С2 - uCoz

Report
20.12.2012
Угол между
скрещивающимися прямыми
Урок стереометрии
в 10 классе
учитель математики
МБОУ СОШ № 8
Рузаевского муниципального района
Республики Мордовия
Н.В.Перепелова
В математике есть своя красота,
как в живописи и поэзии.
Эта красота проявляется иногда
в отчетливых, ярко очерченных идеях,
где на виду всякая деталь умозаключений,
а иногда поражает она нас
в широких замыслах,
скрывающих в себе кое-что
недосказанное, но многообещающее.
Н.Е.Жуковский
Вопросы для повторения
• Взаимное расположение прямых в
пространстве
• Какой из четырех углов, полученных при
пересечении двух прямых, мы называем углом
между пересекающимися прямыми
• Дайте определение угла между
скрещивающимися прямыми
Повторение:
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между пересекающимися прямыми, соответственно
параллельными данным скрещивающимися.
b
a
n


M
a
b
m
Повторение:
При нахождении угла
между пересекающимися прямыми
используют
b c a
2
формулу
cos 
2
2bc
2
(теорема косинусов)
Устные упражнения
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми АВ и CB1
D1
A1
C1
B1
D
A
C
B
Ответ:
9 0
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми А1В и CB1
D1
A1
C1
B1
D
A
C
B
Ответ:
6 0
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми А1В и AC
D1
A1
C1
B1
D
A
C
B
Ответ:
6 0
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми CА и BD1
D1
A1
C1
B1
B3
D
A
C3
D
B
C
C2
B2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми CА и BD1
D1
A1
D1
C1
B1
C3
B3
D
D
C
C2
C2
A
B
B
B2
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми CА и BD1
D1
C2
B
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми CА и BD1
D1
A1
B1
D1
D
5
C1
A
C3
B3
D C
B
C2
B2
3
2
B
C2
Ответ:
9 0
В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми АВ и CС1
E1
D1
F1
C1
A1
E B1
F
D
A
C
B
Ответ:
9 0
В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми АВ и DE1
E1
D1
F1
C1
A1
E B1
F
D
A
C
B
Ответ:
4 5
В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми АВ и A1С1
E1
D1
F1
C1
A1
E B1
F
D
A
C
B
Ответ:
3 0
В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.
Найдите угол между прямыми А1В и ED1
E1
D1
F1
C1
A1
E B1
F
D
A
C
B
Ответ:
4 5
Практикум
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1.
Постройте сечение, проходящее через точку А1
параллельное плоскости В1ВС1
Е1
D1
О1
F1
А1
1
В1
Е
А
пересекаются
4. Плоскость АА1D1D
параллельна плоскости
D
О
F
1. АА1 параллельно ВВ1
С1 2. А1D1 параллельно В1С1
3. АА1 и A1D1
1
С
В
1
ВВ1С1С
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1.
Постройте в плоскости АА1D1
прямую, параллельную прямой ВС1
Е1
D1
О1
F1
А1
1
В1
окружности вписанной в
правильный шестиугольник)
3. АО1=ВС1 и параллельны
Е
D
О
F
А
1. Плоскость (АА1D1)
параллельна плоскости
С1 (ВВ1С1)
2. А1О1 =В1С1 (радиус
1
С
В
1
Решите задачи
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1,
все ребра которой равны 1,
найдите косинус угла
между прямыми
AB1 и BC1
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
Е1
D1
О1
F1
С1
А1
1
В1
Е
D
О
F
А
1
В
1
1) Построим плоскость
АА1D1D параллельную
плоскости ВВ1С1С.
Тогда прямая AO1
параллельна прямой BC1, и
искомый угол φ между
прямыми AB1 и BC1
С
равен B1AO1.
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
А
3) По теореме косинусов
2
2
2
AO1 + AB1 - B1O1
Cos B1AO1 =
2
2
2 AO1 AB1
2
Cos B1AO1 =0,75
В1
1
О1
Ответ: 0,75
Самостоятельная работа
Критерии оценивания выполнения задания С2
баллы
Критерии оценивания
2
Правильный ход решения. Верно построен или
описан искомый угол. Получен верный ответ
1
1) Правильный ход решения. Получен верный
ответ, но имеется ошибка в построении и описании
искомого угла, не повлиявшая на ход решения
2) Правильный ход решения. Верно построен и
описан искомый угол, но имеется ошибка в одном
из
вычислений,
допущенная
из-за
невнимательности, в результате чего получен
неверный ответ
0
1) Ход решения правильный, но оно не доведено до
конца, или решение отсутствует. Нет ответа
2) Ход решения правильный, но имеются
существенные ошибки в вычислениях, приведшие
к неправильному ответу
3) Неправильный ход решения, приведший к
неверному ответу
4) Верный ответ получен случайно при неверном
Способы решения задачи на
нахождение угла между
скрещивающимися прямыми
№1
С помощью параллельного переноса
Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися прямыми,
соответственно параллельными данным
скрещивающимися.
b

