Chapter 1 TR - Kenan Burak Ceylan Kişisel Blog

Report
OLASILIK (6BMHMAU102)
Bölüm 1
Verilerin Tanımlanması: Grafik ve
Sayısal Gösterim
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-1
Belirsizliklerle başedebilmek
Her gün almakta olduğumuz kararlar yarım
yamalak bilgilere dayanmaktadır
Örnek olarak:



Acaba mezun olduğumda iş piyasası ne alemde
olacak? İşsizlik sorun olacak mı?
Yahoo hisseleri altı ay sonra şimdikinden daha mı
yüksek olacak?
Hastanemize 1,5 Tesla yerine 3 Tesla MR cihazı
kurmak hasta potansiyelinin artışında katkı sağlar mı?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-2
Belirsizliklerle başedebilmek
(devam)
Sayılar ve veriler karar almada yardımcı
olması amacıyla kullanılmaktadır

İstatistik verileri işlemek, özetlemek, çözümlemek ve
yorumlamaya yardımcı olan bir araçtır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-3
Anahtar Tanımlar

Bir popülasyon (anakütle) araştırmaya söz konusu olan
tüm ögelerin toplamıdır


Bir örneklem (sample), popülasyonun (anakütlenin)
gözlemlenen bir alt kümesidir



N popülasyon büyüklüğünü temsil etmektedir
n rörneklem büyüklüğünü temsil etmektedir
Bir parametre, bir popülasyonun (anakütlenin) özgün bir
özelliğidir
Bir istatistik, bir örneklemin özgün bir özelliğidir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-4
Popülasyon (Anakütle) ve Örneklem
Popülasyon
(Anakütle)
a b
Örneklem
cd
b
ef gh i jk l m n
o p q rs t u v w
x y
z
Popülasyon (Anakütle) verileri
kullanılarak hesaplanmış olan
değerler parametreler olarak
anılmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
c
gi
o
n
r
u
y
Örneklem verileri kullanılarak
hesaplanmış olan değerler
istatistikler olarak anılmaktadır.
Bölüm 1-5
Popülasyon (Anakütle) Örnekleri




Türkiye Cumhuriyeti’nde kayıtlı tüm seçmenlerin
isimleri
Ankara’da yaşayan ailelerin aylık gelirleri
Türk toplumundaki 45 yaş ve üstü kadınlarda
osteoporoz görülme sıklığı
Üniversitemizdeki tüm öğrencilerin Genel Not
Ortalaması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-6
Rassal Örnekleme
Basit rassal örnekleme



popülasyonun her bir bireyinin kesin suretle şans eseri
seçildiği,
popülasyonun her bir bireyinin eşit şans oranıyla seçildiği,
n nesnenin muhtemel her bir örneğinin eşit şans oranına
sahip olduğu
bir prosedürdür.
Elde edilen örnek rassal örneklem olarak anılmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-7
Tanımlayıcı ve Çıkarımsal İstatistik
İstatistiğin iki dalı mevcuttur:

Tanımlayıcı İstatistik


verileri özetlemek ve işlemek üzere grafik ve sayısal
işlemlerin uygulanması
Çıkarımsal İstatistik

Karar vermede yardımcı olmak üzere, öngörülerde
bulunmak, tahmin yürütmek ve kestirim yapmada
verilerin kullanılması
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-8
Tanımlayıcı İstatistik

Veri toplama


Verilerin sunulması


Örneğin anket
Tablo ve grafikler
Verilerin özetlenmesi

X

örneğin, örnek ortalaması =
i
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-9
Çıkarımsal İstatistik

Kestirim


Örneğin, örneklem ortalama
ağırlığını kullanarak popülasyon
ortalama ağırlığını kestirmek
Hipotez testi

Örneğin, popülasyonun
ortalama ağırlığının 62 kg
olduğu iddiasının test edilmesi
Çıkarım örneklem sonuçlarına dayanarak bir
popülasyon hakkında sonuç çıkarma sürecidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-10
Veri Türleri
Veriler
Sayısal
Kategorik
Örnekler:



Medeni Hal
Seçmen kütüğüne
kayıtlı mısınız?
Göz rengi
(Tanımlı kategoriler
veya gruplar)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Kesikli
Örnekler:


Çocuk Sayısı
Saat başına hatalı
parça sayısı
(Sayılan ögeler)
Sürekli
Örnekler:


Ağırlık
Voltaj
(Ölçülen özellikler)
Bölüm 1-11
Ölçekler
Ölçümler arasında
fark mevcut, gerçek
sıfır mevcut
Oransal Ölçek
Nicel (Kantitatif) Veriler
Ölçümler arasında
fark mevcut fakat
gerçek sıfır mevcut
değil
Sıralı Kategoriler
(sıralamalar, sıra veya
dereceleme)
Aralık Ölçeği
Sıralayıcı (Ordinal) Ölçek
Nitel (Kalitatif) Veriler
Kategoriler (sıralama
veya yön mevcut değil)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sınıflayıcı (Nominal) Ölçek
Bölüm 1-12
Verilerin Grafik olarak
Sunulması



İşlenmemiş (ham) formdaki verilerin karar
vermek amacıyla kullanılması kolay değildir.
Bazı düzenleme (organizasyon) türleri
gerekmektedir
 Tablo
 Grafik
Kullanılacak grafik türü özetlenmiş olan
değişkene bağlıdır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-13
Verilerin Grafik olarak
Sunulması
(devam)

