Рост трещины

Report
Viktor M. Pestrikov
Head of Informatics Department of The Saint
Petersburg State University of Service and
Economics, St. Petersburg, Russia.
© V. M. Pestrikov
Модели и критерии разрушения вязкоупругого
тела с трещиной
Для получения качественных и количественных
характеристик процесса разрушения тела с трещиной
необходимо построить модель разрушения.
Модель разрушения вязкоупругого тела включает в себя:
1. Реологическую модель (уравнения) материала.
2. Модель трещины, дающую представление о форме
трещины и структуре ее концевой области (зона
процесса (M.Wnuk)).
3. Критерий разрушения, представляющий собой
условие начала роста трещины.
 В качестве критериев разрушения вязкоупругих тел
с
трещинами
могут
быть
использованы
энергетические, силовые и деформационные. При
выборе критериев разрушения следует отдать
предпочтение
глобальному
энергетическому
критерию
в
вариационной
формулировке
(E.M.Morozov, 1969), так как он в сравнении с
другими критериями, позволяет полнее учесть
основные особенности разрушения различных
типов полимерных материалов.
Глобальный критерий разрушения вязкоупругого
тела с трещиной в вариационной формулировке,
для трещины с тонкой зоной предразрушения
перед трещиной имеет вид (Pestrikov, 1999):


l (t )
a (t )
a (t )




2     ( t ) dx 
pu ( x , 0 ,  ( t )) dx 
   ( t ) u ( x , 0 ,  ( t )) dx   0 , (1)

1
2
1
1
0
2
1
1




0
l (t )
 0




где a (t )  l ( t )  d ( t ) , l (t ) - полудлина трещины, d (t ) - длина
зоны предразрушения,  (  (t )) - удельная работа
разрушения как функция от воздействия
временного фактора, вызывающего старение
материала.
Если предположить, что работа сил в зоне предразрушения (зона процесса, Wnuk)
определяет затрату энергии на образование всей трещины, то тогда в уравнении (1)
второе слагаемое много меньше третьего. В этом случае уравнение можно записать в
более простом виде


  2  (  ( t ))  l t  


a t 






(
t
)
u
(
x
,
0
,

(
t
))
dx
 0 .( 2 )
2
1
1
 0

l t 

В результате получаем локальный энергетический критерий разрушения, записанный
в вариационной форме. Если теперь, в (2) варьировать время,  
параметр
 ( t )  const
dt

l t 
 0  
 t , считая
, то получим форму записи локального энергетического
критерия, удобную для практических целей:
a t 
d

t
u 2 ( x1 , 0 ,  ) dx 1  2  (  ) lt .( 3 )
 Если в (2) варьировать длину трещины, при тех же
допущениях, и учесть условие автомодельности, т.е.
неизменности формы зоны предразрушения,
du
du
 
, то получим:
dl
dx
2
2
1
2  (  ( t ))   0   ( t ) 

l
a t 
u
2
( x1 , 0 ,  ) dx 1  0 .( 4 )
l t 
Отсюда следует соотношение, аналогичное известному
соотношению    2 для неподвижной трещины:
0
c
 0 (  ( t ))  c (  ( t ))  2  (  ( t )), ( 5 )
где
 c  2 u 2 (  ( t ))
– критическое раскрытие трещины.
 Из (5) после преобразований следует аналог силового
критерия Ирвина в виде
K I (  ( t ))  K Ic (  ( t )).( 6 )
При исследовании разрушения вязкоупругого тела с
трещиной на основе критериев (1)-(6), сначала следует
выбрать реологическую модель материала. После этого
определить перемещения
берегов трещины в
вязкоупругом материале. Если выбрана линейная
теория вязкоупругости, в которой связь между
напряжениями и деформациями производится с
помощью интегральных операторов Вольтерра II рода,
то вертикальные перемещения берегов трещины могут
быть найдены из упругого решения.
Вертикальные перемещения в
вязкоупругом теле
В
общем случае
запишутся в виде:
вертикальные
перемещения
  0  ( t ) 

u 2  T 
 ( x1 , l ( t ))  ,



где  ( x , l (t )) - функция силовых и геометрических
параметров, а T  - интегральный оператор типа
Вольтерра II рода.
1
Реология материала
 Интегральный
оператор
для
материалов в общем случае
представлен в виде

T f ( t )  T 0  f ( t ) 

t

0
вязкоупругих
может быть

K t   ,  ( )  f ( ) d   , ( 7 )

