誤差橢圓
誤差橢圓的概念
誤差橢圓計算
誤差橢圓






前言
橢圓方位與半徑的計算
標準誤差橢圓計算舉例
其他舉例
誤差橢圓的信心水準
誤差橢圓的優點
前言




最小自乘法平差後，可獲
得點位坐標的估計標準差，
此標準差提供了在坐標軸
方向的誤差估值。
根據標準差所預估的誤差
範圍，與實際的誤差範圍
並不相符。
實際的誤差範圍應該由方
向與距離來推估，而不是
在坐標軸的方向上。
點位誤差範圍應遵循雙變
數的常態分配。
y
2Sy
B
N
2Sx
αAB
A
x
前言

要推估點位誤差，需要知道誤
差橢圓的橢圓的方位與兩個半
徑。




即右圖中的t與Su, Sv
圖中u與v為兩正交軸，u軸為代
表點位最弱的方向，換言之，
是代表點位誤差最大的方向。
而v軸為點位最強的方向(點位
誤差最小的方向)。
誤差橢圓的正確機率與自由度
有關，其大小可由F分配機率百
分比的表列值來調整。
簡單的閉合導線其誤差橢圓的
機率只有35%。
標準誤差橢圓
Sy
y
Sx
v
Su
t
Sv
u
x
標準誤差矩形
誤差橢圓方位與半徑的計算
由於最小自乘法平差
所獲得的點位誤差
是在x軸與y軸方向
的，故需進行下列
程序：
1. 利用坐標轉換方式，
轉換成在u軸與v軸
方向的誤差。
2. 根據誤差傳播定律
求得坐標轉換後的
誤差大小。
θ
  90  t
u i   cos
 v    sin 
 i 
Z  RX
Q ZZ  RQ xx R T
sin    xi   sin t cost   xi 

cos   y i   cost sin t   y i 
誤差橢圓方位與半徑的計算
3. 將矩陣展開
 sin 2 ( t )q xx  cos( t ) sin( t )q xy 


2
  sin( t ) cos( t )q xy  cos ( t )q yy 
Qzz  
  cos( t ) sin( t )q xx  sin 2 ( t )q xy 


2
  cos ( t )q xy  sin( t ) cos( t )q yy 
quu quv 


quv qvv 
  sin( t ) cos( t )q xx  cos2 ( t )q xy 


2
  sin ( t )q  cos( t ) sin( t )q 
xy
yy 


2
 cos ( t )q xx  sin( t ) cos( t )q xy  


2
  cos( t ) sin( t )q  sin ( t )q  
xy
yy  

(18.6)
誤差橢圓方位與半徑的計算
4.
quu  sin 2 t  q xx  2 cost sin t  q xy  cos2 t  q yy
quu  sin 2 t  q xx  cos2 t  q yy  2
quu 
quu 
quu 
q xx  q yy
2
q xx  q yy
2
q xx  q yy
2