Bu bölümde gözden geçirilen teknikler:
Kategorik
Değişkenler
• Frekans Dağılımı
• Çubuk grafik
• Dilim grafiği
• Pareto diyagramı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sayısal
Değişkenler
• Çizgi Grafiği
• Frekans Dağılımı
• Histogram ve Birikimli
Frekans Poligonu
•Yaprak-gövde grafiği
• Dağılım grafiği
Bölüm 1-14
Kategorik Değişkenler için
Tablolar ve Grafikler
Kategorik
Veriler
Verileri
tablolaştırmak
Frekans
Dağılımı
Tablosu
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Verileri grafiklemek
Çubuk
Grafik
Dilim
Grafiği
Pareto
Diagramı
Bölüm 1-15
Frekans Dağılımı Tablosu
Verileri kategoriye göre özetleme
Örnek: Hastanede yatan hastalar ve birimler
Hastane Birimi
Kardiyak Bakım
Acil Servis
Yoğun Bakım
Doğum Servisi
Cerrahi
Hasta Sayısı
1.052
2.245
340
552
4.630
(Değişkenler
kategoriktir)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-16
Çubuk ve Dilim Grafikleri


Çubuk Grafikleri ve Dilim Grafikleri sıklıkla
niteliksel (kategori) veriler için kullanılmaktadır.
Çubuğun yüksekliği veya dilimin büyüklüğü her
bir kategorinin frekansını veya yüzdesini
göstermektedir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-17
Çubuk Grafiği (Örnek)
Hasta
Sayısı
1.052
2.245
340
552
4.630
Birim Başına Hastanede Yatan Hasta
5000
Yıllık Yatan hasta sayısı
Hastane
Birimi
Kardiyak Bakım
Acil Servis
Yoğun Bakım
Doğum Servisi
Cerrahi
4000
3000
2000
1000
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Cerrahi
Doğum
Servisi
Yoğun
Bakım
Acil
Servis
Kardiya
k Bakım
0
Bölüm 1-18
Dilim Grafiği (Örnek)
Hastane
Birimi
Kardiyak Bakım
Acil Servis
Yoğun Bakım
Doğum Servisi
Cerrahi
Hasta
Sayısı
1.052
2.245
340
552
4.630
Toplamın
%’si
Birim başına Hastanede yatan hasta sayısı
11,93
25,46
3,86
6,26
52,50
Kardiyak Bakım
12%
Cerrahi
53%
(Yüzde oranları
en yakın
yüzdelere
yuvarlatılmıştır)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Acil Servis
25%
Yoğun Bakım Doğum
4%
Servisi
6%
Bölüm 1-19
Pareto Diagramı




Kategorik verileri betimleme üzere
kullanılmaktadır
Kategorilerin sıklık değerlerinin büyükten
küçüğe sıralanmış olduğu bir çubuk grafiğidir
Bir kümülatif poligon genellikle aynı grafikte
gösterilmektedir
“Hayati önemi olan azınlığı” “Önemsiz
çoğunluktan” ayırt etmede kullanılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-20
Pareto Diagramı (Örnek)
Örnek: Hatanın nedeni için 400 arızalı (hatalı)
öge incelenmektedir:
İmalat Hatası kaynağı
Hata Sayısı
Kötü Lehim
34
Yetersiz Hizalama
223
Eksik Parça
25
Boyama kusuru
78
Elektrik kısa devresi
19
Çatlak kasa
21
Toplam
400
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-21
Pareto Diagramı (Örnek)
(devam)
Adım 1: Hata nedenini büyükten küçüğe sıralayınız
Adım 2: Her bir kategoride %’yi belirleyiniz
İmalat Hatası kaynağı
Hata Sayısı
Toplam hatanın %’si
Yetersiz Hizalama
223
55.75
Boyama kusuru
78
19.50
Kötü Lehim
34
8.50
Eksik Parça
25
6.25
Çatlak kasa
21
5.25
Elektrik kısa devresi
19
4.75
Toplam
400
%100
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-22
Pareto Diagramı (Örnek)
(devam)
Adım 3: Sonuçları grafik olarak gösteriniz
100%
60%
90%
50%
80%
70%
40%
60%
50%
30%
40%
20%
30%
20%
10%
10%
0%
0%
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Yetersiz Hizalama
Boyama Kusuru
Kötü Lehim
Eksik Parça
Çatlak Kasa
Elektrik Kısa Devre
kümülatif % (çizgi grafiği)
Her bir kategorideki hataların
%’si (çubuk grafiği)
Pareto Diagramı: İmalat hatalarının nedeni
Bölüm 1-23
Zaman Serisi Verileri için Grafikler



Bir çizgi grafiği (zaman serileri grafiği) bir
değişkenin zamana göre değişimini göstermek
üzere kullanılmaktadır
Zaman yatay eksende ölçülmektedir
Söz konusu değişken dikey eksende
ölçülmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-24
Çizgi Grafiği (Örnek)
Abone Sayısı (×1000)
Yıllık Dergi Abonelikleri
350
300
250
200
150
100
50
0
2006
2005
2004
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
1994
1993
1992
1991
1990
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-25
Sayısal Değişkenleri Tanımlamada
Grafiklerin Kullanılması
Sayısal Veriler
Frekans Dağılımları ve
Kümülatif Dağılımlar
Histogram
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Yaprak-Gövde
Grafiği
Birikimli Frekans
Poligonu (Ogive)
Bölüm 1-26
Frekans Dağılımları
Frekans Dağılımı nedir?



