X - ATC

Report
แคลคูลัส
ประวัตขิ องแคลคูลัส
ต้ นกำเนิดของแคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์ย้อนไปถึงยุคกรี กโบรำณ ยูโดซัส
มักจะเป็ นที่ร้ ูจกั กันในนำมของผู้ที่ค้นพบ วิธีกำรแจงกรณี ซึง่ ทำให้ สำมำรถ
คำนวณหำพื ้นที่และปริมำตรได้ อำร์ คิมิดีส ได้ พฒ
ั นำวิธีกำรนี ้ต่อ และได้ พฒ
ั นำ
วิธีกำรช่วยคำนวณ ซึง่ คล้ ำยคลึงกับแนวคิดในปั จจุบนั ด้ วย ไลบ์นิซและ นิวตัน
มักจะได้ รับกำรยอมรับว่ำเป็ นผู้ที่คิดค้ นแคลคูลสั ขึ ้นมำ โดยเฉพำะกำรค้ นพบ
ทฤษฎีบทมูลฐำนของแคลคูลสั มีกำรโต้ เถียงกันว่ำนิวตันหรื อไลบ์นิซ ที่เป็ นผู้ที่
ค้ นพบแนวคิดหลักของแคลคูลสั ก่อน ควำมจริงนันไม่
้ มีใครรู้ได้ สิง่ ที่ยิ่งใหญ่ที่สดุ
ที่ไลบ์นิซได้ พฒ
ั นำให้ กบั แคลคูลสั คือ เครื่ องหมำยของเขำ เขำมักจะใช้ เวลำ
เป็ นวัน ๆ นัง่ คิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมำะสม ที่จะแทนที่แนวคิดทำงคณิตศำสตร์
อย่ำงไรก็ตำม กำรโต้ เถียงกันระหว่ำงไลบ์นิซ และนิวตัน
ได้ แบ่งแยกนักคณิตศำสตร์ ที่พดู ภำษำอังกฤษ ออกจำกนักคณิตศำสตร์ ในยุโรป
เป็ นเวลำนำนหลำยปี ซึง่ ทำให้ คณิตศำสตร์ ในอังกฤษล้ ำหลังกว่ำยุโรปเป็ น
เวลำนำน เครื่ องหมำยที่นิวตันใช้ นนั ้ คล่องตัวน้ อยกว่ำของไลบ์นิซอย่ำงเห็นได้ ชดั
แต่ก็ยงั ใช้ กนั ในอังกฤษจน Analytical Societyได้ ใช้ เครื่ องหมำยของไลบ์
นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้ น สันนิษฐำนกันว่ำ นิวตันค้ นพบแนวคิดเกี่ยวกับ
แคลคูลสั ก่อน แต่อย่ำงไรก็ตำม ไลบ์นิซเป็ นผู้ที่เผยแพร่ก่อน ทุกวันนี ้เป็ นที่เชื่อกัน
ว่ำ ทังนิ
้ วตันและไลบ์นิซต่ำงก็ค้นพบแคลคูลสั ด้ วยตนเอง
ผู้ที่ได้ ชื่อว่ำเป็ นผู้พฒ
ั นำวิชำแคลคูลสั นอกจำกนี ้คือ เดส์กำรตส์
Barrow เดอ แฟร์ มำต์ ฮอยเก้ นส์ และ วอลลิส โดยเฉพำะ เดอ แฟร์ มำต์ ซึง่
บำงครัง้ ได้ รับกำรยกย่องว่ำเป็ น บิดำแห่งแคลคูลสั เชิงอนุพนั ธ์ นักคณิตศำสตร์
ชำวญี่ปนุ่ โควะ เซกิ ซึง่ มีชีวิตอยูใ่ นช่วงเวลำเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตันได้
ค้ นพบหลักกำรพื ้นฐำนบำงอย่ำงเกี่ยวกับ แคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์ แต่เขำไม่เป็ นที่
รู้จกั ในโลกตะวันตกในขณะนัน้ และเขำก็ไม่ได้ ติดต่อกับนักวิชำกำรชำวตะวันตก
เลย
แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
อนุพนั ธ์ (derivative) คือกำรหำค่ำควำมเปลี่ยนแปลงของตัวแปรหนึ่ง เมื่อ
อีกตัวแปรหนึง่ เปลี่ยนแปลงในปริมำณที่น้อยมำกๆ บำงทีอนุพนั ธ์ ที่เรำจะได้ พบ
ครัง้ แรกในโรงเรี ยนคือ สูตร อัตราเร็ ว = ระยะทาง/เวลา สำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่
ด้ วยอัตรำเร็วคงที่ อัตรำเร็วของคุณซึง่ เป็ นอนุพนั ธ์ที่บอกกำรเปลี่ยนแปลง
ตำแหน่งในระยะเวลำหนึง่ วิชำแคลคูลสั พัฒนำขึ ้น เพื่อจัดกำรกับปั ญหำที่
ซับซ้ อนและเป็ นธรรมชำติกว่ำนี ้ ซึง่ อัตรำเร็วของคุณอำจเปลี่ยนแปลงได้
เมื่อเรำกล่ำวถึงรำยละเอียดแล้ ว แคลคูลสั เชิงอนุพนั ธ์ นิยำมอัตรำกำร
เปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึง่ (อนุพันธ์ ) ระหว่ำงค่ำของฟั งก์ชนั กับตัวแปร
ของฟั งก์ชนั
นิยำมจริงๆ ของอนุพนั ธ์คือ ลิมิตของอัตรำส่วนในกำรเปลี่ยนแปลง
(difference quotient). อนุพนั ธ์คือหัวใจของวิทยำศำสตร์ กำยภำพ
กฎกำรเคลื่อนที่ของนิวตัน แรง = มวล×ความเร่ ง มีควำมหมำยในแคลคูลสั
เพรำะว่ำ ควำมเร่งเป็ นอนุพนั ธ์คำ่ หนึง่ ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้ำของแมกซ์เวล
และทฤษฎีแรงโน้ มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภำพทัว่ ไป) นัน่ ได้ กล่ำวถึงด้ วย
ภำษำของแคลคูลสั เชิงอนุพนั ธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื ้นฐำนของวงจรไฟฟ้ำ
อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั กล่ำวถึงกรำฟของฟั งก์ชนั นันในช่
้ วงสัน้ ๆ ซึง่ ทำให้ เรำ
สำมำรถหำจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟั งก์ชนั ได้ เพรำะว่ำที่จุดเหล่ำนันกรำฟ
้
จะขนำนกับแกนรำบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลสั ยังมีกำรประยุกต์ใช้ อื่นๆอีก เช่น
ระเบียบวิธีของนิวตัน(Newton's Method) ซึง่ เป็ นวิธีในกำรหำค่ำรำก
ของฟั งก์ชนั โดยกำรประมำณค่ำโดยเส้ นสัมผัส ดังนันแคลคู
้
ลสั เชิงอนุพนั ธ์ จึง
สำมำรถนำไปประยุกต์ใช้ กบั หลำกหลำยคำถำม ซึง่ ถ้ ำมองแค่ผิวเผินอำจคิดว่ำ
ไม่อำจใช้ แคลคูลสั จัดกำรได้
ลองคิดดู
แคลคูลัสเชิงปริพันธ์
แคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์ศกึ ษำวิธีกำรหำปริพนั ธ์ (อินทิกรัล, Integral) ของ
ฟั งก์ชนั ซึง่ อำจนิยำมจำกลิมิตของผลรวมของพจน์ (ซึง่ เรี ยกว่ำลิมิตของ
ผลรวมรี มนั น์) แต่ละพจน์นนคื
