ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Report
PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA AMBIENTAL
Química Aplicada à Engenharia Ambiental
CAPÍTULO 1
Unidades
Algarismos significativos
Algarismo correto e algarismo duvidoso
Arredondamento de dados
Algarismos significativos nos cálculos
Erro de Leitura
Exatidão e precisão
Prof.Dr. José Gilberto Jardine
Atualizada em janeiro 2012
Unidades
Grandeza física
•
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•
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
SI
metro (m)
kilograma (kg)
segundo (s)
kelvin (K)
grau centígrado(oC)
Massa molar
mol (mol)
Energia
joule (J) (Btu)
Potência
watt (W)
Densidade
(kg/m3)
Velocidade
(m/s)
Aceleração
(m/s2)
Pressão
(N/m2) = pascal (Pa)
Capacidade calorífica (J/kg.K)
Sistema Americano
pé (ft)
libra (lb)
segundo (s)
grau Rankini (oR)
grau Fahrenheit (oF)
lbmol
unidade térmica britânica
cavalo-vapor (hp)
(lbm/ft3)
(ft/s)
(ft/s2)
(lbf/in2)
(BTU/lbmoF)
Unidades
• Consistência dimensional: cada termo da equação deve ter as
mesmas unidades dos demais, para que possa ser somado, subtraído
ou igualado.
• Soma, subtração e igualdade de grandezas numéricas: só podem ser
feitas se as unidades forem as mesmas.
• Multiplicação e divisão: podem ser feitas com unidades diferentes.
• Cancelamento ou fusão: apenas de unidades idênticas.
• Fatores de conversão: são demonstrativos dos valores equivalentes
de diferentes unidades em um mesmo sistema ou em sistemas
diferentes
Unidades
Grupos adimensionais: grandezas agrupadas (por teoria ou experimentos)
que não possuem unidades.
Exemplo: Número de Reynolds (Re) = D . u . r / m
D = diâmetro do tubo (cm)
u = velocidade do fluido (cm/s)
r = densidade do fluido (g/cm3)
m = viscosidade do fluido (poise = g/cm.s)
cm
cm
s
g
cm3
cm.s
g
Unidades
A UNIDADE MOL
Comitê Internacional de Pesos e Medidas:
mol é a quantidade de substância que contém um número de entidades
elementares (átomos, moléculas, íons ou outras partículas) igual ao
número de átomos em 0,012 kg de carbono 12.
g mol = mol do sistema SI = 6,02 x 1023 moléculas
kg mol = 6,02 x 1023 x 1000 moléculas
lb mol = 6,02 x 1023 x 453,6 moléculas
O peso molecular (massa molecular) tem o mesmo valor em qualquer
dos sistemas de unidades. [A massa molecular de uma substância é a
massa de uma molécula dessa substância relativa à unidade de massa
atômica u (igual a 1/12 da massa do isótopo carbono-12, 12C). Formalmente
deve ser chamada massa molecular relativa devido a esta relação].
Unidades
Fração molar e fração mássica ou ponderal:
moles de A
fração molar de A = moles totais no sistema
fração mássica de A =
massa de A
massa total do sistema
Concentrações: quantidade de um soluto em uma quantidade especificada
de solvente ou solução.
• massa por unidade de volume - lbm /ft3, kg/m3, g/L
• partes por milhão (ppm) ou por bilhão (ppb)
• moles por unidade de volume - lb mol/ft3, kg mol/m3, g mol/L
• molaridade (g mol/L) e normalidade (equivalentes/L)
Unidades
Densidade: é a razão da massa por unidade de volume, em kg/m3,
g/cm3, lb/ft3.
Densidade dos líquidos e sólidos não varia significativamente com a
pressão, mas varia com a temperatura.
Densidade dos gases, varia com temperatura e pressão.
Densidade relativa: é uma razão adimensional. É a razão entre as
densidades da matéria de interesse e de uma matéria de referência.
A matéria de referência para sólidos e líquidos é a água a 4 oC (1,0000
g/cm3 no SI).
A densidade relativa dos gases geralmente é referida ao ar.