Bir Frekans Dağılımı bir liste veya bir tablodur…
sınıf gruplamalarını (verilerin içerisinde yer aldığı
kategoriler veya aralıklar) içermektedir...
Bu kategorilere karşılık gelen ve verilerin her bir
sınıf veya kategori içerisinde yer aldığı frekansları
içermektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-27
Frekans Dağılımları Neden
Kullanılmaktadır?



Bir frekans dağılımı bir veri özetleme
yoludur
Dağılım ham veriye daha faydalı bir
şekilde bir araya getirmektedir...
ve verinin görsel olarak hızla
yorumlanmasına olanak tanımaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-28
Sınıf Aralıkları ve Sınıf Sınırları





Her bir sınıf gruplaması aynı genişliğe sahiptir
Her bir aralığın genişliğini belirleyiniz
En azından 5 fakat 15-20’den daha fazla sayıda
olmayan aralıklar kullanınız
Aralıklar asla birbirine geçmemeli
Arzu edilen uç değerleri elde etmek için aralık
genişliğini yuvarlatınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-29
Frekans Dağılımı (Örnek)
Örnek: Bir yalıtım malzemesi imalatçısı kış
mevsimine ait 20 gün seçmekte ve günlük en
yüksek sıcaklıklarını kaydetmektedir.
24, 35, 17, 21, 24, 37, 26, 46, 58, 30,
32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-30
Frekans Dağılımı (Örnek)
(devam)

Han veriyi küçükten büyüğe doğru sıralayınız:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

Açıklığı (Range) bulunuz: 58 - 12 = 46

Sınıf sayısını seçiniz: 5 (genellikle 5 ile 15 arası)

Aralık genişliğini hesaplayınız: 10
(46/5 daha sonra
yuvarlayınız)

Aralık sınırlarını belirleyiniz: 10 fakat 20’den daha düşük, 20
fakat 30’dan daha düşük, . . . , 60 fakat 70’den daha düşük

Gözlemleri sayınız ve sınıflara atayınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-31
Frekans Dağılımı (Örnek)
(devam)
Sıralı dizi halindeki veriler:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Göreceli
Frekans
Aralık
10 ile 20
20 ile 30
30 ile 40
40 ile 50
50 ile 60
Toplam
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
3
6
5
4
2
20
0,15
0,30
0,25
0,20
0,10
1,00
Yüzde
15
30
25
20
10
100
Bölüm 1-32
Histogram




Bir frekans dağılımındaki verinin grafiği
histogram olarak anılmaktadır
Aralık uç değerleri yatay eksende
gösterilmektedir
Dikey eksen hem frekans, hem göreceli
frekans hem de yüzde değerini
göstermektedir.
Uygun yüksekliklerdeki çubuklar her bir sınıf
içindeki gözlem sayısını temsil etmek üzere
kullanılmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-33
Histogram (Örnek)
10 ile 20
20 ile 30
30 ile 40
40 ile 50
50 ile 60
Frekans
3
6
5
4
2
6
5
Frekans
Aralık
Histogram:
En Yüksek
Günlük Sıcaklık
10
3
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
4
2
0
0
(Çubuklar
arasındaki
boşluk
yok)
5
0
0 10 20 30 40 50 60
0
10
20 30 40
50 60
Derece cinsinden sıcaklık
70
Bölüm 1-34
Excel’de Histogram
1
Data Sekmesini seçiniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
Data Analysis menüsünü tıklayınız
Bölüm 1-35
Excel’de Histogram
(devam)
3
Histogram’ı seçiniz
(
Input data range and bin
range (bin range her bir sınıf
4
gruplaması için en üst uç değeri
de kapsayan bir hücre aralığıdır)
Select Chart Output’u
seçiniz ve “OK” yi
tıklayınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-36
Verileri aralıklar halinde gruplarken
sorulması gereken sorular

1. Aralık hangi genişlikte olmalıdır?
(Kaç adet sınıf kullanılmalıdır?)

2. Aralıkların uç değerleri nasıl belirlenmelidir?



Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Kullanıcının değerlendirmesine bağlı olarak
genellikle deneme ve yanılma yöntemiyle
cevaplandırılır
Amaç ne “düzensiz” ne de “yığınlı” bir dağılım
oluşturmamaktır.
Amaç verilerdeki varyasyon örüntüsünü uygun bir
şekilde göstermektir.
Bölüm 1-37
Kaç adet aralık olmalı?
3.5
Pek çok (Dar sınıf aralığı)


varyasyonu çok fazla sıkıştırabilir ve
yığılmış bir dağılımla
sonuçlanabilmektedir.
önemli varyasyon örüntülerini
gizleyebilir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
1.5
1
0.5
60
Sıcaklık
Daha Fazla
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
8
12
0
12
Çok az (Geniş sınıf aralığı)

2.5
4

Boş sınıflardan gelen boşluklarla çok
düzensiz bir dağılım ile
sonuçlanmaktadır
Sınıflar arasında frekansın nasıl
değiştiğine dair yetersiz bir gösterge
verebilir
Frekans