ั ้ อพื ้นที่ที่เป็ นสี่เหลี่ยมผืนผ้ ำแต่ละแถบใต้ กรำฟ
ของฟั งก์ชนั ทำให้ กำรอินทิเกรตเป็ นวิธีที่ได้ ผลวิธีหนึง่ ในกำรหำพื ้นที่ใต้ กรำฟ
และพื ้นที่ผิว และปริมำตรของแข็งเช่นทรงกลมและทรงกระบอก
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส เบือ้ งต้ น
ทฤษฎีบทมูลฐำนของแคลคูลสั กล่ำวว่ำ กำรหำอนุพนั ธ์และกำรหำปริพนั ธ์เป็ น
วิธีกำรที่ตรงกันข้ ำมกัน กล่ำวคือ ถ้ ำเรำสร้ ำงฟั งก์ชนั ที่เป็ นปริพนั ธ์ของฟั งก์ชนั
หนึง่ ขี ้นมำ อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั ที่เรำสร้ ำง ก็จะเท่ำกับฟั งก์ชนั นัน้ นอกจำกนี ้ เรำ
ยังหำปริพนั ธ์จำกัดเขตได้ ด้วยกำรกำหนดค่ำให้ กบั ปฏิยำนุพนั ธ์
ทฤษฎีบทมูลฐำนของแคลคูลสั เขียนในรูปสัญลักษณ์คณิตศำสตร์ ได้ ดงั นี ้:
ถ้ ำ f เป็ นฟั งก์ชนั ที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็ นปฏิยำนุพนั ธ์ของ
f บนช่วง [a, b] แล้ ว และสำหรับทุก x ในช่วง [a, b] จะได้ วำ่ ควำมจริ งข้ อ
นี ้ปรำกฏแก่ทงนิ
ั ้ วตัน และไลบ์นิซ ซึง่ เป็ นกุญแจนำไปสู่ กำรขยำยผลลัพธ์เชิง
วิเครำะห์อย่ำงมำกมำยหลังจำกงำนของทังสองเป็
้
นที่ร้ ูจกั . ควำมเชื่อมโยงนี ้ ทำ
ให้ เรำสำมำรถย้ อนควำมเปลี่ยนแปลงทังหมดในฟั
้
งก์ชนั ในช่วงหนึง่ จำกอัตรำ
กำรเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึง่ โดยกำรหำปริพนั ธ์ของส่วนหลัง. ทฤษฎีบท
มูลฐำนนี ้ยังให้ วิธีในกำรคำนวณหำ ปริพนั ธ์จำกัดเขต
ด้ วยวิธีทำงพีชคณิตเป็ นจำนวนมำก โดยไม่ต้องใช้ วิธีกำรหำลิมิต ด้ วยกำรหำ
ปฏิยำนุพนั ธ์. ทฤษฎีบทนี ้ยังอนุญำตให้ เรำแก้ สมกำรเชิงอนุพนั ธ์ ซึ่งคือสมกำรที่
เกี่ยวข้ องกันระหว่ำง ฟั งก์ชนั ที่ไม่ทรำบค่ำ และอนุพนั ธ์ของมัน. สมกำรเชิงอนุพนั ธ์
นันมี
้ อยูท่ วั่ ไปในวิทยำศำสตร์
การประยุกต์ นามาใช้
กำรพัฒนำและกำรใช้ แคลคูลสั ได้ ขยำยผลไปแทบทุกส่วนของกำรใช้ ชีวิต
ในยุคใหม่ มันเป็ นพื ้นฐำนของวิทยำศำสตร์ เกือบทุกสำขำโดยเฉพำะ ฟิ สิกส์ กำร
พัฒนำสมัยใหม่เกือบทังหมด
้
เช่น เทคนิคกำรก่อสร้ ำงกำรบิน และเทคโนโลยีอื่น ๆ
เกือบทังหมด
้
มีพื ้นฐำนมำจำกแคลคูลสั
แคลคูลสั ได้ ขยำยไปสู่ สมกำรเชิงอนุพนั ธ์แคลคูลสั เวกเตอร์ แคลคูลสั ของ
กำรเปลี่ยนแปลง กำรวิเครำะห์เชิงซ้ อนแคลคูลสั เชิงเวลำแคลคูลสั กณิกนันต์และ
ทอพอโลยีเชิงอนุพนั ธ์
ลิมิตของฟั งก์ ชัน
ในวิชำคณิตศำสตร์ ลิมิตของฟั งก์ ชัน เป็ นแนวคิดพื ้นฐำนของ คณิต
วิเครำะห์ (ภำคทฤษฎีของแคลคูลสั )
ถ้ ำเรำพูดว่ำ ฟั งก์ชนั f มีลมิ ิต L ที่จดุ p หมำยควำมว่ำ ผลลัพธ์ของ f จะ
เข้ ำใกล้ L ที่จดุ ใกล้ จดุ p สำหรับนิยำมอย่ำงเป็ นทำงกำรนัน้ มีกำรกำหนดขึ ้นครัง้ แรก
ช่วงปลำยของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีรำยละเอียดอยูข่ ้ ำงล่ำง
ฟั งก์ ชันบนปริภูมอิ งิ ระยะทาง
กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็ นกำรส่งค่ำระหว่ำง (เป็ นฟั งก์ชนั ที่นิยำม
บน) ปริภมู ิอิงระยะทำงสองปริภมู ิ, และกำหนดให้ p ∈M และ L ∈N, เรำจะกล่ำว
ว่ำ "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่ำ
ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่ำของ ε > 0
จะมี
δ > 0 ที่ สาหรับทุกๆ x ∈M และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε
ฟั งก์ ชันค่ าจริง
เซตของจำนวนจริงหรื อเส้ นจำนวนจริงโดยทัว่ ไปสำมำรถมองเป็ นปริภมู ิ
อิงระยะทำงได้ โดยมี d(x,y): = | x − y | . เช่นเดียวกับ เส้ นจำนวนจริ ง
ขยำย (เส้ นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้ ำไปด้ วย) ก็สำมำรถมองเป็ น
ปริภมู ิอิงระยะทำงได้ โดยมี d(x,y): = | arctan(x) − arctan(y) |
ลิมิตของฟั งก์ ชันค่ าจริง ณ อนันต์
จะมีลิมิตของฟั งก์ชนั ณ อนันต์ ถ้ ำ สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0
อย่ำงน้ อยหนึง่ ค่ำ ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ ให้ f(x) เป็ น
ฟั งก์ชนั ค่ำจริง เรำจะพิจำรณำลิมิตของฟั งก์ชนั เมื่อ x เพิ่มขึ ้น หรื อลดลงอย่ำงไม่
มีที่สิ ้นสุด
ฟั งก์ ชันค่ าเชิงซ้ อน
ระนำบเชิงซ้ อน ที่มีตวั วัด (metric) เป็ น d(x,y): = | x − y |
จะเป็ นปริภมู ิอิงระยะทำง (metric space) ด้ วยเช่นกัน จะมีลิมิตสอง
ประเภทเมื่อเรำพูดถึงฟั งก์ชนั ค่ำเชิงซ้ อน
ปริพันธ์
ปริพันธ์ (อังกฤษ: integral) คือ ฟั งก์ชนั ที่ใช้ หำ พื ้นที่, มวล, ปริมำตร หรื อ
ผลรวมต่ำงๆ. เรำอำจหำปริพนั ธ์ได้ หลำยวิธี แต่ไม่วำ่ หำด้ วยวิธีใด ก็จะได้ ผลลัพธ์
เท่ำกันเสมอ. การหาปริพันธ์ (integration) เป็ นกระบวนกำรที่ตำ่ งจำกกำร
หำอนุพนั ธ์แต่ก็มีควำมเกี่ยวข้ องกัน
"ปริพนั ธ์" ต่ำงจำกปฏิยำนุพนั ธ์ แต่ทงสองมี
ั้
ควำมสัมพันธ์ที่ใกล้ เคียงกัน ทฤษฎีบท
มูลฐำนของแคลคูลสั จะอธิบำยว่ำทำไมปริพนั ธ์กบั ปฏิยำนุพนั ธ์ถึงเกี่ยวข้ องกัน.