a
m
M

a
b
Точку М можно выбрать произвольным образом.
В качестве точки М удобно взять любую точку на одной
из скрещивающихся прямых.
№1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
1
D1
1
С1
2
А1
В1
2
1
2
D
А
1
1) Прямая AD1 параллельна
прямой ВС1,
 Угол между прямыми АВ1 и
ВС1 равен углу В1AD1.
2) Треугольник В1AD1 –
равносторонний,   В1AD1 = 600
С
В
Ответ: 600
С помощью тетраэдра
№2
D
В
А
С
2
2
2
2
(AC + BD )-(CD + AB )
Cos  AD,CB  2
AD CB
С помощью тетраэдра
№2
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
D
D1
А
А1
С
С1
В
1.Построим тетраэдр
с противоположными
ребрами AB1 и BC1
2.Применяя формулу,
получаем
Cos AB1,BC1 =0.5
AB1,BC1=60
В1
2
2
2
2
(BB1 + AC1 )-(AB + B1C1)
Cos  AB1, BC1
2 AB1 BC1
Способ «в три косинуса»
№3
b
a
a
b1

b
1) Построим
плоскость,
которой принадлежит
прямая а,
прямая b ее пересекает
b1 проекцию прямой b на плоскость
3)Прямые a и b1 пересекаются,
прямые b и b1 пересекаются
Cos ab =Cos ab1 Cos bb1
2) Построим
Способ «в три косинуса»
№3
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
D1
А1
С1
В1
D
А
В
1.Прямая BC1 лежит
в плоскости (B1BC)
2.Построим проекцию
ребра АВ1 на плоскость
(B1BC)
3.Применяя формулу,
С
получаем
Cos AB1,BC1 =0.5
AB1,BC1=60
Cos AB1,BC1 =Cos AB1B Cos B1BC1
Векторный способ
№4
1
D1
В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
угол между прямыми АВ1 и ВС1.
1
А1
В1
С1 1) Введем систему координат,
считая началом координат (·) А,
осями координат – прямые АВ,
АD, АА1.

А(0;0;0) 
  АВ 1 (1;0;1)
В1 (1;0;1) 

В(1;0;0) 
  ВС1 (0;1;1)
С1 (1;1;1) 
1
D
С
cosα
А
1
В
х1 х 2  у 1 у 2  z 1 z 2
x12  y 12  z 12  x 22  y 22  z 22
cos  = 1/2,   (АВ1;AD1) = 600.
Ответ: 600
Жизнь не спросит,
что ты учил.
Жизнь спросит,
что ты знаешь.
Домашнее задание
• Презентация урока
Электронный журнал
https://sc8ruz.eljur.ru
• Статья В.И.Рыжика «Об углах
между скрещивающимися
прямыми и немного о прочих
углах»
Сайт учителя
http://perepelovanv.ucoz.ru/
Домашнее задание
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1,
найдите угол между прямыми :
•
•
•
•
•
•
CА и B1D
C1B и CA1
C1B и DB1
CА1 и DC1
BD1 и DC1
BA1 и AC1
•
•
•
•
•
BA1 и DB1
AD1 и CA1
AD1 и DB1
C1A1 и DB1
C1A1 и BD1
Домашнее задание
В правильной четырехугольной
пирамиде SАВСД,
все ребра которой равны 1,
точка Е – середина ребра SD.
Найдите тангенс угла
между прямыми
АЕ и SВ.
Видео-лекции и уроки
• Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса
Тер-Ованесян Геворк Левонович
http://uchu24.ru/video/ugol-mezhdu-skreschivayuschimisja-prjamymi.html
• Решение задач С2
http://www.youtube.com/watch?v=rDFqNztvOTg
http://ege-ok.ru/2012/03/26/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisyapryamyimi-zadanie-s2/
http://www.egetrener.ru/view_tema.php?tema=skre
http://www.cleverstudents.ru/angle_between_skew_lines.html
Литература
• В.А.Смирнов
Готовимся к ЕГЭ. Геометрия.
Стереометрия./
– М.:МЦНМЩ,2011
• В.А.Смирнов
ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.
Геометрия. Стереометрия./
Под редакцией А.Л.Семенова и
И.В.Ященко – М.:МЦНМЩ,2011
Подведение итогов урока:
• Сегодня на уроке
я повторил …
• Сегодня на уроке
я научился …
• Мне необходимо
еще поработать над …
Проверка решения
S
В правильной четырехугольной
пирамиде SАВСД, все ребра которой
равны 1, точка Е – середина ребра SD.
Найдите тангенс угла
между прямыми АЕ и SВ.
1
Р
Р
1
К
Д
D
М
С
К
О
А
3
2
2
2
1
1
1
2
М
В
Ответ: 2
В правильной шестиугольной призме A … F1,
все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AB1 и BC1
Е1
D1
О1
F1
С1
А1
1
В1
Е
А
1
С
В
1
AO1 = 2
(диагональ квадрата)
AB1 = 2
(диагональ квадрата)
D
О
F
2) Рассмотрим
треугольник АВ1О1.
B1O1= 1
(радиус описанной
окружности)

similar documents