3
10
Frekans

8
6
4
2
0
0
30
60
Daha Fazla
Sıcaklık
(X eksen üst sınıf uç değerleridir)
Bölüm 1-38
Birikimli (Kümülatif) Frekans Dağılımı
Sıralanmış dizi halindeki veriler:
12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58
Sınıf
Birikimli
Birikimli
(Kümülatif) (Kümülatif)
Frekans
Yüzde
Frekans
Yüzde
10 ile 20
3
15
3
15
20 ile 30
6
30
9
45
30 ile 40
5
25
14
70
40 ile 50
4
20
18
90
50 ile 60
2
10
20
100
20
100
Toplam
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-39
Birikimli (Kümülatif) Frekans Grafiği
(Ogive)
10’dan düşük
10 ile 20
20 ile 30
30 ile 40
40 ile 50
50 ile 60
10
20
30
40
50
60
0
15
45
70
90
100
Birikimli Frekans Poligonu: Günlük en
yüksek sıcaklık
100
Kümülatif Yüzde
Aralık
Üst
Birikimli
Aralık Uç (Kümülatif)
Değeri
Yüzde
80
60
40
20
0
10
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
20
50
40
30
Aralık uç değerleri
60
Bölüm 1-40
Gövde ve Yaprak Tablosu

Bir veri kümesinde dağılımın ayrıntılarını
görebilmenin basit bir yoludur
YÖNTEM: Sıralanmış veri serilerini
en baştaki basamaklarına (gövde) ve
bunu izleyen diğer basamaklarına (yaprak)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-41
Örnek
Sıralanmış dizi halindeki veriler:
21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

Burada gövde birimi için 10’lar basamağını
kullanınız:
Gövde Yaprak


21’in gösterilişi
38 ’in gösterilişi
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
3
1
8
Bölüm 1-42
Örnek
(devam)
Sıralanmış dizi halindeki veriler:
21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 38, 41

Tamamlanmış gövde-yaprak grafiği:
Gövde Yapraklar
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
1 4 4 6 7 7
3
0 2 8
4
1
Bölüm 1-43
Diğer gövde birimlerinin
kullanılması

100’ler basamağını gövde olarak kullanırken:

Yaprakları oluştururken 10’lar basamağını yuvarlatınız
Stem
Leaf

613 dönüşeceği sayı
6
1

776 dönüşeceği sayı
7
8
12
2


...
1224 dönüşeceği sayı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-44
Diğer gövde birimlerinin
kullanılması
(devam)


100’ler basamağını gövde olarak kullanırken:
:

Tamamlanmış gövde-yaprak tablosu:
Veriler:
613, 632, 658, 717,
722, 750, 776, 827,
841, 859, 863, 891,
894, 906, 928, 933,
955, 982, 1034,
1047,1056, 1140,
1169, 1224
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Gövde Yapraklar
6
136
7
2258
8
346699
9
13368
10
356
11
47
12
2
Bölüm 1-45
Değişkenler arası ilişkiler


Şu ana dek bahsi geçen grafikler sadece tek bir
değişkenin dahil olduğu durumlar içindi
İki değişken’in mevcut olduğu durumlarda
başka teknikler kullanılmaktadır:
Kategorik
(Nitel)
Değişkenler
Sayısal
(Nitel)
Değişkenler
Çapraz Tablolar
Dağılım Grafiği
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-46
Serpilme (Dağılma) Grafikleri


Serpilme (Dağılma)Grafikleri iki
sayısal değişkenden alınmış olan ikili
gözlemler için kullanılmaktadır.
Serpilme Grafiği:
 Bir değişken dikey eksende
ölçülmektedir ve diğer değişken yatay
eksende ölçülmektedir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-47
Serpilme (Dağılma) Örnek
Günlük maliyet-Üretim Hacmi
Günlük
Maliyet
23
125
26
140
29
146
33
160
38
167
42
170
50
188
55
195
60
200
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
250
200
Günlük Maliyet
Günlük
Hacim
150
100
50
0
0
20
40
60
Günlük Hacim
80
Bölüm 1-48
Excel’de Serpilme (Dağılma)
Grafikleri
1 Insert sekmesini seçiniz
2 Charts bölümünden
Scatter’ı seçiniz
3 Seçilip başlatıldığında, veri açıklığını (range), istenen
göstergeyi (legend) ve dağılım diyagramını tamamlamak
üzere istenen yönü (destination) seçiniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-49
Çapraz Tablolar


Çapraz tablolar (veya kontenjans tabloları) iki
kategorik veya ordinal değişken için her bir
değer kombinasyonu için gözlem sayısını
listelemektedir.
Eğer ilk değişken (satırlar) için r kategori ve
ikinci değişken için c kategori mevcut ise,
tablo r x c çapraz tablosu olarak anılmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-50
Çapraz Tablolar Örnek

4 x 3 Çapraz Tablo (Yatırımcının Yatırım Tercihleri için
(Değerler 1000 $ olarak sunulmuştur)
Yatırım
Kategorisi
Yatırımcı A
Yatırımcı B
Yatırımcı C
Toplam
Hisse
46,5
55
27,5
129
Bono
CD
Tasarruf
32,0
15,5
16,0
44
20
28
19,0
13,5
7,0
95
49
51
Toplam
110,0
147
67,0
324
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-51
Çok Değişkenli Kategorik
Verilerin Grafikle Gösterimi
(devam)