ปริพนั ธ์แบบปฏิยำนุพนั ธ์ คือ ปริพนั ธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral)
แต่ปริพนั ธ์ที่กล่ำวถึงในบทควำมนี ้ จะเป็ นปริพันธ์ จากัดเขต (definite
integral)
ปริพนั ธ์ของฟั งก์ชนั จำนวนจริงบวกที่ตอ่ เนื่องและมีตวั แปร x อยูร่ ะหว่ำงจุด a กับ
จุด b ก็คือ พื ้นที่ที่ถกู ปิ ดล้ อมด้ วยเส้ น x=a, x=b, แกน x และเส้ นโค้ ง f(x)
การหาปริพันธ์
วิธีหำปริพนั ธ์ที่พื ้นฐำนที่สดุ ก็คือใช้ ทฤษฎีบทมูลฐำนของแคลคูลสั ใน
กำรหำ ซึง่ มีขนตอนดั
ั้
งนี ้
1. กำหนดฟั งก์ชนั f(x) และช่วง [a, b]
2. หำปฏิยำนุพนั ธ์ของ f ก็คือ หำฟั งก์ชนั F ที่ F' เท่ำกับ f
3. จำกทฤษฎีบทมูลฐำนของแคลคูลสั จะได้ วำ่
4. ค่ำของปริพนั ธ์คือ F(b) − F(a)
สังเกตว่ำปริพนั ธ์ไม่ใช่ปฏิยำนุพนั ธ์ แต่ปฏิยำนุพนั ธ์ นำมำใช้ หำปริพนั ธ์
จำกัดเขตได้
ปฏิยานุพันธ์
ในแคลคูลสั ปฏิยานุพันธ์ คือฟั งก์ชนั F(x) ซึง่ มีอนุพนั ธ์ F'(x) เป็ น f(x)บน
ช่วงหนึง่ ของ x หรื อเรี ยก F(x) ว่ำอินทิกรัลไม่จำกัดเขต (Indefinite
Integral) ของ f(x)
ตัวอย่ าง
F(x) = x3/3 เป็ นปฏิยำนุพนั ธ์ของ f(x) = x2 เพรำะว่ำ อนุพนั ธ์ของ x3/3
คือ x2 นอกจำกนี ้ (x3/3) + 0, (x3/3) + 7, (x3/3) − 36, ฯลฯ ต่ำง
ก็เป็ นปฏิยำนุพนั ธ์ของ f(x) ดังนัน้ จึงสรุปได้ วำ่ f(x) มีปฏิยำนุพนั ธ์อยูไ่ ม่จำกัด
เรำจึงแทนปฏิยำนุพนั ธ์ของ x2 ด้ วย F(x) = (x3 / 3) + C; เมื่อ C เป็ น
ค่ำคงที่ใดๆ เรี ยก C ว่ำ ค่ำคงตัวของกำรอินทิเกรต (Constant of
Integration)
ฟั งก์ ชันคู่และฟั งก์ ชันคี่
ฟั งก์ ชันคู่ (even functions) และฟั งก์ ชันคี่ (odd functions) คือ
ฟั งก์ชนั ที่มีคณ
ุ สมบัติเกี่ยวกับควำมสมมำตร ฟั งก์ชนั คูแ่ ละฟั งก์ชนั คี่มี
ควำมสำคัญในคณิตวิเครำะห์หลำยสำขำ โดยเฉพำะเรื่ องอนุกรมกำลัง และ
อนุกรมฟูริเยร์
ฟั งก์ ชันคู่
ให้ f(x) เป็ นฟั งก์ชนั ค่ำจริงของตัวแปรที่เป็ นจำนวนจริง f จะเป็ น
ฟั งก์ ชันคู่ ถ้ ำสมกำรต่อไปนี ้เป็ นจริง สำหรับทุกค่ำ x:
f(−x) = f(x) ตีควำมในเชิงเรขำคณิตได้ วำ่ กรำฟของฟั งก์ชนั นี ้สมมำตรกับ
แกน y หมำยควำมว่ำ ถ้ ำเรำสะท้ อนกรำฟกับแกน y เรำก็ยงั ได้ กรำฟรูปเดิม
ตัวอย่ำงของฟั งก์ชนั คู่ ได้ แก่ | x |, x2, x4, cos(x), และ cosh(x)
ฟั งก์ ชันคี่
ให้ f(x) เป็ นฟั งก์ชนั ค่ำจริงของตัวแปรที่เป็ นจำนวนจริง f จะเป็ น
ฟั งก์ ชันคี่ ถ้ ำสมกำรต่อไปนี ้เป็ นจริง สำหรับทุกค่ำ x:
f(−x) = −f(x) ตีควำมในเชิงเรขำคณิตได้ วำ่ กรำฟของฟั งก์ชนั นี ้สมมำตรกับ
จุดกำเนิด (origin) หมำยควำมว่ำ ถ้ ำเรำหมุนกรำฟไป 180 องศำรอบจุด
กำเนิด เรำก็ยงั ได้ กรำฟรูปเดิม
ตัวอย่ำงของฟั งก์ชนั คี่ ได้ แก่ x3, sin(x), และ sinh(x)
คุณสมบัตพ
ิ นื ้ ฐาน
• ฟั งก์ชนั ที่เป็ นทังฟั
้ งก์ชนั คูแ่ ละฟั งก์ชนั คี่ มีเพียงฟั งก์ ชนั เดียว ได้ แก่ ฟั งก์ชนั ที่
เป็ นศูนย์เสมอ (f(x) = 0 สำหรับทุกค่ำ x)
• ผลบวกของฟั งก์ชนั คูก่ บั ฟั งก์ชนั คี่ จะไม่เป็ นทังฟั
้ งก์ชนั คู่และฟั งก์ชนั คี่
• ผลบวกของฟั งก์ชนั คู่ 2 ฟั งก์ชนั จะเป็ นฟั งก์ชนั คู่, ฟั งก์ชนั คู่คณ
ู กับค่ำคงที่ จะ
เป็ นฟั งก์ชนั คู่
• ผลบวกของฟั งก์ชนั คี่ 2 ฟั งก์ชนั จะเป็ นฟั งก์ชนั คี่, ฟั งก์ชนั คี่คณ
ู กับค่ำคงที่ จะ
เป็ นฟั งก์ชนั คี่
• ผลคูณของฟั งก์ชนั คู่ 2 ฟั งก์ชนั จะเป็ นฟั งก์ชนั คู่
• ผลคูณของฟั งก์ชนั คี่ 2 ฟั งก์ชนั จะเป็ นฟั งก์ชนั คู่
• ผลคูณของฟั งก์ชนั คูก่ บั ฟั งก์ชนั คี่ จะเป็ นฟั งก์ชนั คี่
• อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั คู่ จะเป็ นฟั งก์ชนั คี่
• อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั คี่ จะเป็ นฟั งก์ชนั คู่
ฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง
ในทำงคณิตศำสตร์ ฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง (อังกฤษ: continuous
function) คือฟั งก์ชนั ที่ถ้ำตัวแปรต้ นมีคำ่ เปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้ อย