Unidades
Força:
F = m.a
F = força
m = massa
a = aceleração
Sistema Internacional (SI):
F é definida em newton (N), que corresponde a massa de 1 kg
acelerada a 1 m/s2
Sistema Americano:
F é definida em libras-força (lbf), que corresponde a massa de 1 lb
acelerada a 32,2 ft/s2
Unidades
Pressão: força normal por unidade de área.
Pressão na base de uma coluna estática de líquido
p = F/A = rgh + p0
p = pressão na base da coluna
F = força
A = área
r = densidade do fluido
g = aceleração da gravidade
h = altura da coluna de líquido
p0 = pressão no topo da coluna de líquido
Unidades
Unidades de pressão:
a) libra força por polegada quadrada
psia = lb f /in2 absoluta
psig = lb f /in2 manométrica
psia = psig + 14,3 lb/in2
b) milímetros de mercúrio (mm Hg)
c) pés de água ( ft H2O)
d) atmosferas (atm)
e) bars = 100 kPa
f) kg f / cm2
Unidades
Temperatura: é uma medida do estado térmico de um corpo considerando
como referência a sua capacidade de transferir calor para outros corpos.
escalas absolutas: kelvin e Rankine
escalas relativas: Celcius e Fahrenheit
zero absoluto = - 273 oC = - 460 oR
Escalas de temperaturas absolutas são aqueles que começam do zero
absoluto, que é a mais baixa temperatura teoricamente possível, é o ponto em
que as moléculas e átomos de um sistema têm a menor energia térmica
possível.
Kelvin (sistema internacional) é representado pela letra "K" e não tem
qualquer símbolo "º" de grau. Ele foi criado por William Thomson, com base
em graus Celsius, definindo o ponto zero no zero absoluto (-273,15 º C) e
mantendo a mesma escala. Foi criado no sistema internacional de unidades
Unidades
Escalas de temperaturas relativas são obtidas comparando processos físicoquímicos estabelecidos, que ocorrem sempre na mesma temperatura:
Graus Celsius (sistema internacional), é representado pelo símbolo º C. Esta
unidade de medida é definida pela escolha do ponto de congelamento da água a
0 ºC e o ponto de ebulição da água a 100 °C, ambos medidos à pressão de uma
atmosfera, e dividindo a escala em 100 partes iguais, cada um dos quais
corresponde a um grau . Essa escala foi proposta em 1742 por Anders Celsius,
físico e astrônomo sueco.
Graus Fahrenheit (Sistema Internacional): leva em consideração os pontos de
congelamento e evaporação de soluções de cloreto de amônio. Portanto, a
proposta de Gabriel Fahrenheit em 1724, define o zero e o cem em temperaturas
de congelamento e evaporação do cloreto de amônia na água.
Unidades
Transformando Unidades
Exemplo: Transforme 400 in^3/dia em cm^3/min
3
3
in 
cm  1dia
1h
cm
400
 4 ,56
 2 ,54

dia 
in  24 h 60 min
min
3
Algarismos significativos
Algarismos significativos são os algarismos que têm importância na
exatidão de um número, por exemplo, o número 2,67 tem três algarismos
significativos. Se expressarmos o número como 2,6700 , entretanto, temos
cinco algarismos significativos, pois os zeros à direita dão maior exatidão
para o número. Os exemplos a seguir têm 4 algarismos significativos:
56,00
0,2301
00000,00001000
1034
Os algarismos significativos são todos aqueles contados, da esquerda para
a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. Zeros à
esquerda não são algarismos significativos
Exemplos:
000000000003 > tem apenas um algarismo significativo
45,30cm > tem quatro algarismos significativos;
0,0595m > tem três algarismos significativos; e
0,0450kg > tem três algarismos significativos
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Vamos supor que você está efetuando a medição de um segmento de reta,
utilizando para isso uma régua graduada em centímetros.
Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de nove
centímetros e menos que dez centímetros.
Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa nove
centímetros, expressando o resultado da medição assim: 9,6 centímetros.