Yan-yana Çubuk Grafik
Yatrımcıların Karşılaştırılması
Tasarruf
CD
Bono
Hisse
0
10
Yatırımcı C
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
20
30
Yatırımcı B
40
50
60
Yatırımcı A
Bölüm 1-52
Yan-yana Çubuk Grafik (Örnek)

Üç satış bölgesi için yıl içinde üçer aylık dönemlerdeki satışlar
Doğu
Batı
Kuzey
Yılın
Yılın
İlk
İkinci
çeyreği Çeyreği
20.4
27.4
30.6
38.6
45.9
46.9
Yılın
Yılın
Üçüncü Dördüncü
Çeyreği Çeyreği
59
20.4
34.6
31.6
45
43.9
Doğu
Batı
Kuzey
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-53
Veri Sunum Hataları
Etkin veri sunumu amaçları:

Esas bilgiyi göstermek üzere verilerin
sunulması

Karmaşık fikirlerin net ve kesin olarak iletilmesi

Mesajın yanlış iletebilecek çarpıklıktan
kaçınılmalı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-54
Veri Sunum Hataları
(devam)




Eşit olmayan histogram aralık
genişliği
Dikey eksenin sıkıştırılması veya
çarpıtılması
Dikey eksende sıfır noktasının
sağlanmaması
Gruplar arası verileri
karşılaştırırken bir nispi tabanın
sağlanmasında hata yapılması.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-55
Verinin Sayısal olarak
Betimlenmesi
Verinin Sayısal olarak
Betimlenmesi
Merkezi Eğilim
Varyasyon
Aritmetik Ortalama
Açıklık
Ortanca (Medyan)
Dördebölenler
Açıklığı
Varyans
En sık Değer
(Mod)
Standart Sapma
Varyasyon katsayısı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-56
Merkezi Eğilim Ölçütleri
Özet
Merkezi Eğilim
Ortalama
Ortanca (Medyan)
En sık Değer (Mod)
n
x 
x
i
i1
n
Aritmetik
ortalama
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sıralanmış
değerlerin orta
noktası
En sık
gözlenen değer
Bölüm 1-57
Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama (ortalama) en yaygın merkezi
eğilim ölçütüdür

N değerli bir anakütle (popülasyon) için:
N
μ
x
i
i1

N

x1  x 2    xN
Anakütle
(Popülasyon)
değerleri
N
Anakütle
(Popülasyon)
n büyüklüğündeki bir örneklem için: büyüklüğü
n
x 
x
i1
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
i

x1  x 2    xn
n
Gözlemlenen
değerler
Örneklem büyüklüğü
Bölüm 1-58
Aritmetik Ortalama
(devam)



En yaygın merkezi eğilim ölçütü
Ortalama = Değerlerin toplamının değer sayısına
bölünmesi
Ekstrem değerler tarafından etkilenmiştir (aykırı değerler)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ortalama = 3
1 2  3  4  5
5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

15
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ortalama = 4
3
1  2  3  4  10
5

20
 4
5
Bölüm 1-59
Ortanca (Medyan)

Sıralı bir listede, ortanca (medyan) “ortadaki”
sayıdır (%50 altında, %50 üstünde)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Medyan = 3
Medyan = 3

Ekstrem değerlerden etkilenmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-60
Ortancanın (Medyan) Bulunması

Medyanın konumu:



Eğer değerlerin sayısı tek ise, medyan ortadaki sayıdır.
Eğer değerlerin sayısı çift ise, medyan ortadaki iki sayının
ortalamasıdır
n1
‘nin medyanın değeri olmadığına sadece
2
sıralanmış veriler arasında medyanın pozisyonu
olduğuna dikkat ediniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-61
Ortancanın (Medyan) Bulunması

Sınıflandırılmış Verilerde Ortancanın Hesabı:


Sınıflar yazılır.
Birikimli Frekans (BFi) bulunur.



Birikimli Frekans her sınıfın frekansının bir önceki
frekanslarla toplamıdır.
Bu toplam her sınıfın karşısına yazılır.
Sınıflandırılmış verilerde ortanca formülü:
 n
 2  B Fi
O r tan ca  L  
f


 AS i  Ü S i 1 
L

2


Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER


 .C


L: Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın ara değeri.
Ortancanın bulunduğu sınıfın alt değeri (ASi) ile bir
önceki sınıfın üst değerin (Üsi-1) ortalamasıdır
BFi: Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın birikimli
frekansı
f: Ortancanın içinde bulunduğu sınıfın frekansı.
n: Denek sayısı
Bölüm 1-62
Ortancanın (Medyan) Bulunması

Üsi-1
Asi
Sınıflandırılmış Verilerde Ortancanın Hesabı:
Yaş (Yıl)
f
BFi
15-19
50
50
20-24
75
125
25-29
100
225
30-34
150
(375)
35-39
90
465
40-44
70
535
45-49
45
580
Toplam
580
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
 AS i  Ü S i 1  29  30
L
 29 . 5

2
2


 n
  B Fi
O r tan ca  L   2
f




 .C


 580
 2  225 i
O r tan ca  29 , 5  
150




 . 5  31 , 67


Bölüm 1-63
En sık Değer (Mod)