ผลลัพธ์ก็จะมีคำ่ เปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้ อยด้ วยเช่นกัน เรำเรี ยกฟั งก์ชนั ที่กำร
เปลี่ยนแปลงไปเพียงเล็กน้ อยของค่ำของตัวแปรต้ นทำให้ เกิดกำรก้ ำวกระโดด
ของผลลัพธ์ของฟั งก์ชนั ว่ำ ฟั งก์ ชันไม่ ต่อเนื่อง (discontinuous
function) ตัวอย่ำงเช่น ให้ ฟังก์ชนั h(t) เป็ นฟั งก์ชนั ที่สง่ เวลำ t ไปยัง
ควำมสูงของต้ นไม้ ที่เวลำนัน้ เรำได้ วำ่ ฟั งก์ชนั นี ้เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่อง อีกตัวอย่ำง
ของฟั งก์ชนั ต่อเนื่องคือ ฟั งก์ชนั T(x) ที่สง่ ควำมสูง x ไปยังอุณหภูมิ ณ จุดที่มี
ควำมสูง x เหนือจุดพิกดั ทำงภูมิศำสตร์ จดุ หนึง่ ในทำงกลับกัน ถ้ ำ M(t) เป็ น
ฟั งก์ชนั ที่สง่ เวลำ t ไปยังจำนวนเงินที่อยูใ่ นบัญชีธนำคำร เรำได้ วำ่ M ไม่ใช่
ฟั งก์ชนั ต่อเนื่องเนื่องจำกผลลัพธ์ของฟั งก์ชนั มีกำรเปลี่ยนแปลงแบบก้ ำว
กระโดดเมื่อมีกำรฝำกเงินหรื อถอนเงินเข้ ำหรื อออกจำกบัญชี
ในคณิตศำสตร์ แขนงต่ำงๆ นันแนวคิ
้
ดของควำมต่อเนื่องถูกดัดแปลงให้ มีควำม
เหมำะสมกับคณิตศำสตร์ แขนงนันๆ
้ กำรดัดแปลงที่พบได้ บอ่ ยที่สดุ มีอยูใ่ นวิชำทอ
พอโลยี ซึง่ ท่ำนสำมำรถหำข้ อมูลเพิ่งเติมได้ ในบทควำมเรื่ อง ควำมต่อเนื่อง (ทอ
พอโลยี) อนึง่ ในทฤษฎีลำดับโดยเฉพำะในทฤษฏีโดเมน นิยำมของควำมต่อเนื่องที่
ใช้ คือควำมต่อเนื่องของสก็อตซึง่ เป็ นนิยำมที่สร้ ำงขึ ้นจำกควำมต่อเนื่องที่ถกู
อธิบำยในบทควำมนี ้อีกทีหนึง่
ฟั งก์ ชันค่ าจริงต่ อเนื่อง
สมมติวำ่ f เป็ นฟั งก์ชนั ที่สง่ ช่วงช่วงหนึง่ ของจำนวนจริ งไปยังจำนวนจริง
ดังเช่นฟั งก์ชนั h, T, และ M ข้ ำงต้ น ฟั งก์ชนั เหล่ำนี ้สำมำรถเขียนแทนด้ วยกรำฟ
ของฟั งก์ชนั บนระนำบคำร์ ทีเซียน เรำอำจกล่ำวโดยหยำบๆ ว่ำฟั งก์ชนั f เป็ น
ฟั งก์ชนั ต่อเนื่องถ้ ำกรำฟของฟั งก์ชนั เป็ นเส้ นที่ไม่มีจดุ แหว่งหรื อกำรก้ ำวกระโดด
กล่ำวคือ เรำสำมำรถเขียนกรำฟได้ โดยไม่ต้องยกปำกกำ
ถ้ ำจะกล่ำวให้ รัดกุมตำมหลักคณิตศำสตร์ แล้ ว เรำกล่ำวว่ำฟั งก์ชนั f ต่อเนือ่ งที่จดุ
c ถ้ ำเงื่อนไขทังสองข้
้
อต่อไปนี ้เป็ นจริง
• ฟั งก์ชนั f มีนิยำมที่จดุ c
• ให้ c เป็ นจุดลิมิตของโดเมนของ f แล้ ว ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้ ำใกล้ c มี
ค่ำเท่ำกับ f(c)
เรำกล่ำวว่ำฟั งก์ชนั f ฟั งก์ ชันต่ อเนื่องทุกที่ หรื อเรี ยกย่อๆ ว่ำ
ฟั งก์ ชันต่ อเนื่อง ถ้ ำ f ต่อเนื่องที่ทกุ จุดในโดเมนของมัน
ฟั งก์ ชันต่ อเนื่องระหว่ างปริภมู ิเชิงทอพอโลยี
นิยำมของฟั งก์ชนั ต่อเนื่องสำมำรถขยำยให้ กว้ ำงขึ ้น เพื่อให้
ครอบคลุมฟั งก์ชนั ระหว่ำงปริภมู ิทอพอโลยีX,Y ได้ ดงั นี ้:
อนึง่ สำมำรถพิสจู น์ได้ วำ่ ในปริภมู ิยคุ ลิดนิยำมข้ ำงต้ นและนิยำมเอปไซลอน-เดล
ตำเหมือนกันทุกประกำร. จำกนิยำมนี ้ทำให้ นกั คณิตศำสตร์ ทรำบแก่นที่แท้ จริง
ของควำมต่อเนื่องคือ กำรนิยำมเซตเปิ ดในระบบนัน่ เอง ไม่ใช่ฟังก์ชนั ระยะทำง
ดังที่เคยเข้ ำใจมำ
ฟั งก์ ชันเป็ นคาบ
ฟั งก์ ชันเป็ นคาบ (periodic function) ในทำง
คณิตศำสตร์ หมำยถึงฟั งก์ชนั ที่ให้ ผลลัพธ์ออกมำเป็ นค่ำที่ซ ้ำกัน บนช่วง
จำกัดหนึง่ ๆ เรี ยกว่ำ คาบ ซึง่ บวกเข้ ำกับตัวแปรต้ น ตัวอย่ำงใน
ชีวิตประจำวันจะสำมำรถเห็นได้ จำกตัวแปรต้ นที่เป็ นเวลำ เช่นเข็ม
นำฬิกำหรื อข้ ำงขึ ้นข้ ำงแรมของดวงจันทร์ จะแสดงพฤติกรรมที่ซ ้ำกันเป็ น
ช่วงๆ
นิยาม
สำหรับฟั งก์ชนั บนจำนวนจริงหรื อจำนวนเต็มที่ให้ คำ่ ซ ้ำกันเป็ นช่วงๆ นัน่
หมำยควำมว่ำกรำฟทังหมดของฟั
้
งก์ชนั นันสำมำรถวำดได้
้
จำกกำร
คัดลอกกรำฟในช่วงที่ซ ้ำกันต่อไปเรื่ อยๆ หรื อในทำงที่เจำะจงกว่ำนี ้
ฟั งก์ชนั f จะเรี ยกว่ำฟั งก์ชนั เป็ นคำบ บนทุกๆ คำบ P ที่มำกกว่ำศูนย์
เมื่อ f(x + P) = f(x) สำหรับทุกค่ำของ x ที่อยูใ่ นโดเมนของ f
และเมื่อ f เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคำบแล้ ว จะได้
f(x + nP) = f(x) สำหรับทุกค่ำของ n ที่เป็ นจำนวนเต็ม
อนุกรม
ในทำงคณิตศำสตร์ อนุกรม คือผลจำกกำรบวกสมำชิกทุกตัวของลำดับ
ไม่จำกัดเข้ ำด้ วยกัน หำกกำหนดให้ ลำดับของจำนวนเป็ น {an} = a1,a2,a3,...