Ou seja, você tem um algarismos corretos (9) e um duvidoso (6), porque
este último foi estimado por você - um outro observador poderia fazer uma
estimativa diferente
Algarismos duvidosos
Ao realizar a medição de algum objeto, nunca teremos a medida exata do objeto,
utilizando uma régua, por mais precisa que seja. Isso porquê o último algarismo
dessa medição, será duvidoso.
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Uma régua comum tem divisões de centímetros e milímetros. Ao medir um
lápis, por exemplo, nota-se que o comprimento dele tem 13,5 cm, pois
aparentemente ele fica em cima dessa medida. Porém não podemos ter certeza
quanto ao algarismo 5 desse número. Poderia ser 13,49 ou 13,51. Então este
último algarismo é chamado de duvidoso, e representamos com um traço em
cima: 13,5.
Em qualquer número, o algarismo duvidoso será o último algarismo
significativo, contando da esquerda para direita.
9,9999998 = o algarismo duvidoso é o 8
14,79234320 = o algarismo duvidoso é o 0
1,00000 = o algarismo duvidoso é o último zero
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Vamos supor que agora você está efetuando a medição de um segmento de reta,
utilizando para isso uma régua graduada em milimetros.
Você observa que o segmento de reta tem um pouco mais de nove
centímetros e menos que dez centímetros.
Então, você estima o valor desse "pouco" que ultrapassa nove centímetros
e seis milimetros, expressando o resultado da medição assim: 9,65 centímetros.
Ou seja, você tem dois algarismos corretos (9 e 6) e um duvidoso (5),
porque este último foi estimado por você - um outro observador poderia fazer uma
estimativa diferente
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Zero
Zeros à esquerda do primeiro algarismo correto, antes ou depois da vírgula, não
são significativos. Refletem apenas a utilização da unidade, ou seus múltiplos e
submúltiplos.
Note que se você preferisse expressar o resultado 0,0595m em
centímetros, ao invés de metros, você escreveria 5,95cm . Nada se altera, você
continua com os mesmos três algarismos significativos.
Zeros colocados à direita do resultado da medição, são significativos.
O resultado 0,0450kg é diferente de 0,045kg , pois o primeiro tem três
algarismos significativos enquanto o segundo só tem dois. No primeiro caso, o
zero é o algarismo duvidoso, enquanto no segundo caso o algarismo duvidoso é o
cinco. Isso significa que houve maior exatidão de medição no processo para se
obter o resultado 0,0450kg.
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Zero
Um zero é significativo quando está entre
dígitos não-zeros
3 Algarismos
Significativos
401
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Zero
Um zero não é significativo quando está na frente do primeiro dígito não-zero.
1 Algarismo
Significativo
0 , 0 06
3 Algarismos
Significativos
0 , 7 09
Algarismo Correto e Algarismo Duvidoso
Zero
Um zero não é significativo quando está no final de um número sem vírgula
decimal.
2 Algarismos
Significativos
5 2 0 00
4 Algarismos
Significativos
6 8 7 10
Arredondamento de Dados
Regras para Arredondamento de Números
Para efectuar um arredondamento de um número, poderemos
considerar três situações distintas:
Se o algarismo a suprimir for inferior a 5, mantém-se o algarismo
anterior.
Exemplo: 3,234 → 3,23
Se o algarismo a suprimir for superior a 5, acrescenta-se uma unidade
ao algarismo anterior.
Exemplo: 4,38 → 4,4
Se o algarismo a suprimir for 5, o algarismo anterior mantém-se, se for
par, e aumenta uma unidade, se for ímpar.
Exemplo: 9,45 → 9,4
9,35 → 9,6
Algarismos Significativos nos Cálculos
Quando se trabalha com uma grandeza sem explicitar a sua incerteza, é preciso ter
em mente a noção exposta no texto referente ao conceito de algarismo
significativo. Mesmo que não esteja explicitada, você sabe que a incerteza afeta
diretamente o último dígito de cada número.
As operações que você efetuar com qualquer grandeza darão como resultado um
número que tem uma quantidade bem definida de algarismos significativos.