sin 2t
q xy
2

2
2
2
q
cos
t
q
sin
t q xx cos2 t
q
sin
t
yy
yy
2
2
xx
sin t  cos t 



 sin 2t  q xy
2
2
2
2
q yy
q

cos2 t  sin 2 t  xx cos2 t  sin 2 t  q xy sin 2t
2
2
q yy  q xx

cos 2t  q xy sin 2t
2




誤差橢圓方位與半徑的計算
表18.1 (18.4)式中2t角之象限
dquu q yy  q xx

2 sin 2t   q xy 2 cos 2t  0
分子
分母
2t角之象限
dt
2
+
+
1
q yy  q xx sin 2t  2q xy cos2t
+
2
2q xy
sin 2t
3
 tan 2t 
cos 2t
q yy  q xx
+
4
先選2t之象限，再除以2而求t角。
由上式可求得quu最大的誤差橢圓方位t。
所計算的t值，構成誤差橢圓長短半徑，即相當於將協變方
矩陣旋轉至對角線外的元素不為零。
因此，點位誤差的u與v坐標值為非相關，即quv為零。
quv 
q xx  q yy
2
sin 2t  q xy cos 2t  0
2q xy
sin 2t
 tan 2t 
cos 2t
q yy  q xx
誤差橢圓方位與半徑的計算
誤差橢圓方位與半徑計算公式
2q xy
tan 2t 
q yy  q xx
quu  q xx sin 2 t  2q xy cost sin t  q yy cos2 t
qvv  q xx cos2 t  2q xy cost sin t  q yy sin 2 t
S20quu的平方根即為誤差橢圓的長半徑Su，S20qvv的平方
根則為短半徑Sv。
S u  S 0 quu
S v  S 0 qvv
誤差橢圓計算例
由13.5節的三邊測量計算例中，計算得
So=± 0.1359
未知數與其協變方矩陣為
dXW 
dY 
W 
X 
dX C 


dY
 C 
1.198574 -1.160249 -0.099772 -1.402250
Qxx= -1.160249 2.634937 0.193956 2.725964
-1
N = -0.099772 0.193956 0.583150 0.460480
4,4 -1.402250 2.725964 0.460480 3.962823
2( 1.160249 )
tan( 2t ) 
 1.6155
2.634937  1.198574
2t=tan-1(-1.6155)+360°=301°45.5´  t=150°53´
誤差橢圓計算例
點位誤差橢圓的長短半徑分別為
點 2t(rad.) t(deg.) 度 分 秒
Su
Sv
Sx
Sy
W 5.266654 150.879 150 52 43 0.246 0.101 0.149 0.221
C 0.266040 7.621
7 37 17 0.273 0.098 0.104 0.271
誤差橢圓的繪製

利用CAD軟體可協助
繪製誤差橢圓

因為t與長短半徑均已
知道，故僅需決定繪圖
比例尺，即可很容易地
繪製誤差橢圓。
誤差橢圓的信心水準


誤差橢圓可利用F統計
表18.2 選定機率水準之F α ,2, 自由度 統計
子，來進行調整其大
機率
小，及利用在α信心水
自由度
90%
95%
99%
準下分子為2個自由度， 1
49.50
119.50
4999.50
2
9.00
19.00
99.00
分母則為平差時自由
3
5.46
9.55
30.82
度的F統計子，來調整
4
4.32
6.94
18.00
5
3.78
5.79
13.27
誤差橢圓。
10
2.92
4.10
7.56
F統計子為兩個不同自
15
2.70
3.68
6.36
20
2.59
3.49
5.85
由度的變異數比，因
30
2.49
3.32
5.39
此，自由度增加將可
60
2.39
3.15
4.98
提高精度。
誤差橢圓的信心水準



誤差橢圓的信心水準
可利用乘因子c，增加
到任意的水準。
由前述可清楚地看出，
自由度增加，則誤差
橢圓大小會減小。
乘因子c可由表18.1求
得，此表並未包含所
有情況。
c  2 F , 2,deg ree of
freedom 
S u %  S u 2 F , 2,deg ree of
S v%  S v c
freedom 
 Su c
誤差橢圓的優點

誤差橢圓可提供的優點
平差點位的精度重要資訊
 各點位的相對精度比較


根據誤差橢圓的形狀、大小以及方位，可很快地了
解各個點位的誤差狀況。
測量網形設計

誤差橢圓的形狀、大小與方位受下列因素影響






使用的控制點
觀測量的精度
測量的幾何性質，即網形的幾何強度。
觀測量的精度與網形的幾何強度，因受測區的情
況與使用的設備等因素影響，變化相當大。
爲了獲得合理的結果，通常會對測區的可用控制
點，並進行初步的選點(測量的幾何性質)以及所要
使用的設備(觀測量的精度)等因素，進行模擬平差，
此過程稱之為網形設計。
再根據模擬平差的結果，來調整網形的設計。