อนุกรมของลำดับนี ้ก็คือ a1 + a2 + a3 + ... อนุกรมสำมำรถเขียนแทนได้ ด้วย
สัญลักษณ์ของผลรวม∑ เช่นตัวอย่ำงนี ้เป็ นอนุกรมของลำดับ {1 / 2n}
พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้ ำงขึ ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพำะ เช่นโดยสูตรคณิตศำสตร์
ขันตอนวิ
้
ธี ลำดับของกำรวัด หรื อแม้ แต่กำรสุม่ จำนวน
และเนื่องจำกพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอำจเรี ยกว่ำเป็ น อนุกรม
ไม่ จากัด หรื อ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็ นต้ องมีเครื่ องมือจำกคณิตวิเครำะห์
เพื่อที่จะทำควำมเข้ ำใจและเพื่อให้ สำมำรถจัดกำรปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวม
ที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจำกกำรใช้ งำนทัว่ ไปในคณิตศำสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยัง
ถูกใช้ งำนอย่ำงกว้ ำงขวำงในสำขำวิชำเชิงปริมำณ ตัวอย่ำงเช่นฟิ สิกส์หรื อวิทยำกำ
คอมพิวเตอร์
สมบัตพ
ิ นื ้ ฐาน
อนุกรมสำมำรถสร้ ำงขึ ้นได้ จำกเซตหลำยประเภทรวมทังจ
้ ำนวนจริง จำนวน
เชิงซ้ อน ฟั งก์ชนั ฯลฯ นิยำมต่อไปนี ้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สำมำรถทำให้
เป็ นกรณีทวั่ ไปได้
กำหนดให้ ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง {an} เรำนิยำมให้
เรำเรี ยก SN ว่ำเป็ น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ {an} หรื อ ผลรวม
บางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบำงส่วนเข้ ำด้ วยกัน {SN}
ความสับสนที่อาจเกิดขึน้
เมื่อพูดถึงอนุกรม เรำอำจหมำยถึงลำดับ {SN} ของผลรวมบำงส่วน หรื อ
หมำยถึง ผลรวมของอนุกรม อย่ำงใดอย่ำงหนึง่ ขึ ้นอยูก่ บั บริบท
เพื่อที่จะแยกแยะควำมแตกต่ำงของทังสองควำมหมำยนี
้
้ จึงมีกำรซ่อน
ขอบเขตบนและล่ำงเครื่ องหมำยผลรวม เช่น
หมำยถึงผลรวมของ
อนุกรม ซึง่ อำจจะมีหรื อไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้
อนุกรมลู่เข้ าและลู่ออก
อนุกรม ∑an จะเรี ยกว่ำ ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ {SN} ของผลรวม
บำงส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็ นอนันต์ แต่ถ้ำลิมิตของ SN เป็ นอนันต์หรื อไม่มีลิมิต
อนุกรมนันจะเรี
้
ยกว่ำ ลู่ออก(diverge) และเมื่อผลรวมบำงส่วนมีลิมิต เรำ
เรี ยกลิมิตนันว่
้ ำเป็ น ผลรวมของอนุกรม
วิธีที่ง่ำยที่สดุ ที่จะทำให้ อนุกรมไม่จำกัดเป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำ นัน่ คือ an ทุกพจน์มี
ค่ำเป็ นศูนย์ ซึง่ สังเกตได้ จำกผลรวมบำงส่วนของอนุกรม ส่วนกำรลูเ่ ข้ ำของ
อนุกรมที่พจน์ตำ่ งๆ ไม่เป็ นศูนย์ เป็ นสำระสำคัญของกำรศึกษำอนุกรม ลอง
พิจำรณำตัวอย่ำงนี ้
อนุกรมนี ้อำจ มองว่า เป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำบนเส้ นจำนวนจริง เรำอำจจินตนำกำร
ถึงเส้ นตรงยำว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ ที่ควำมยำว 1 หน่วย, ½
หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึง่ เรำจะมีที่วำ่ งเสมอสำหรับขีดกำกับครัง้ ถัดไป
เพรำะว่ำควำมยำวของเส้ นที่เหลือจะยังคงมีอยูเ่ หมือนกับขีดกำกับก่อนหน้ ำ
เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ ที่ ½ หน่วย ก็ยงั คงเหลือที่วำ่ งอีก ½ หน่วยที่ยงั ไม่มีขีด
ดังนันเรำจึ
้
งสำมำรถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้ อีก เช่นนี ้เรื่ อยไป คำอธิบำย
ข้ ำงต้ นมิได้ เป็ นข้ อพิสจู น์วำ่ ผลรวมดังกล่ำว
เท่ากับ 2 (ถึงแม้ วำ่ จะเป็ นเช่นนัน)
้ แต่เป็ นกำรพิสจู น์วำ่ ผลรวมนันมี
้ คำ่ มากทีส่ ดุ
คือ 2 หรื อกล่ำวอีกทำงหนึง่ คือ อนุกรมนี ้มีขอบเขตบนที่ 2
นักคณิตศำสตร์ ได้ นำวิธีเดียวกันนี ้ไปใช้ อธิบำยสิ่งอื่นๆ เป็ นแนวควำมคิดแบบ
อนุกรม เช่นเมื่อเรำพูดถึงทศนิยมซ ้ำจำนวนนี ้
เหมือนว่ำเรำกำลังพูดถึงอนุกรม 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... แต่เมื่ออนุกรมเหล่ำนี ้
ลูเ่ ข้ ำบนจำนวนจริงเสมอ กำรอธิบำยอนุกรมก็เหมือนกับกำรอธิบำยค่ำที่แท้ จริง
ของจำนวนนัน้ (ดูเพิ่มที่ 0.999...)
ตัวอย่ างอนุกรม
• อนุกรมเรขำคณิต เป็ นอนุกรมที่พจน์ตำ่ งๆ ถูกสร้ ำงขึ ้นโดยกำรคูณพจน์ก่อนหน้ ำ
ด้ วยค่ำคงตัวค่ำหนึง่ นัน่ คือมำจำกลำดับเรขำคณิต ตัวอย่ำงเช่น
และโดยทัว่ ไป อนุกรมเรขำคณิต
• อนุกรมฮำร์ มอนิก คืออนุกรมดังนี ้
จะเป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำก็ตอ่ เมื่อ | z | < 1
อนุกรมฮำร์ มอนิกเป็ นอนุกรมลูอ่ อก
• อนุกรมสลับเครื่ องหมำย เป็ นอนุกรมที่พจน์ตำ่ งๆ มีเครื่ องหมำยบวกลบสลับกัน
ตัวอย่ำงเช่น
• สำหรับอนุกรมนี ้
จะเป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำเมื่อ r > 1 และเป็ นอนุกรมลูอ่ อกเมื่อ r ≤
1 ในฐำนะฟั งก์ชนั ของ r ผลรวมของอนุกรมนี ้คือฟั งก์ชนั ซีตำของรี มนั น์
• สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี ้
จะเป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำ ถ้ ำลำดับ bn ลูเ่ ข้ ำไปยังขอบเขต L ค่ำหนึง่ เมื่อ n มีคำ่ เข้ ำ
ใกล้ อนันต์ และค่ำของอนุกรมนี ้จะเท่ำกับ b1 − L
สมบัตอิ ่ นื ๆ
อนุกรมมิได้ ถกู แบ่งเพียงว่ำจะลูเ่ ข้ ำหรื อลูอ่ อก อนุกรมยังสำมำรถแบ่ง
ออกไปได้ อีกโดยขึ ้นอยูก่ บั สมบัติของพจน์ an (ลูเ่ ข้ ำสัมบูรณ์หรื อลูเ่ ข้ ำตำม
เงื่อนไข) ประเภทของกำรลูเ่ ข้ ำของอนุกรม (ลูเ่ ข้ ำรำยจุดหรื อลูเ่ ข้ ำสม่ำเสมอ)
ประเภทของพจน์ an (ไม่วำ่ จะเป็ นจำนวนจริง ลำดับเรขำคณิต ฟั งก์ชนั
ตรี โกณมิติ) และอื่นๆ อีกมำกมำย
