2 - th

Report
พัฒนาการของตรีโกณมิติ
รู้ จกั สามเหลีย่ มมุมฉาก
รู้จักค่ าอัตราส่ วนตรีโกณมิติ
อัตราส่ วนตรีโกณมิติของมุม
ตรีโกณมิติ...กับความยาวด้ าน
ตรีโกณมิติ...กับการนาไปใช้
ตรีโกณมิติ หรือที่ภาษาอังกฤษเรียกว่ า “trigonometry” มาจากภาษากรี ก
2 คา คือ “trigono : three angles” และ “metron : measure”
(Anon., 2009c) ตรี โกณมิติเป็ นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้ องกั บ
มุม สามเหลี่ยม และฟังก์ ชันตรีโกณมิติต่าง ๆ เช่ น ฟังก์ ชันไซน์ ฟังก์ ชันโคไซน์ และฟังก์ ชัน
แ ท น เ จ น ต์ ต รี โ ก ณ มิ ติ มี ค ว า ม สั ม พั น ธ์ บ า ง อ ย่ า ง กั บ เ ร ข า ค ณิ ต ท ฤ ษ ฎี บ ท
ทีเ่ กี่ยวข้ องกับอัตราส่ วนของด้ านของสามเหลี่ยมที่คล้ ายกันเป็ นที่ร้ ู จักและใช้ กันมาตั้งแต่ สมัย
ชาวอียิปต์ โบราณและชาวบาบิโลเนียนเมื่อประมาณ 2,000 ปี ก่ อนคริสต์ ศักราช ตรี โกณมิติใน
ส มั ย ต่ อ ม า มี ค ว า ม ส า คั ญ ใ น ก า ร ศึ ก ษ า ท า ง ด้ า น ภู มิ ศ า ส ต ร์ ก า ร ส ร้ า ง แ ผ น ที่
การสารวจ และสาขาอืน่ ๆ อีกมาก
1
9
เงาก็ใช้ ...คานวณความสู งของวัตถุได้ จริงหรือ..
ทาเลสแห่ งมิเลตุส (Thales of Miletus, 640-546 ปี ก่อนคริสต์ ศักราช)
ทาเลสแห่ งมิเลตุส นักปราชญ์ ชาวกรี ก จากเมืองมิเลตุส ซึ่ งปั จจุบันอยู่ในประเทศ
ตุรกี ทาเลสได้ รับการยอมรั บว่ าเป็ นบุคคลแรกที่คานวณความสู งของพีรามิดโดยใช้ แสง
เงา เขายังมีผลงานด้ านเรขาคณิต ดาราศาสตร์ การเดินเรือ นอกจากนีท้ ้งั อริส โตเติลและ
เบอร์ แทรนด์ รัสเซลล์ ต่ างยกย่ องให้ ทาเลสเป็ นบุคคลคนสาคัญด้ านปรัชญา
16
ด้ านตรงข้ ามมุม A
B
C
A
ด้ านประชิดมุม A
20
การเรียกชื่อมุม และด้ านกรณีเขียน มุม และด้ านต่ างกัน
มุม B
B
a
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
A
มุม A
เป็ นด้ านตรงข้ ามมุม A
หรือด้ านประชิดมุม B
b
ด้ านประชิดมุม A
หรือด้ านตรงข้ ามมุม B
มุมฉาก
สรุปการเรียกชื่อมุม และด้ านในรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก
21
B
เรียก AB ว่ า ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก ให้ ยาว c หน่ วย
เรียก BC ว่ า ด้ านตรงข้ ามมุม A ให้ ยาว a หน่ วย
เรียก AC ว่ า ด้ านประชิดมุม A ให้ ยาว b หน่ วย
c
a
C
A
b
B
เรียก AB ว่ า ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก ให้ ยาว c หน่ วย
เรียก AC ว่ า ด้ านตรงข้ ามมุม B ให้ ยาว b หน่ วย
เรียก BC ว่ า ด้ านประชิดมุม B ให้ ยาว a หน่ วย
c
a
C
b
A
28
ค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวด้าน
สองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งจะมีดงั นี้
ด้ านตรงข้ ามมุม 
ด้ านตรงข้ ามมุม 
ด้ านประชิดมุม 
tan A=
cos A=
sin A=
ด้ านประชิดมุม 
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
ด้ านประชิดมุม 
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
cot A =
sec A =
cosec A=
ด้ านตรงข้ ามมุม
ด้ านประชิดมุม 
ด้ านตรงข้ ามมุม 
ทาความรู้ จกั ...อัตราส่ วนตรีโกณมิติ
30
33
ข้ อตกลง ข้ าม
ฉาก
ชิด
ด้ านตรงข้ ามมุม A
ด้ านตรงข้ ามมุมฉาก
ด้ านประชิดมุม A
37
B
13
12
C
A
5
sin A=12
13
13
cosec A=
12
cos A=5
13
tan A=12
5
13
sec A=
5
cot A= 5
12
sin B= 5
13
13
cosec B=
5
12
cos B=
13
tan B=5
12
13
sec B=
12
cot B=12
5
B
12
13
A
C
5
49
30o
sin
1
2
cos
3
2
tan
csc
1
2
1
2
1
=  33
3
cot
sec
45o
2
3
= 2 3
3
2
= 2
3
2
2
= 22
1
2
1
1
3
60o
3
1
3
= 3
3
2
2
2
2
= 23 3
3
58
30o
A
sin 30o
30o
2
3
D
60o
1
=
30o
1
cos 30o =  23
tan 30o =
3
2
=  33
C cot 30o =
3
sec 30o = 2
3
csc 30o
= 2
o
sin 60o =  32
1
o
cos 60 =
2
1
o
tan 60o =  3
cot 60o
2 3
= 3
= 1
3
sec 60o =
2
csc 60o =
2
3
=
3
3
23
=
3
67
A
1
B
sin A = sin C =
45o
2
45o
1
sin 45o
cos A = cos C = cos 45o
C
=
1
2
= 1
2
tan A = tan C = tan 45o = 1
cot A = cot C = cot 45o = 1
sec A = sec C = sec 45o =  2
csc A = csc C = csc 45o =  2
2
=
2
2
=
2
69
30o
sin
1
2
cos
3
2
tan
csc
1
2
1
2
1
=  33
3
cot
sec
45o
2
3
= 2 3
3
2
= 2
3
2
2
= 22
1
2
1
1
3
60o
3
1
3
= 3
3
2
2
2
2
= 23 3
3
72
sin30o
ซ้ าย