Bir merkezi eğilim ölçütüdür
En sık rastlanan değerdir
Ekstrem değerlerden etkilenmez
Hem kategorik hem de sayısal veriler için
kullanılmaktadır
En sık Değer (Mod) mevcut olmayabilir
Birkaç adet mod mevcut olabilir
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mod = 9
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0 1 2 3 4 5 6
Mod mevcut değil
Bölüm 1-64
Alıştırma Örneği

Sahilden tepeye kadar beş ev mevcut
$2,000 K
Ev fiyatları:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000
$500 K
$300 K
$100 K
$100 K
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-65
Alıştırma Örneği :
Özet İstatistikler
Ev Fiyatları:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000


Toplam 3,000,000

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Ortalama: ($3,000,000/5)
= $600,000
Medyan: sıralanmış verilerin en
ortasındaki değer
= $300,000
Mod: en sık sık rastlanan değer
= $100,000
Bölüm 1-66
Hangi konum ölçütü “en iyisidir”?


Ekstrem (aykırı) değerler mevcut olması
haricinde genellikle ortalama kullanılmaktadır.
..
Ortalama sıklıkla kullanılmaktadır çünkü
medyan ekstrem değerlere duyarlı değildir.

Örnek: Medyan ev fiyatları bir bölge için bildirilebiliraykırı değerlere az duyarlıdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-67
Dağılımın Şekli

Verilerin nasıl dağıldığını göstermektedir

Şekil ölçütleri

Simetrik veya eğimli
Sola-eğimli
Ortalama < Medyan
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Simetrik
Ortalama = Medyan
Sağa-eğimli
Medyan < Ortalama
Bölüm 1-68
Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama

Bir değişkenin zamana göre değişim oranını ölçmek
üzere kullanılmaktadır
xg 
n
(x 1  x 2    x n )  (x 1  x 2    x n )
log x g 
1
1/n
n
log x

n
i
i 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-69
Örnek
Bir köyün son 5 yıllık nüfusları 325, 400, 545, 690 ve
850 ise, beş yıllık ortalama nedir?
1. Yol:
xg 
5
325  400  545  690  850  529 . 32
2. Yol:
lo g x g 
1
5
5

lo g x i 
i 1
1
x g  a n ti lo g 
5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
 lo g
1
5
 lo g
3 2 5  lo g 4 0 0  ... lo g 8 5 0 

3 2 5  lo g 4 0 0  ...lo g 8 5 0    5 2 9 . 3 2

Bölüm 1-70
Değişkenlik Ölçütleri
Varyasyon
Açıklık
(Range)

Dördebölenler
açıklığı
(Interquartile
Range)
Varyans
Standart
Sapma
Varyasyon
Katsayısı
Varyasyon ölçütleri veri
değerlerinin yayılımı veya
varyasyonu üzerine bilgi
vermektedir.
Aynı merkez,
farklı varyasyon
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-71
Açıklık (Range)


En basit varyasyon ölçütü
En büyük ve en küçük gözlem arasındaki fark:
Açıklık = Xen büyük – Xen küçük
Örnek:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14
Açıklık = 14 - 1 = 13
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-72
Açıklığın Dezavantajları

Verinin dağıtılma yolunu ihmal etmektedir
7
8
9
10
11
Açıklık = 12 - 7 = 5

12
7
8
9
10
11
12
Açıklık = 12 - 7 = 5
Aykırı değerlere karşı hassastır
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Açıklık = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Açıklık = 120 - 1 = 119
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-73
Dördebölenler Açıklığı



Dördebölenler açıklığı kullanılarak bazı aykırı
değer problemleri giderilebilmektedir
Yüksek ve düşük değerli gözlemler
giderilebilmektedir ve verilerin %50’sinin
ortasının açıklığı hesaplanabilmektedir
Dördebölenler açıklığı = 3’üncü dördebölen – 1’inci dördebölen:
IQR = Q3 – Q1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-74
Dördebölenler Açıklığı
Kutu Grafiği
Örnek:
X
minimum
Q1
25%
12
Medyan
Q3
(Q2)
25%
30
25%
45
X
maksimum
25%
57
70
Dördebölenler açıklığı = 57 – 30 = 27
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-75
Dördebölenler (Kartiller)
Dördebölenler (Kartiller) sıralanmış verileri segment başına
eşit değer sayısı olacak şekilde 4 segmente bölmektedir

25%
Q1



25%
25%
Q2
25%
Q3
İlk dördebölen (kartil) Q1, gözlemlerin %25’inin daha düşük
değerde olduğu ve %75’inin daha yüksek değerde olduğu
gözlem değeridir
Q2 medyan ile aynıdır (%50 daha küçük, %50 daha büyük)
Üçüncü dördebölende (kartil) Q3 gözlemlerin sadece %25’i
daha büyüktür
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-76
Dördebölen (Kartil) Formülleri
Bir dördebölen (kartil) sıralanmış veriler içinde
uygun pozisyondaki değeri belirleyerek aşağıdaki
formüllerle bulunur
İlk dördebölen (kartil) pozisyonu:
Q1 = 0,25(n+1)
İkinci dördebölen (kartil) pozisyonu : Q2 = 0,50(n+1)
(medyan pozisyonu)
Üçüncü dördebölen (kartil) pozisyonu: Q3 = 0,75(n+1)
n gözlemlenmiş değerlerin sayısıdır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-77
Kartiller