พจน์ ท่ ีไม่ เป็ นลบ
เมื่อ an เป็ นจำนวนจริงที่ไม่เป็ นลบสำหรับทุกค่ำของ n ดังนันล
้ ำดับ SN ของ
ผลรวมบำงส่วนจึงมีคำ่ ที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑an ซึง่ พจน์ไม่เป็ นลบจะลูเ่ ข้ ำก็
ต่อเมื่อลำดับ SN ของผลรวมบำงส่วนถูกจำกัดขอบเขต
อนุกรมเรขาคณิต
ในทำงคณิตศำสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็ นอนุกรมที่พจน์ตำ่ งๆ ถูกสร้ ำงขึ ้น
โดยกำรคูณพจน์ก่อนหน้ ำด้ วยค่ำคงตัวค่ำหนึง่ นัน่ คือมำจำกลำดับเรขำคณิต
ตัวอย่ำงเช่น
และโดยทัว่ ไป อนุกรมเรขำคณิต
จะเป็ นอนุกรมลูเ่ ข้ ำก็ต่อเมื่อ | z | < 1
อนุพันธ์
ในวิชำคณิตศำสตร์ อนุพันธ์ ของฟั งก์ชนั เป็ นมโนทัศน์หนึง่ ในสองมโนทัศน์หลัก
ของแคลคูลสั (อีกมโนทัศน์หนึง่ คือปฏิยำนุพนั ธ์ ซึง่ คือตัวผกผันของอนุพนั ธ์)
อัตราส่ วนเชิงผลต่ างของนิวตัน
อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั f ที่ x ในเชิงเรขำคณิต คือ ควำมชัน (slope) ของเส้ น
สัมผัส (tangent line) ของกรำฟ f ที่ x. เรำไม่สำมำรถหำควำมชันของ
เส้ นสัมผัสจำกฟั งก์ชนั ที่กำหนดให้ โดยตรงได้ เพรำะว่ำเรำรู้เพียงจุดบนเส้ น
สัมผัส ซึง่ ก็คือ (x, f (x)) เท่ำนัน้ ในทำงอื่น เรำจะประมำณควำมชันของเส้ น
สัมผัสด้ วยเส้ นตัด (secant line) หลำยๆเส้ นที่มีจดุ ตัดทัง้ 2 จุดอยูห่ ำ่ งกัน
เป็ นระยะทำงสัน้ ๆ เมื่อหำลิมิตของควำมชันของเส้ นตัดที่จดุ ตัดอยูใ่ กล้ กนั มำก
ๆ เรำจะได้ ควำมชันของเส้ นสัมผัส
ดังนัน้ อำจนิยำมอนุพนั ธ์วำ่ คือ ลิมิตของควำมชันของเส้ นตัดที่เข้ ำใกล้ เส้ นสัมผัส
แสดงควำมชันในแต่ละจุดของฟั งก์ชนั่ ซึง่ จะสังเกตเห็นได้ วำ่ เส้ นที่แสดงควำมชันที่
จุดใดๆจะสัมผัส (tangent) กับกรำฟของฟั งก์ชนั่ ที่จดุ นันๆ
้ ควำมชันในที่นี ้ก็คือ
อนุพนั ธ์ของฟั งก์ชนั นันเอง
้ หมำยเหตุ สีเขียว คือ ควำมชันเป็ นบวก สีแดง คือ ควำม
ชันเป็ นลบ สีดำ คือ ควำมชันเป็ นศูนย์
เส้ นสัมผัสที่ (x, f (x)) เส้ นตัดของส่วนโค้ ง y= f (x) กำนหดโดยจุด (x, f (x))
และ (x+h, f (x+h)) เพื่อหำควำมชันของเส้ นตัดที่จดุ ตัดอยูใ่ กล้ กนั มำก ๆ ให้ h
เป็ นจำนวนที่มีคำ่ น้ อยๆ h จะแทนกำรเปลี่ยนแปลงน้ อยๆใน x ซึง่ จะเป็ นจำนวน
บวกหรื อลบก็ได้ ดังนัน้ ควำมชันของเส้ นที่ลำกผ่ำนจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f
(x+h) ) คือ
ซึง่ นิพจน์นี ้ก็คือ อัตราส่ วนเชิงผลต่ างของนิวตัน (Newton's difference
quotient). อนุพันธ์ ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่ำของผลหำรเชิงผลต่ำง ของ
เส้ นตัดที่เข้ ำใกล้ กนั มำกๆ จนเป็ นเส้ นสัมผัส:
แคลคูลัสกับพหุนาม
ใน คณิตศำสตร์ พหุนำมอำจเป็ นฟั งก์ชนั ที่ง่ำยที่สดุ ในกำรทำแคลคูลสั อนุพนั ธ์
และปริพนั ธ์เป็ นไปตำมกฎต่อไปนี ้
ดังนันอนุ
้ พนั ธ์ของ x100 คือ 100x99 และปริพนั ธ์ของ x100 คือ
บทพิสูจน์
เนื่องจำกกำรหำอนุพนั ธ์เป็ น กำรแปลงเชิงเส้ น จะได้
ดังนันจะต้
้ องหำ
สำหรับ จำนวนธรรมชำติ r ใดๆ ซึง่ มีกำรพิสจู น์โดย
อุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึง่ ขึ ้นอยูก่ บั กรณีที่ r = 1 เท่ำนัน้
นัยทั่วไป
เป็ นจริงทุกค่ำ k ที่ xk มีควำมหมำย หรื อ ทุกค่ำ k ที่เป็ นจำนวนตรรกยะที่ xk มี
กำรนิยำมไว้ นัยทัว่ ไปนี ้ก็เป็ นจริงสำหรับกำรหำปริพนั ธ์ของพนุนำมเช่นเดียวกัน
ถ้ ำมีพนุนำมที่ตวั คูณไม่ใช่จำนวนจริงหรื อจำนวนเชิงซ้ อน
(เช่นอำจเป็ น จำนวนเต็ม หรื อตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพำะ) ก็สำมำรถนิยำม
อนุพนั ธ์จำกควำมสัมพันธ์ ข้ำงบน
แคลคูลัสเวกเตอร์
แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็ นแขนงหนึง่ ของคณิตศำสตร์ ว่ำด้ วยกำรเปลี่ยนแปลงของ
ของเวกเตอร์ ในมิติที่สงู กว่ำหรื อเท่ำกับสองมิติ เนื ้อหำประกอบด้ วยเทคนิคในกำร
แก้ ปัญหำ และ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้ องต่ำงๆ ซึง่ มีประโยชน์ใช้ งำนมำกในทำง
วิศวกรรม และ ฟิ สิกส์
สนำมเวกเตอร์ ใช้ หมำยถึง กำรระบุคำ่ เวกเตอร์ ให้ กบั ทุกๆ จุดในปริภมู ิที่
พิจำรณำ เช่นเดียวกับ สนำมสเกลำร์ ซึง่ เป็ นกำรระบุคำ่ สเกลำร์ ให้ กบั ทุกๆ จุดใน
ปริภมู ิ เช่น อุณหภูมิของน ้ำในสระ เป็ นสนำมสเกลำร์ โดยเป็ นกำรระบุคำ่ อุณหภูมิ
ซึง่ เป็ นปริมำณสเกลำร์ ให้ กบั แต่ละตำแหน่ง ส่วนกำรไหลของน ้ำในสระนันเป็
้ น
สนำมเวกเตอร์ เนื่องจำกกำรไหลของน ้ำที่แต่ละจุดนันจะถู
้ กระบุด้วย เวกเตอร์
ควำมเร็ว
ตัวดำเนินกำรที่สำคัญในแคลคูลสั เวกเตอร์ :
เกรเดียนต์ (gradient) ใช้ สญ
ั ลักษณ์ หรื อ : เป็ นตัวดำเนินกำรใช้ วดั อัตรำ และ
ทิศทำง ควำมเปลี่ยนแปลงของสนำมสเกลำร์ ดังนันเกรเดี
้
ยนต์ของสนำมสเกลำร์ จะ
ได้ เป็ นสนำมเวกเตอร์
ไดเวอร์ เจนซ์ (divergence) ใช้ สญ
ั ลักษณ์ หรื อ : เป็ นตัวดำเนินกำรใช้ วดั ควำม
ลูเ่ ข้ ำ หรื อ ลูอ่ อก(เป็ นจุดกำเนิดสนำม)ของ สนำมเวกเตอร์ ณ จุดใดๆ
เคิร์ล (curl) ใช้ สญ
ั ลักษณ์ หรื อ : เป็ นตัวดำเนินกำรใช้ วดั ระดับควำมหมุนวน ณ
จุดใดๆ โดย เคิร์ลของสนำมเวกเตอร์ จะได้ เป็ นอีกสนำมเวกเตอร์ หนึง่
ตัวดำเนินกำรอีกตัวหนึง่ คือ ตัวดำเนินกำรลำปลำซ ได้ จำกกำรประยุกต์ ไดเวอร์ เจนซ์
และ เกรเดียนต์ รวมกัน
ทฤษฎีที่สำคัญที่เกี่ยวข้ องกับตัวดำเนินกำรดังกล่ำว คือ
• ทฤษฎีเกรเดียต์
• ทฤษฎีไดเวอร์ เจนซ์
• ทฤษฎีของสโตคส์
กำรวิเครำะห์เหล่ำนี ้สำมำรถทำควำมเข้ ำใจได้ ไม่ยำก โดยกำรใช้ วิธีกำรทำง
เรขำคณิตเชิงอนุพนั ธ์ (แคลคูลสั เวกเตอร์ เป็ นสำขำย่อยหนึง่ ของ เรขำคณิตเชิง
อนุพนั ธ์)
ระเบียบวิธีเกี่ยวกับทฤษฎีบทกลศาสตร์
