 當投資組合的共變異數為負的時候,將會降低投資組合報
酬率的波動程度
2
投資組合變異數的計算
 假設一個投資組合有股票A、B,持有比重各為25%、75%,
標準差分別為0.2、0.081,股票A、B的相關係數為-0.617。
請問此投資組合的變異數與標準差為多少?
Var(投資組合)  [(0.25) 2  (0.2) 2 ]  [(0.75) 2  (0.081) 2 ]
 20.25 0.75 (0.617)  0.20 0.081
 0.0025
SD(投資組合)  0.0025  0.05  5%
3
兩個資產的效率投資組合
 假設股票A與股票B的預期報酬率與標準差如下表:
預期報酬率
標準差
股票A
26%
50%
股票B
6%
25%
 試著計算各種投資比重的預期報酬率與標準差:
投資比重
( x A , xB )
預期報酬率
標準差
(100%,0%)
26%
50%
(80%,20%)
22%
40.3%
(60%,40%)
18%
31.6%
(40%,60%)
14%
25%
(20%,80%)
10%
22.3%
(0%,100%)
6%
25%
4
兩種股票投資組合
的投資機會集合
 將各種可能持有比重連結成一條平滑曲線
A
30%
預
期
報
酬
率
(1, 0)
效率集合
25%
(0.8, 0.2)
20%
(0.6, 0.4)
15%
MV
10%
(0.4, 0.6)
(0.2, 0.8)
無效率集合
5%
(0, 1)
B
0%
10%
20%
30%
標準差
40%
50%
5
兩種股票投資組合
的投資機會集合
 當投資組合的持有比重分配落在點MV時,投資組
合會有最小的標準差
 點MV稱為最小變異數投資組合
 曲線AB稱為投資機會集合(Opportunity Set)
 如果投資人是傾向風險愛好者,那麼他的持有比重的選
擇可能會往點A移動
 如果投資人是傾向風險趨避者,那麼他的持有比重的選
擇可能就會往點MV移動
6
兩種股票投資組合的投資機會
集合
 從點B開始至點MV是呈現向後彎的狀態
 當相關係數
  0 的時候,機會集合曲線就會產生後彎現象,
當
時則不會
 0
 當兩個股票完全正相關的時候,因為完全沒有分散風險,所以投
資機會集合會呈現一條直線
 投資機會集合曲線與相關係數
  1
預
期
報
酬
率
  0.5
  0.5
 1
 0
0%
標準差
7
兩種股票投資組合
的投資機會集合
 沒有任合理性的投資人會願意將持有比重分配在後彎那一
段的投資集合線上
 當持有比重為(0, 1)與(0.4, 0.6)的時候,投資組合面臨的風險是一樣
的,但是持有比重(0.4, 0.6)的預期報酬率14%卻遠比點B的6%還要
高
 點MV到點A這段曲線又稱為效率前緣(Efficient Frontier)或
效率集合(Efficient Set);點MV到點B這段曲線則稱為無效
率集合
 投資組合的效率前緣容易求出,但投資人該如何決定持有
比重的分配才是重點,其與投資人對於風險的忍受程度以
及預期的報酬率有關
8
多個資產的投資機會集合
 多種股票所組成的投資組合,其投資機會集合可能如下:
A
預
期
報
酬
率
W
X
D
Z
MV Y
C
B
標準差
 當有多個股票的時候,投資機會集合變成一個區域
 但效率前緣仍然只有點MV到點A這段曲線
 任何在效率前緣以下的點,在相同風險下都會有比較低的預期報酬率
9
最佳投資組合
(The Optimal Portfolio)
 投資人可能會同時持有一部份的風險投資商品以及無風險
投資商品
持有比重
預期報酬率
標準差
股票A
40%
20%
30%
國庫券T
60%
6%
0%
 此投資組合的預期報酬率
 0.4  0.2  0.6  0.06  0.116
 因為國庫券T的標準差為0%,所以共變異數也等於0
 投資組合的變異數與標準差為:
Var  (0.4) 2  (0.3) 2  (0.6) 2  0  2(0.4)(0.6)(0)  0.0144
SD  0.0144  0.12
10
最佳投資組合
 這個投資組合的預期報酬率與標準差的關係如圖:
預期報酬率
A
20%
X
R f  6%
Y
(1.2, -0.2)
(0.4, 0.6)
30%
標準差
 假設投資人原先只投資股票A共1,000元,他今天再以無風險利率6%借
了200元繼續加碼投資股票A,也就是投資人總共投資股票A共1,200元,
為線上的Y點。此時投資人的預期報酬率為
1.2  0.2  (0.2)  0.06  0.228  22.8%
11
最佳投資組合
 也可以由一個無風險資產和許多有風險資產的投資組合來
構成
4
市場
投資組合
Z
3
Rf
Y
Ι (資本市場線)
A
II
2
1
B
 點Y、Z各代表一組有風險資產的投資組合
 點3可能為無風險資產與投資組合Z的組合,而點4則為借
錢投資Z的組合
12
最佳投資組合
 在直線II上的任一點,都可以在直線I上找到同樣
標準差但是預期報酬更高的投資組合
 當直線I與風險資產效率前緣相切的時候,直線I就
是提供投資人最佳投資機會的投資組合
 直線I可以視為所有資產(無風險與風險資產)的效
率前緣
13
同質性預期
 每位投資人會根據各種數據計算出他們的最佳投
資組合
 假設市場上每一位投資人的最佳投資組合都擁有
一樣的預期報酬率、標準差、共變異數,這樣的
假設稱為同質性預期
 當市場上所有的投資人有同質性預期的時,每位
投資人都會畫出一樣的風險資產效率前緣與直線I,
並找出投資組合Z
 投資組合Z就稱為市場投資組合(Market Portfolio)
 通過市場投資組合的切線我們就稱之為資本市場線
(CML)
14
個股與大盤的報酬率的關係
 在四種發生機率相等的經濟情況下,大盤指數的預期報酬
率以及盤內股票K的預期報酬率:
經濟情況
多頭市場
大盤指數
15%
股票K
30%
多頭市場
空頭市場
空頭市場
15%
-5%
-5%
20%
-10%
-20%
15
個股與大盤的報酬率的關係
 計算出大盤與股票K的預期報酬率為:
經濟情況
大盤指數
股票K
多頭市場
15%
25%=(30%+20%)/2
空頭市場
-5%
-15%=(-10%-20%)/2
 大盤在多頭市場的情況下的報酬率比空頭市場下還
要高出20%[=15%-(-5%)]
 股票K在多頭市場的報酬率比空頭市場下還要高出
40%[=25%-(-15%)]
股票K的反應程度是大盤的2倍(=40%/20%)
16
股票K的特性線
 將股票K與大盤報酬率的關係畫成下圖:
股票K報酬率(%)
25
-5
特性線
A
15
B -15
大盤報酬率(%)
 這條線我們稱為股票K的特性線(Characteristic Line)
 這條線的斜率為2,而這條線的斜率稱為股票K的β值
 股票K的報酬率會放大市場反應的2倍
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β值
 單一股票的β值是用來衡量其對於整個大盤波動的敏感程
度
 計算公式可以寫成:
 im
i  2
m
 其中 代表股票i報酬率與市場投資組合報酬率的共變異數,而
 im
則代表市場投資組合的變異數
2