Örnek: İlk dördeböleni (kartil) bulunuz
Örnek sıralanmış veriler: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
(n = 9)
Q1 = sıralı verilerin 0,25(9+1) = 2,5’uncu pozisyonunda
o halde 2’inci ve 3’üncü değerler arasındaki yarım yolu
kullanınız [(13-12)/2], o da
Q1 = 12,5
Q1 değeri  12   13  12   0 , 5    12 , 5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-78
Kartiller

Örnek: İlk dördeböleni (kartil) bulunuz
Örnek sıralanmış veriler: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
(n = 9)
Q3 = sıralı verilerin 0,75(9+1) = 7,5’uncu pozisyonunda
o halde 7’inci ve 8’inci değerler arasındaki yarım yolu
[(21-18)/2] kullanınız, o da
Q3 = 19,5
Q 3 değeri  18    21  18   0 , 5    19 , 5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-79
Anakütle (Popülasyon) Varyansı

Ortalamadan olan sapmaların karelerinin
ortalamasıdır

N
Anakütle (Popülasyon) varyansı:
σ 
2
 (x
i
 μ)
2
i1
N
μ = popülasyon ortalaması
N = popülasyon büyüklüğü
xi = x değişkeninin i’inci değeri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-80
Örneklem Varyansı

Değerlerin ortalamadan olan sapmalarının
karelerini ortalaması (yaklaşık olarak)
n

Örneklem varyansı:
s 
2
 (x
i
 x)
2
i1
n -1
X = aritmetik ortalama
n = örneklem büyüklüğü
Xi = X değişkeninin i’inci değeri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-81
Anakütle (Popülasyon) Standart
Sapması



En yaygın kullanılan varyasyon ölçütüdür.
Ortalamaya göre varyasyonu göstermektedir.
Orijinal verilerle aynı birime sahiptir

Anakütle (Popülasyon) standart sapması:
N
σ 
 (x
i
 μ)
2
i1
N
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-82
Örneklem Standart Sapması



En yaygın kullanılan varyasyon ölçütüdür.
Ortalamaya göre varyasyonu göstermektedir.
Orijinal verilerle aynı birime sahiptir

Örneklem standart sapması:
n
S 

(x i  x )
2
i1
n -1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-83
Hesaplama Örneği:
Örneklem Standart Sapması
Örnek
Veriler (xi):
10
12
14
n=8

18
18
24
Ortalama = x = 16
2
2
2
n 1
(10  16)  (12  16)  (14  16)    (24  16)
2

17
(10  X )  (12  x)  (14  x)    (24  x)
2
s 
15
2
2
2
8 1
126
7
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

4.2426
Ortalama çevresindeki
“ortalama” serpilmenin bir
ölçütü
Bölüm 1-84
Varyasyonun Ölçümü
Küçük standart sapma
Büyük standart sapma
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-85
Standart Sapmaların
karşılaştırılması
Veri A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20 21
Ortalama = 15.5
s = 3.338
20 21
Ortalama = 15.5
s = 0.926
20 21
Ortalama = 15.5
s = 4.570
Veri B
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Veri C
11
12
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
13
14
15
16
17
18
19
Bölüm 1-86
Varyans ve Standart Sapmanın
Avantajları


Veri setindeki her bir değer hesaplamalarda
kullanılmaktadır
Ortalamadan daha uzaktaki değerlere ekstra
ağırlık verilmektedir
(çünkü ortalamadan sapmaların karesi alınmaktadır)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-87
Varyasyon Katsayısı

Nispi varyasyonu ölçmektedir.

Daima yüzde (%) cinsindendir.

Ortalamaya göreceli varyasyonu göstermektedir.

Farklı birimlerdeki iki veya daha fazla kümeyi
karşılaştırmak üzere kullanılabilmektedir
 s 

CV  
 x   100%


Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-88
Varyasyon Katsayısını
Karşılaştırmak


Hisse A:
 Geçen yılın ortalama fiyatı = $50
 Standart sapma = $5
s
$5
CVA     100% 
 100%  10%
$50
x 
Hisse B:


Geçen yılın ortalama fiyatı = $100
Standart sapma = $5
s
$5
CVB     100% 
 100%  5%
$100
x 
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Her iki hisse de
aynı standart
sapmaya
sahiptir fakat
Hisse B fiyatına
nispeten daha
az değişkendir
Bölüm 1-89
Microsoft Excel’i kullanmak

Betimleyici İstatistik Microsoft® Excel’den
elde edilebilmektedir

Seçiniz:
data / data analysis / descriptive statistics

Diyalog kutusuna detayları giriniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-90
Excel’i kullanmak

Seçiniz data / data analysis / descriptive statistics
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-91
Excel’i kullanmak



Girdi açıklığı (
input range)
ayrıntılarını
giriniz
Özet istatistikler
(summary
statistics)
kutucuğunu
işaretleyiniz
OK’i tıklayınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-92
Excel çıkıtısı
Ev fiyatları verisini kullanarak
Microsoft Excel
betimsel istatistik çıktısı elde etmek:
Ev fiyatları:
$2,000,000
500,000
300,000
100,000
100,000
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-93
Chebychev Teoremi

μ ortalaması ve σ standart sapmasına sahip
olan her hangi bir popülasyon ve k > 1 için,
[μ + kσ]
aralığı içine düşen gözlemlerin yüzdesi en
düşük olarak
100[1  (1/k )]%
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-94
Chebychev Teoremi
(devam)