ระเบียบวิธีเกี่ยวกับทฤษฎีบทกลศาสตร์ (อังกฤษ: The Method of
Mechanical Theorems) คืองำนเขียนชิ ้นหนึง่ ของอำร์ คิมิดีสซึ่งบรรจุ
แนวคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์ที่สำมำรถนำไปใช้ ได้ แต่เดิมเคยเชื่อว่ำงำนเขียนชิ ้นนี ้
สูญหำยไปแล้ ว แต่ตอ่ มำถูกค้ นพบอีกครัง้ อยูใ่ นสมุดบันทึกของอำร์ คิมิดีส อันเป็ น
สมุดบันทึกพำลิมเซสต์ที่เคยบรรจุงำนเขียนของอำร์ คิมิดีส รวมถึงเรื่ อง "ระเบียบ
วิธีทำงกล" ที่เกี่ยวกับกฎของคำนและจุดศูนย์ถ่วง ซึง่ เขำได้ พบกรณีพิเศษมำกมำย
ทฤษฎีบทค่ าเฉลี่ย
และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (a, b) จะมี c ที่อยูใ่ นช่วง (a, b) ซึง่ เส้ นที่เชื่อม
ระหว่ำงจุดปลำยของช่วง [a, b] จะขนำนกับเส้ นสัมผัสจุด c]]
ในแคลคูลสั ทฤษฎีบทค่ าเฉลี่ย (mean value theorem) กล่ำวว่ำ
สำหรับส่วนของเส้ นโค้ งที่กำหนดให้ จะมีจดุ หนึง่ จุดอยูบ่ นส่วนของเส้ นโค้ งนัน้ ซึง่ มี
ควำมชันเท่ำกับควำมชันเฉลี่ยของส่วนของเส้ นโค้ ง
เนือ้ หาของทฤษฎีบท
ให้ f : [a, b] → R เป็ นฟั งก์ชนั ที่มีควำมต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมี
อนุพนั ธ์บนช่วง (a, b) แล้ ว จะมี c อยูใ่ น (a, b) ที่ทำให้
ทฤษฎีบทบอร์ -โมลเลอรัป
ทฤษฎีบทบอร์ -โมลเลอรั ป (Bohr-Mollerup theorem) เป็ นทฤษฎีบทซึง่
พิสจู น์โดยฮำรัลด์ บอร์ (Harald Bohr) กับโยฮันเนส โมลเลอรัป (Johannes
Mollerup) ว่ำด้ วยกำรแสดงคุณสมบัติพิเศษ (characterization) ของ
ฟั งก์ชนั แกมมำ โดยเฉพำะเมื่อ x > 0
จะมีฟังก์ชนั f เพียงฟั งก์ชนั เดียวบนช่วง x > 0 ที่มีคณ
ุ สมบัติทงสำมอย่
ั้
ำงเหล่ำนี ้
พร้ อมกัน ได้ แก่
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่ำวว่ำอนุพนั ธ์ และปริพนั ธ์ ซึ่งเป็ นกำร
ดำเนินกำรหลักในแคลคูลสั นันผกผั
้
นกัน ซึง่ หมำยควำมว่ำถ้ ำนำฟั งก์ชนั ต่อเนื่อง
ใดๆมำหำปริพนั ธ์ แล้ วนำมำหำอนุพนั ธ์ เรำจะได้ ฟังก์ชนั เดิม ทฤษฎีบทนี ้
เหมือนว่ำเป็ นหัวใจสำคัญของแคลคูลสั ที่นบั ได้ วำ่ เป็ นทฤษฎีบทมูลฐำนของทัง้
สำขำนี ้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี ้ ซึง่ บำงทีเรี ยกว่ำทฤษฎีบทมูลฐำน
ของแคลคูลสั บทที่สองนันท
้ ำให้ เรำสำมำรถคำนวณหำปริพนั ธ์โดยใช้ ปฏิยำนุพนั ธ์
ของฟั งก์ชนั
ภาพโดยทั่วไป
โดยทัว่ ไปแล้ ว ทฤษฎีบทนี ้กล่ำวว่ำผลรวมของกำรเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ใน
ปริมำณในช่วงเวลำ (หรื อปริมำณอื่นๆ) นันเข้
้ ำใกล้ กำรเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้ เห็นด้ วยกับข้ อควำมนี ้ เรำจะเริ่มด้ วยตัวอย่ำงนี ้ สมมติวำ่ อนุภำคเดินทำง
บนเส้ นตรงโดยมีตำแหน่งจำกฟั งก์ชนั x(t) เมื่อ t คือเวลำ อนุพนั ธ์ ของฟั งก์ชนั นี ้
เท่ำกับควำมเปลี่ยนแปลงที่น้อยมำกๆของ x ต่อช่วงเวลำที่น้อยมำกๆ (แน่นอนว่ำ
อนุพนั ธ์ต้องขึ ้นอยูก่ บั เวลำ) เรำนิยำมควำมเปลี่ยนแปลงของระยะทำงต่อช่วงเวลำว่ำ
เป็ นอัตรำเร็ว v ของอนุภำค ด้ วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ
เมื่อจัดรูปสมกำรใหม่จะได้
จำกตรรกะข้ ำงต้ น ควำมเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรี ยกว่ำ Δx คือผลรวมของกำร
เปลี่ยนแปลงที่น้อยมำกๆ dx มันยังเท่ำกับผลรวมของผลคูณระหว่ำงอนุพนั ธ์และ
เวลำที่น้อยมำกๆ ผลรวมอนันต์นี ้คือปริพนั ธ์ ดังนันกำรหำปริ
้
พนั ธ์ ทำให้ เรำสำมำรถ
คืนฟั งก์ชนั ต้ นของมันจำกอนุพนั ธ์ เช่นเดียวกัน กำรดำเนินกำรนี ้ผกผันกัน
หมำยควำมว่ำเรำสำมำรถหำอนุพนั ธ์ของผลกำรหำปริพนั ธ์ ซึง่ จะได้ ฟังก์ชนั อัตรำเร็ว
คืนมำได้
ฟั งก์ ชันตรี โกณมิติ
ฟั งก์ ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ
ฟั งก์ชนั ของมุมซึง่ มีควำมสำคัญในกำรศึกษำรูปสำมเหลี่ยมและ
ปรำกฏกำรณ์ในลักษณะเป็ นคำบ ฟั งก์ชนั อำจนิยำมด้ วยอัตรำส่วนของ
ด้ ำน 2 ด้ ำนของรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก หรื ออัตรำส่วนของพิกดั ของจุดบน
วงกลมหนึง่ หน่วย หรื อนิยำมในรูปทัว่ ไปเช่น อนุกรมอนันต์หรื อสมกำร
เชิงอนุพนั ธ์รูปสำมเหลี่ยมที่นำมำใช้ จะอยูใ่ นระนำบแบบยุคลิด ดังนัน้
ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ำกับ 180° เสมอ
ในปั จจุบนั มีฟังก์ชนั ตรี โกณมิติอยู่ 6 ฟั งก์ชนั ที่นิยมใช้ กนั ดังตำรำง
ข้ ำงล่ำง (สี่ฟังก์ชนั สุดท้ ำยนิ ยามด้ วยควำมสัมพันธ์กบั ฟั งก์ชนั อื่น แต่ก็
สำมำรถนิยำมด้ วยเรขำคณิตได้ )
นิยามจากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก
รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกจะมีมมุ หนึง่ มีขนำด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี ้คือ C
ส่วนมุม A กับ B นันเปลี
้ ่ยนแปลงได้ ฟั งก์ชนั ตรี โกณมิติกำหนดควำมสัมพันธ์
ระหว่ำงควำมยำวด้ ำนและมุมภำยในรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก
ในกำรนิยำมฟั งก์ชนั ตรี โกณมิติสำหรับมุม A เรำจะกำหนดให้ มมุ ใดมุมหนึง่ ใน
รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำกเป็ นมุม A
เรี ยกชื่อด้ ำนแต่ละด้ ำนของรูปสำมเหลี่ยมตำมนี ้
• ด้ ำนตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้ ำนที่อยูต่ รงข้ ำมมุมฉำก หรื อ
เป็ นด้ ำนที่ยำวที่สดุ ของรูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก ในที่นี ้คือ h
• ด้ ำนตรงข้าม (opposite side) คือด้ ำนที่อยูต่ รงข้ ำมมุมที่เรำสนใจ ในที่นี ้
คือ a
• ด้ ำนประชิ ด (adjacent side) คือด้ ำนที่อยูต่ ิดกับมุมที่เรำสนใจและมุม
ฉำก ในที่นี ้คือ b
จะได้
1). ไซน์ ของมุม คือ อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำม ต่อควำมยำว
