Respuesta de 2º orden y Error

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Sistemas de control
TI-2233
Miguel Rodríguez
Respuestas de 2º orden y Calculo del
error
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que
tiene 2 raíces reales en el denominador:
K
K
G( s)  2

s  a1s  a0 ( s   )(s   )
• Aplicamos un escalón a la entrada
K
1
Y ( s)  2

s  a1s  a0 s
K 1

1

1 




  s (   ) ( s   ) (    ) ( s   ) 
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces
del denominador están en el mismo lugar
K
G(s) 
(s   )2
– Aplicando un escalón
K
1
Y ( s) 

2
(s   ) s
K 1
1
 
 2 

  s ( s   ) ( s   ) 2 
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada
y (t ) 
K

t
t
[
1

e


te
]
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el
sistema tiene raíces complejas
G( s) 
K
K
K
 2

( s    jw)(s    jw) s  2s  ( 2  w2 ) ( s   ) 2  w2
– Aplicando un escalón a la entrada
K
1
Y ( s) 

2
2
(s   )  w s
K
 2
  w2
1

(s   )

 s  ( s   ) 2  w2  ( s   ) 2  w2 


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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada: en el dominio del
tiempo
K
y(t )  2
  w2


 t
t
1  e cos(wt )  e sin wt 



K
y(t )  2
  w2
 ( 2  w2 )1/ 2 t

e sin(wt   )
1 
w


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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• El denominador de la función de transferencia se escribe
normalmente de la siguiente manera:
s 2  2zwn s  wn  s 2  2s  ( 2  w2 )
2
• Donde z es la relación de amortiguamiento y wn es la
frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación
tenemos que:
z   / wn
y wn   2  w2
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• Relación de amortiguamiento
s 2  2zwn s  wn  s 2  2s  ( 2  w2 )
2
0  z 1
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Términos usados:
• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la
respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.
• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde
el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.
• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma
la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor
estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado
estacionario.
• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el
valor de estado estacionario y la transiente.
máximo overshoot 100%
valor de estado estacionar io
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Máximo valor de overshoot. Derivamos la función
y(t) e igualamos a cero.
dy (t ) K t
 e sin wt  0
dt
w
– La solución depende del seno, y es para los
valores:
t  i / w, i  0,1,2, etc.
– Los mínimos y máximos son definido por:

K
i 1 i / w
y (i )  2
(

1
)
e
2
 w

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Respuestas del sistemas a las entradas
• Errores
– El desempeño de un sistema es normalmente
evaluado en termino de el error entre lo
demandado o requerido y la señal de salida.
•
•
•
•
Error en la medición
Error en el modelado
Interferencias del ruido
Error de estado estacionario.
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• Error del sistema
K (s m  bm1s m1    b1s  b0 )
G0 (s)  q n
s (s  an1s n1    a1s  a0 )
• Ejemplos
Tipos de Errores
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
E (s) 
– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario,
señal de entrada escalón.
3
G0 ( s) 
( s  2)
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario (entrada rampa)
V (s) 
1
s2
• Tarea: realice la misma operación para una señal de
entrada parabólica.
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
Tipo de sistema
Entrada escalón
unidad
Entrada rampa
unidad
Entrada parábola
unida
0
1
1 Ks


1
0
2
0
0
3
0
0
1
Kr

1
Ka
0
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Tipos de Errores
• Error transitorio:
– Es el valor del error durante la respuesta del
transitorio. Y se puede hallar restándole al error
del sistema el error de estado estacionario.
ET (s)  E(s)  sE(s) |s0 (s)
Error transitorio al escalón.
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Tipos de Errores
• Perturbaciones (Disturbances):
Y ( s) 
K
(s    K )
V ( s) 
1
(s    K )
N ( s)
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Perturbaciones
– Perturbaciones. Ejemplo:
• Hallar K y  para que la salida del sistema sea
críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones
de 1/10. Entradas escalón.
Y ( s) 
K
s 
V
(
s
)

N ( s)
2
3
2
s  s  K
s  (  1) s  (  K ) s  K
2wnz   , wn 2  K z  1;
K  400;   40
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Perturbaciones
– Perturbaciones
• A la salida:
V(s)
N(s)
1
(s   )
+
-
+
+
(s   )
Y ( s) 
V ( s) 
N ( s)
(s    K )
(s    K )
K
Y(s)
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Sensibilidad
– Sensibilidad: Variación de la salida en función a
las variaciones en el tiempo del sistema o el
control.
Y ( s) / Y ( s)
S 
G( s) / G( s)
• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a
lazo abierto.
Y
G
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Sensibilidad
– Sensibilidad a lazo cerrado
G( s)
Y ( s) 
V ( s)
1  G( s) H ( s)
Y ( s) V ( s)1  G( s) H ( s)  G( s) H ( s)V ( s)
V ( s)


2
G( s)
1  G(s) H (s)
1  G(s) H (s)2
Y ( s) G ( s)
S 

G ( s) Y ( s)
Y
G
– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a
variaciones en la función de transferencia del
Y ( s) H ( s)
control
Y
S 

G
H ( s) Y ( s)

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