Verilerin nasıl dağıldığına bakılmaksızın
değerlerin en azından (1 - 1/k2)’si ortalamanın
k standart sapmaları içine düşmektedir (k > 1
için)

Örnekler:
En düşük
içerisinde
(1 - 1/1.52) = %55.6 ……... k = 1,5 (μ ± 1,5σ)
(1 - 1/22) = %75 …........... k = 2 (μ ± 2σ)
(1 - 1/32) = %89 …….…... k = 3 (μ ± 3σ)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-95
Ampirik Kural (Parmak Hesabı Kuralı)


Eğer veri dağılımı çan eğrisi şeklindeyse, o
halde aralıklar aşağıdaki gibidir:
μ  1 σ Anakütle (popülasyon) veya örneklemdeki
değerlerin yaklaşık %68’sini içermektedir
68%
μ
μ  1σ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-96
Ampirik Kural (Parmak Hesabı Kuralı)


μ  2σ
Anakütle (popülasyon) veya örneklemdeki
değerlerin yaklaşık %95’ini içermektedir
Anakütle (popülasyon) veya örnekteki
μ  3σ
değerlerin yaklaşık hemen hemen hepsini
(yaklaşık %99.7’sini)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
95%
99.7%
μ  2σ
μ  3σ
Bölüm 1-97
Tartılı Ortalama

Bir veri kümesinin tartılı ortalaması gibidir
n
x 
w
i1
n


i
xi

w 1x 1  w 2 x 2    w n x n
n
wi i’inci gözlemin ağırlığıdır ve n 
w
i
Şayet veriler zaten i’inci sınıfta wi değeri ile n sınıfa
gruplandırılmışsa kullanılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-98
Gruplandırılmış veriler için
yaklaştırma
Verilerin f1, f2, . . . fK frekansları ve m1, m2, . . ., mK orta
noktaları ile K sınıf içinde sınıflandırıldığını varsayınız

n gözlemlik bir örnek için, ortalama aşağıdaki gibidir
K
 fm
i
x 
i1
i
K
n 
f
i
i 1
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-99
Gruplandırılmış veriler için
yaklaştırma
Verilerin f1, f2, . . . fK frekansları ve m1, m2, . . ., mK orta
noktaları ile K sınıf içinde sınıflandırıldığını varsayınız

n gözlemlik bir örnek için, varyans aşağıdaki gibidir
K
s 
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

f i (m i  x )
2
i1
n 1
Bölüm 1-100
Örnek Ortak Varyansı (Kovaryansı)


Kovaryans iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin büyüklüğünü
ölçmektedir
Anakütle (Popülasyon) kovaryansı:
N
Cov (x , y)   xy 

 (x
i
  x )(y i   y )
i1
N
Örneklem kovaryansı:
n
Cov (x , y)  s xy 


 (x
i
 x )(y i  y )
i1
n 1
Sadece ilişkilerin büyüklüğü ile ilgilidir
Hiçbir nedensel etkiyi belirtmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-101
Ortak Varyansın (Kovaryans)
yorumlanması

İki değişken arasındaki Ortak Varyans (Kovaryans):
Cov(x,y) > 0
x ve y aynı doğrultuda olma eğilimi göstermektedir
Cov(x,y) < 0
x ve y zıt doğrultuda olma eğilimi göstermektedir
Cov(x,y) = 0
x ve y bağımsızdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-102
Korelasyon Katsayısı


İki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin büyüklüğünü
ölçmektedir
Anakütle (Popülasyon) korelasyon katsayısı:
ρ

Cov (x , y)
σXσY
Örneklem korelasyon katsayısı:
r
Cov (x , y)
sX sY
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-103
Korelasyon Katsayısı r’nin
Özellikleri

Birimsizdir

-1 ile 1 arasında yer almaktadır



Ne kadar -1’e yakın ise, o denli kuvvetli bir negatif
doğrusal ilişki mevcuttur
Ne kadar 1’e yakın ise, o denli kuvvetli bir pozitif
doğrusal ilişki mevcuttur
Ne kadar 0’a yakın ise, o denli zayıf bir pozitif doğrusal
ilişki mevcuttur
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-104
Çeşitli Korelasyon Katsayıları
olan Verilerin Serpilme Grafiği
Y
Y
Y
X
X
r = -1
r = -.6
Y
r=0
Y
Y
r = +1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
X
X
X
r = +.3
X
r=0
Bölüm 1-105
Korelasyon Katsayısının bulunması
için Excel’in kullanılması

Seçeiniz Data / Data Analysis

Seçim menüsünden Correlation’u seçiniz

OK’yi tıklayınız . . .
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-106
Korelasyon Katsayısının bulunması
için Excel’in kullanılması
(devam)


Veri açıklığını giriniz ve uygun
seçenekleri seçiniz
Çıktıyı elde etmek üzere OK’yi
tıklayınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-107
Sonuçların Yorumlanması
Test Skorları için Serpilme Grafiği

r = 0,733
100
Test skoru #1 ile test
skoru #2 arasında
nispeten güçlü bir
pozitif doğrusal ilişki
mevcuttur.

Test #2 Skoru
95
90
85
80
75
70
70
75
80
85
90
95
100
Test #1 Skoru
İlk testte yüksek skorlar alan öğrenciler ikinci
testte de yüksek skorlar alma eğilimi
göstermişlerdir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 1-108

similar documents