ด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉำก ในที่นี ้คือsin(A) = ข้ ำม/ฉำก = a/h
2). โคไซน์ ของมุม คือ อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนประชิด ต่อควำมยำว
ด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉำก ในที่นี ้คือcos(A) = ชิด/ฉำก = b/h
3). แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำม ต่อควำม
ยำวด้ ำนประชิด ในที่นี ้คือtan(A) = ข้ ำม/ชิด = a/b
4). โคซีแคนต์ csc(A) คือฟั งก์ชนั ผกผันกำรคูณของ sin(A) นัน่ คือ
อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉำก ต่อควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำม
csc(A) = ฉำก/ข้ ำม = h/a
5). ซีแคนต์ sec(A) คือฟั งก์ชนั ผกผันกำรคูณของ cos(A) นัน่ คือ
อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉำก ต่อควำมยำวด้ ำนประชิด
sec(A) = ฉำก/ชิด = h/b
6). โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟั งก์ชนั ผกผันกำรคูณของ tan(A) นัน่ คือ
อัตรำส่วนของควำมยำวด้ ำนประชิด ต่อควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำม
cot(A) = ชิด/ข้ ำม = b/a
วิธีจา
วิธีจำอย่ำงง่ำย ๆ คือจำว่ำ ข้ ำมฉำก ชิดฉำก ข้ ำมชิด ซึง่ หมำยควำมว่ำ
• ข้ ำมฉำก ... sin = ด้ ำนตรงข้ าม/ด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉาก
• ชิดฉำก ... cos = ด้ ำนประชิด/ด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉาก
• ข้ ำมชิด ... tan = ด้ ำนตรงข้ าม/ด้ ำนประชิด
นิยามด้ วยวงกลมหนึ่งหน่ วย
ฟั งก์ชนั ตรี โกณมิติทงั ้ 6 ฟั งก์ชนั สำมำรถนิยำมด้ วยวงกลมหนึง่ หน่วย ซึง่ เป็ น
วงกลมที่มีรัศมียำว 1 หน่วย และมีจดุ ศูนย์กลำงอยูท่ ี่จดุ กำเนิด วงกลมหนึ่ง
หน่วยช่วยในกำรคำนวณ และหำค่ำฟั งก์ชนั ตรี โกณมิติสำหรับอำร์ กิวเมนต์ที่
เป็ นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่ำนัน้ สมกำรของวงกลมหนึ่ง
หน่วยคือ:
จำกรูป เรำจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้ มมุ เป็ นบวกในทิศทวนเข็มนำฬิกำ
และมุมเป็ นลบในทิศตำมเข็มนำฬิกำ ลำกเส้ นให้ ทำมุม θ กับแกน x ด้ ำน
บวก และตัดกับวงกลมหนึง่ หน่วย จะได้ วำ่ พิกดั x และ y ของจุดตัดนี ้จะ
เท่ำกับ cos θ และ sin θ ตำมลำดับ เหตุผลเพรำะว่ำรูปสำมเหลี่ยมที่
เกิดขึ ้นนัน้ จะมีควำมยำวด้ ำนตรงข้ ำมมุมฉำก ยำวเท่ำกับรัศมีวงกลม นัน่ คือ
ยำวเท่ำกับ 1 หน่วย เรำจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลม
หนึง่ หน่วยช่วยให้ เรำหำกรณีที่สำมเหลี่ยมมีควำมสูงเป็ นอนันต์ (เช่น มุม π/2
เรเดียน) โดยกำรเปลี่ยนควำมยำวของด้ ำนประกอบมุมฉำก แต่ด้ำนตรงข้ ำม
มุมฉำกยังยำวเท่ำกับ 1 หน่วย เท่ำเดิม
สำหรับมุมที่มำกกว่ำ 2π หรื อต่ำกว่ำ −2π เรำสำมำรถวัดมุมได้ ในวงกลม ด้ วย
วิธีนี ้ ค่ำไซน์และโคไซน์จงึ เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคำบที่มีคำบเท่ำกับ 2π:
เมื่อ θ เป็ นมุมใดๆ และ k เป็ นจำนวนเต็มใดๆ
คำบที่เป็ นบวกที่เล็กทีส่ ดุ ของฟั งก์ชนั เป็ นคำบ เรี ยกว่ำ คาบปฐมฐานของฟั งก์ชนั
คำบปฐมฐำนของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรื อโคซีแคนต์ จะเท่ำกับวงกลมหนึ่งวง
นัน่ คือเท่ำกับ 2π เรเดียน หรื อ 360 องศำ คำบปฐมฐำนของแทนเจนต์ หรื อ
โคแทนเจนต์ จะเท่ำกับครึ่งวงกลม นัน่ คือเท่ำกับ π เรเดียน หรื อ 180 องศำ
ฟั งก์ชนั ตรี โกณมิติพื ้นฐำนทัง้ หมด สำมำรถนิยำมจำกวงกลมหนึ่งหน่วยได้ โดย
ใช้ วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จดุ ศูนย์กลำงอยูท่ ี่จดุ O (ตำมรูปทำงขวำ) ซึง่ คล้ ำยกับ
กำรนิยำมเชิงเรขำคณิตที่ใช้ กนั มำในสมัยก่อน ให้ AB เป็ นคอร์ ดของวงกลม ซึง่
θ เป็ นครึ่งหนึง่ ของมุมที่รองรับคอร์ ดนัน้ จะได้
• sin(θ) คือ ควำมยำว AC (ครึ่งหนึง่ ของคอร์ ด) นิยำมนี ้เริ่มใช้ โดยชำวอินเดีย
• cos(θ) คือระยะทำงตำมแนวนอน OC
• versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ควำมยำว CD
• tan(θ) คือ ควำมยำวของส่วน AE ของเส้ นสัมผัสที่ลำกผ่ำนจุด A จึงเป็ น
ที่มำของคำว่ำแทนเจนต์นนั่ เอง (tangent = สัมผัส)
• cot(θ) คือ ส่วนของเส้ นสัมผัสที่เหลือ คือควำมยำว AF
• sec(θ) = OE และ
• csc(θ) = OF เป็ นส่วนของเส้ นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จดุ สองจุด) ซึง่ สำมำรถ
มองว่ำเป็ นภำพฉำยของ OA ตำมแนวเส้ นสัมผัสที่จดุ A ไปยังแกนนอนและ
แกนตัง้ ตำมลำดับ
• exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้ำนนอก)
ทฤษฎีบทพีทาโกรั ส
ในวิชำคณิตศำสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรั ส แสดงควำมสัมพันธ์ใน เรขำคณิต
แบบยุคลิด ระหว่ำงด้ ำนทังสำมของสำมเหลี
้
่ยมมุมฉำก ทฤษฎีนี ้ ถูกตังชื
้ ่อเพื่อ
เป็ นเกียรติแก่พีทำโกรัส นักคณิตศำสตร์ ชำวกรี ก แม้ วำ่ ควำมจริงแล้ ว ได้ มีกำร
คิดค้ นทฤษฎีนี ้ขึ ้นก่อนหน้ ำที่เขำจะมีชีวิตอยู่ โดยชำวอินเดีย, ชำวกรี ก, ชำวจีน
และ ชำวบำบิโลน
บทกลับของทฤษฎีบทปี ทาโกรั ส
จำกบทพิสจู น์ของบทกลับของทฤษฎีบทปี ทำโกรัส เรำสำมำรถนำไปหำว่ำรูป
สำมเหลี่ยมใด ๆ เป็ นสำมเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉำก หรื อ มุมป้ำน ได้ เมื่อ
กำหนดให้ c เป็ นควำมยำวของด้ ำนที่ยำวที่สดุ ในรูปสำมเหลี่ยม
• ถ้ ำ a2 + b2 = c2 สำมเหลี่ยมนันจะเป็
้
นสำมเหลี่ยมมุมฉำก.
• ถ้ ำ a2 + b2 < c2 สำมเหลี่ยมนันจะเป็
้
นสำมเหลี่ยมมุมแหลม.
• ถ้ ำ a2 + b2 > c2 สำมเหลี่ยมนันจะเป็
้
นสำมเหลี่ยมมุมป้ำน.

similar documents