=
30o หัก
cos30o
ขวา

=
นิ้วชี้
2
3

=
2
1

=
2
1
= 2
2
tan30o
ซ้ าย  1 = 1  3

=
=
3 =
 ขวา
 3

3
73
cos30o
45o
ขวา

=
sin30o
2
ซ้ าย

=
2

=
2
2
2

=
2
1
=
2
=
1
2
tan30o =ซ้ าย
 ขวา
2 =

=
 2
1
74
cos30o
60o
sin30o
ขวา

=
ซ้ าย
1

=
=
2
2
1
= 2
2
3

=
2
tan30o
ซ้ าย  3 = 3 = 3

=
=

1
ขวา
1


จากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็ น มุมฉาก ด้าน AB ยาว 24 หน่วย 77
มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน AC
วิธีทา
โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน AC
B
เริ่ มด้วย เขียนอัตราส่ วนที่มีดา้ น AC ต่อด้วยด้านที่ รู ้ค่าลล้ว
ฉาก 24
AC = ชิดมุมA เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรี โกณมิติ
ข้ามฉาก
AB
A 60๐
C
๐
AC
๐
ลทนค่
า
cos
60
=
ลทนค่
า
cos
60
ชิด
24
AC = 1
24
2
12
AC = 1× 24
2
1
AC = 12
ด้าน AC ยาว 12 หน่วย
ชิดมุม = 1
ข้ามฉาก 2
จากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็ น มุมฉาก ด้าน AB ยาว 8 หน่วย 78
มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน BC
วิธีทา
โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน BC
B
เริ่ มด้วย เขียนอัตราส่ วนที่มีดา้ น BC ต่อด้วยด้านที่ รู ้ค่าลล้ว
ฉาก 8
ข้ามมุม
BC = ข้ามA เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรี โกณมิติ
ฉาก
AB
A 60๐
C
๐
๐
BC
ลทนค่า
sin 60
=
8
BC = 3
8
2
4
BC =3 × 8
2
1
BC = 43
ด้าน BC ยาว 43 หน่วย
ลทนค่า sin 60
ข้ามมุม = 3
ข้ามฉาก 2
จากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็ น มุมฉาก ด้าน AC ยาว 12 หน่วย 79
มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน BC
วิธีทา
โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน BC
B
เริ่ มด้วย เขียนอัตราส่ วนที่มีดา้ น BC ต่อด้วยด้านที่ รู ้ค่าลล้ว
ข้าม
BC = ข้ามมุมA เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรี โกณมิติ
ชิดมุม A
AC
A 60๐
C
๐
BC
๐
ลทนค่
า
tan
60
=
ลทนค่
า
tan
60
ชิด 12
12
BC = 3
12
1
BC = 3× 12
1
ข้ามมุม = 3
ชิดมุม 1
BC = 123
ด้าน BC ยาว 123 หน่วย
ตอบ
82
83
84

similar documents