Algarismos Significativos nos Cálculos
a) Adição
Para somar parcelas com AS, devemos inicialmente fazer o arredondamento de
modo que todas as parcelas tenham o mesmo numero de casas decimais e igual à
da parcela com menos AS.
Ex: Efetuar a soma dos comprimentos
12,458cm + 3,22cm + 1,5cm
a ultima parcela é a que tem menos AS logo 12,5cm+3,2cm+1,5cm = 17,2cm
b) Subtração
O processo é semelhante à soma.
Ex: 25,482cm – 10,5cm = 25,5 – 10,5 = 15,5cm
c) Multiplicação
O fator que possuir o menor número de AS é que vai determinar o número de
AS do resultado.
Ex: 4,62m x 9,3m = 43m2 ( 3ASx2AS =2AS)
1432x2,1 = 3007 = 3,0.103(4ASx2AS=2AS)
Algarismos Significativos nos Cálculos
d) Divisão
Análogo à multiplicação
Ex: 9,2 / 2,31 = 3,98 = 4,0 ( 2AS / 3AS = 2AS )
“ O resultado de um cálculo não pode ser mais preciso que o termo menos
preciso envolvido no cálculo “
Erro
Teoria dos Erros
Experiência: Todos os alunos de uma sala de aula medem, com uma régua
milimetrada, a maior dimensão de uma mesma caixa de fósforo, anotando os
resultados. Com certeza nem todas as medidas tem o mesmo valor, apesar do
instrumento de medida ser o mesmo e a grandeza também. Mesmo que o mesmo
experimentador repetisse várias vezes as medições, provavelmente os resultados não
coincidiriam. Por que isso acontece ? O instrumento o experimentador ou os
processos de medição não são perfeitos, logo o resultado não será perfeito. O valor
verdadeiro ou absoluto somente será obtido com instrumentos perfeitos e técnicas
perfeitas.
Concluímos que o valor real difere do valor verdadeiro. A esse desvio chamamos de
erro da medida ou desvio .
Classificação dos erros
a)
b)
c)
Grosseiros
Sistemáticos
Acidentais
Erro
a)
Erros grosseiros: São aqueles causados por falta de atenção ou falta de prática
do experimentador.
·
Erros de cálculo
·
Erros de leitura ( ler 81 ao invés de 31 )
·
Erro de cópia ( transcrever 645 ao invés de 654 )
·
Erros provenientes do manuseio errado do instrumento.
·
Erro de paralaxe
Para evitar tais erros deveremos:
Repetir cuidadosamente as medições ( resultados discrepantes devem ser
rejeitados ).
Adquirir prática com o instrumento medidor.
b) Erros sistemáticos : são consequências
experimentador e do método usado.
de imperfeições do instrumento, do
c) Erros Acidentais: São aqueles
provenientes de causas indeterminadas,
temporárias, variáveis, imprevisíveis e que modificam de maneira irregular e variável o
resultado das medições. Os erros acidentais são inevitáveis , não são elimináveis nem
completamente corrigíveis .
Erro de Leitura
Representação do erro:
Erro
Absoluto
Relativo
R = 10 kW ± 500W
R = 10 kW ± 5%
Convencionou-se que o erro de um instrumento analógico é a metade da casa
decimal duvidosa.
Regua milimetrada => erro 0,5 mm
Régua centimetrada => erro 0,5 cm
Convencionou-se que o erro de um instrumento digital é uma unidade da casa
decimal duvidosa.
Erro de Leitura
Exemplos: Leitura analógica
a.1,66 tem 3 algarismos significativos. O erro máximo associado a esta medida é
0,005, dessa forma escrevemos:
1,66 ± 0,005;
b. 4,5300 tem 5 algarismos significativos. O erro máximo associado a esta medida
é 0,00005, então:
4,5300 ± 0,00005
Exatidão e precisão
Exatidão:
Concordância entre o valor obtido e o valor aceite como verdadeiro.
Precisão:
Concordância entre os valores obtidos no mesmo ensaio repetido várias
vezes.
Valores com reduzida exatidão e
elevada precisão.
Valores com elevada exatidão e
reduzida precisão.
Valores com elevada
exatidão e precisão.

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