m
 把市場投資組合所有個股的β值加權平均後,市場投資組
合的β值會等於1
N
x 
i 1
i
i
1
18
資本資產定價模型
 任何資產的風險溢酬應該會等於其預期報酬率(R
)
Rf
減去無風險利率 ( )
 因為β值是衡量單一資產對於市場投資組合的敏感
度,所以任何資產的風險溢酬也會等於其值乘以
市場的風險溢酬
 綜合上面的關係,我們可以推導出:
任何資產的風險溢酬 R  R f   Rm  R f 
19
資本資產定價模型
 由上式可以推得任何資產的預期報酬率會等於:
R  R f   Rm  R f

此式就稱為資本資產定價模型(Capital Asset Pricing Model,
簡稱CAPM)
 投資人對於任何資產的預期報酬率取決於兩個主要的因素:
(1) 無風險利率;(2) 該資產的風險溢酬
 該資產的風險溢酬又是由該資產的β值與市場風險溢酬決定
 當β=0時,代表該資產沒有任何風險,此時預期報酬率就
會等於無風險利率( R  R f )
 當β=1時,代表該資產的風險完全與市場風險相符,所以
預期報酬率就會等於市場報酬率
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資本資產定價模型
 根據CAPM,我們可以畫出一條證券市場線(SML):
預期報酬率
Rm  14%
M
證券市場線
R f  5%
0
β值
0.7
1
 無風險利率為截距,市場風險溢酬為斜率
21
資本資產定價模型
 證券市場線(SML)與資本市場線(CML)的差異:
 證券市場線是以β值為X軸,但是資本市場線是以標準差
為X軸
 任何單一個股或者投資組合都一定會落在SML上
 只有效率投資組合(Efficient Portfolio)才會落在CML上
E.g.假設股票A的β值為1.2,股票B的β值為0.8,無風險利率
為6%,市場平均風險溢酬為9%,請計算股票A、股票B的
預期報酬率為多少?
RA  0.06  1.2  0.09  16.8%
RB  0.06  0.8  0.09  13.2%
22
CAPM的應用—投資組合的β值
 CAPM也適用於計算投資組合的預期報酬率
E.g.假設股票A的β值為1.2,股票B的β值為0.8,無風險利率
為6%,市場平均風險溢酬為9%,投資人今天持有一個投
資組合包含股票A與股票B,持有比重各半。此投資組合的
預期報酬率為多少?
投資組合的β值為:   0.5  1.2  0.5  0.8  1
投資組合的預期報酬率為: R  0.06  1  0.09  15%
23
CAPM的應用—證券市場線
若股票落在證券市場線以下會發生什麼情形?

預期報酬率
SML
M
B
A
0.5
1
1.5
β值
 以股票A為例:股票A的β值為0.5,投資人可以持有50%的國庫券及
50%市場投資組合來達到相同風險,但報酬率卻可以落在SML上
不會有人投資股票A,於是股票A的價格就會下跌,直到預期報酬率回
到SML上
 同理可以用無風險利率借50%的資金去投資150%的市場投資組合來取
代股票B,股票B的股價仍會下跌
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CAPM的應用—資金機會成本
 我們可以利用CAPM來計算出一個投資組合的預期
報酬率,而這個預期報酬率就可以幫助我們估計
資金的機會成本
E.g.假設麥格公司今天評估一個投資計畫的內部報酬率
(IRR)為16%,目前國庫券利率為6%,而長期平均的市場風
險溢酬為9%。若公司的投資計畫的風險略小於市場投資組
合的風險,即β=0.9,請問公司應該進行此投資計畫嗎?
r  6%  0.9  9%  14.1%
此投資計畫的資金機會成本為:
 因為IRR > 14.1%,所以公司應該進行此投資計畫
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