K t   ,  ( ) 
где
- ядро ползучести вязкоупругого
материала с нестабильными свойствами, T 0 мгновенное значение интегрального оператора,
1  v2
равное T E при плоской деформации и T 1
E
при плоском напряженном состоянии.
0 
0 
Рост трещины в стареющем
вязкоупругом материале
 Для
ряда
конструкционных
материалов
применение деформационного критерия приводит
к большим погрешностям, так как во время роста
трещины не соблюдается условие . Изменение
раскрытия трещины во время ее роста происходит
из-за деформации вблизи вершины трещины. Если
считать, что затраты энергии на процесс
разрушения
в
основном
равны
работе
пластических деформаций в вершине трещины, то
можно прийти к локальному энергетическому
критерию (Knauss 1969, Wnuk 1971).
Критерий разрушения стареющего
вязкоупругого тела с трещиной
 Локальный энергетический критерий разрушения
вязкоупругого тела с трещиной, для материала с
изменяющимися свойствами во времени имеет
вид (Pestrikov 1983) :
L (t )

  x , t  t u
0
1

2
( x1 , l ( t )) dx 1  2  t  l ( t ) , ( 8 )
l (t )
где L (t )  l (t )  d (t ) , d (t ) - длина зоны предразрушения
(зона процесса Внука)
Уравнение роста трещины в вязкоупругом теле с
учетом особенностей старения материала
 Для модели трещины с тонкой структурой
концевой зоны (зона процесса Внука)

4 T 0  0 l ( t )  tg   ln sec  
2
 1

1 l ( t )  ( t ) ( sec    tg  )
   


2
 ( t ) ( tg   ln sec  )
l (t )
2
2
 t 




4 l ( t ) l ( t )  tg   ln sec    t 0
1

R
(
t
,

)

(
x
,
l
(

))
dx
d

, (9 )
1
1


l ( )
L ( )
 где t 0 определяется из уравнения l t   l t  cos  .
0
Критическая длина трещины
Для трещин у которых d  l , критическая длина
находится из условия t  t , l (t )  l и l (t )  

c
lc 

4 T 0
2
0
 tg 
 ln sec  
c
.(10 )
Если в уравнении (9) провести преобразования и
оставить величины не выше второго порядка
малости,
то
получим
уравнение
роста
макротрещины (d  l ) в виде

4 d (t )  (t )
1
2
1  

l
(

)

( ) R ( t ,  )  ( r ) d 
2

l (t )
3
 ( t ) 2 l ( t )(  ( t ) / 2 ) t
0
l (t )
lc
t
Анализ уравнений роста трещины по двум
критериям
 Уравнение кинетики макротрещины, полученное,
исходя из локального энергетического критерия
(Knauss,Wnuk 1971), отличается от уравнения,
полученного по деформационному критерию COD,
только на величину

 
4 d (t )  (t )
  
.(11 )
3
 (t )
l (t )
 Это различие имеет место только при переменных
нагрузках. При постоянных нагрузках
уравнения роста трещин совпадают.
  0
и
Рост трещины
Диаграммы роста трещин по критерию COD (кривые 2,4)
и локальному энергетическому критерию (кривые 3,5)
при переменной нагрузке. Кривая 1 относится к
  const
макротрещине при постоянной внешней нагрузке
Критерий завершающего натяжения и
медленный рост трещины в вязкоупругом
материале
 Желание
расширить область применимости
критерия критического раскрытия трещины
(COD) привели М. Внука к
критерию
«завершающего натяжения» (Wnuk 1974):

 u P t   t , t c

t 
 u x
P
,  d   u  x P , t   u  x P , t   t ,
t t
где  u t   t , t 
- критическая разность смещений в
точке Р, u  x  , d    4    x  , d  
,  t     dl 
и  E
 dt 
структурный
параметр,
определяемый
из
эксперимента.
P
c
1
P
P
Схематическое изображение процесса разрушения
по критерию «завершающего натяжения». 1 – контур
трещины в момент времени , 2 – контур трещины в
момент времени t. Пунктиром показаны границы
зон предразрушения (зона процесса Внука)
Формулировка критерия Внука
 Приращение нормального перемещения v в
некоторой точке Р, находящейся внутри области
предразрушения перед концом трещины,
сохраняется постоянным в течение медленной
стадии роста трещины.
Уравнение докритического роста трещины
исходя из критерия Внука

t
d c  d t    Q t     x P  , d  d  ,
t0
где d(t) длина пластической зоны в момент времени t, d t  
dc 
K
2
c
8
2
K I
2
8
2
и
.
ВЫВОД:
Критерий «завершающего натяжения» может быть использовать при
исследовании разрушения более широкого класса вязкоупругих
материалов, нежели COD, в частности, для наноматериалов.
End
Thank you!

similar documents