誤差橢圓 誤差橢圓的概念 誤差橢圓計算 誤差橢圓 前言 橢圓方位與半徑的計算 標準誤差橢圓計算舉例 其他舉例 誤差橢圓的信心水準 誤差橢圓的優點 前言 最小自乘法平差後,可獲 得點位坐標的估計標準差, 此標準差提供了在坐標軸 方向的誤差估值。 根據標準差所預估的誤差 範圍,與實際的誤差範圍 並不相符。 實際的誤差範圍應該由方 向與距離來推估,而不是 在坐標軸的方向上。 點位誤差範圍應遵循雙變 數的常態分配。 y 2Sy B N 2Sx αAB A x 前言 要推估點位誤差,需要知道誤 差橢圓的橢圓的方位與兩個半 徑。 即右圖中的t與Su, Sv 圖中u與v為兩正交軸,u軸為代 表點位最弱的方向,換言之, 是代表點位誤差最大的方向。 而v軸為點位最強的方向(點位 誤差最小的方向)。 誤差橢圓的正確機率與自由度 有關,其大小可由F分配機率百 分比的表列值來調整。 簡單的閉合導線其誤差橢圓的 機率只有35%。 標準誤差橢圓 Sy y Sx v Su t Sv u x 標準誤差矩形 誤差橢圓方位與半徑的計算 由於最小自乘法平差 所獲得的點位誤差 是在x軸與y軸方向 的,故需進行下列 程序: 1. 利用坐標轉換方式, 轉換成在u軸與v軸 方向的誤差。 2. 根據誤差傳播定律 求得坐標轉換後的 誤差大小。 θ 90 t u i cos v sin i Z RX Q ZZ RQ xx R T sin xi sin t cost xi cos y i cost sin t y i 誤差橢圓方位與半徑的計算 3. 將矩陣展開 sin 2 ( t )q xx cos( t ) sin( t )q xy 2 sin( t ) cos( t )q xy cos ( t )q yy Qzz cos( t ) sin( t )q xx sin 2 ( t )q xy 2 cos ( t )q xy sin( t ) cos( t )q yy quu quv quv qvv sin( t ) cos( t )q xx cos2 ( t )q xy 2 sin ( t )q cos( t ) sin( t )q xy yy 2 cos ( t )q xx sin( t ) cos( t )q xy 2 cos( t ) sin( t )q sin ( t )q xy yy (18.6) 誤差橢圓方位與半徑的計算 4. quu sin 2 t q xx 2 cost sin t q xy cos2 t q yy quu sin 2 t q xx cos2 t q yy 2 quu quu quu q xx q yy 2 q xx q yy 2 q xx q yy 2 sin 2t q xy 2 2 2 2 q cos t q sin t q xx cos2 t q sin t yy yy 2 2 xx sin t cos t sin 2t q xy 2 2 2 2 q yy q cos2 t sin 2 t xx cos2 t sin 2 t q xy sin 2t 2 2 q yy q xx cos 2t q xy sin 2t 2 誤差橢圓方位與半徑的計算 表18.1 (18.4)式中2t角之象限 dquu q yy q xx 2 sin 2t q xy 2 cos 2t 0 分子 分母 2t角之象限 dt 2 + + 1 q yy q xx sin 2t 2q xy cos2t + 2 2q xy sin 2t 3 tan 2t cos 2t q yy q xx + 4 先選2t之象限,再除以2而求t角。 由上式可求得quu最大的誤差橢圓方位t。 所計算的t值,構成誤差橢圓長短半徑,即相當於將協變方 矩陣旋轉至對角線外的元素不為零。 因此,點位誤差的u與v坐標值為非相關,即quv為零。 quv q xx q yy 2 sin 2t q xy cos 2t 0 2q xy sin 2t tan 2t cos 2t q yy q xx 誤差橢圓方位與半徑的計算 誤差橢圓方位與半徑計算公式 2q xy tan 2t q yy q xx quu q xx sin 2 t 2q xy cost sin t q yy cos2 t qvv q xx cos2 t 2q xy cost sin t q yy sin 2 t S20quu的平方根即為誤差橢圓的長半徑Su,S20qvv的平方 根則為短半徑Sv。 S u S 0 quu S v S 0 qvv 誤差橢圓計算例 由13.5節的三邊測量計算例中,計算得 So=± 0.1359 未知數與其協變方矩陣為 dXW dY W X dX C dY C 1.198574 -1.160249 -0.099772 -1.402250 Qxx= -1.160249 2.634937 0.193956 2.725964 -1 N = -0.099772 0.193956 0.583150 0.460480 4,4 -1.402250 2.725964 0.460480 3.962823 2( 1.160249 ) tan( 2t ) 1.6155 2.634937 1.198574 2t=tan-1(-1.6155)+360°=301°45.5´ t=150°53´ 誤差橢圓計算例 點位誤差橢圓的長短半徑分別為 點 2t(rad.) t(deg.) 度 分 秒 Su Sv Sx Sy W 5.266654 150.879 150 52 43 0.246 0.101 0.149 0.221 C 0.266040 7.621 7 37 17 0.273 0.098 0.104 0.271 誤差橢圓的繪製 利用CAD軟體可協助 繪製誤差橢圓 因為t與長短半徑均已 知道,故僅需決定繪圖 比例尺,即可很容易地 繪製誤差橢圓。 誤差橢圓的信心水準 誤差橢圓可利用F統計 表18.2 選定機率水準之F α ,2, 自由度 統計 子,來進行調整其大 機率 小,及利用在α信心水 自由度 90% 95% 99% 準下分子為2個自由度, 1 49.50 119.50 4999.50 2 9.00 19.00 99.00 分母則為平差時自由 3 5.46 9.55 30.82 度的F統計子,來調整 4 4.32 6.94 18.00 5 3.78 5.79 13.27 誤差橢圓。 10 2.92 4.10 7.56 F統計子為兩個不同自 15 2.70 3.68 6.36 20 2.59 3.49 5.85 由度的變異數比,因 30 2.49 3.32 5.39 此,自由度增加將可 60 2.39 3.15 4.98 提高精度。 誤差橢圓的信心水準 誤差橢圓的信心水準 可利用乘因子c,增加 到任意的水準。 由前述可清楚地看出, 自由度增加,則誤差 橢圓大小會減小。 乘因子c可由表18.1求 得,此表並未包含所 有情況。 c 2 F , 2,deg ree of freedom S u % S u 2 F , 2,deg ree of S v% S v c freedom Su c 誤差橢圓的優點 誤差橢圓可提供的優點 平差點位的精度重要資訊 各點位的相對精度比較 根據誤差橢圓的形狀、大小以及方位,可很快地了 解各個點位的誤差狀況。 測量網形設計 誤差橢圓的形狀、大小與方位受下列因素影響 使用的控制點 觀測量的精度 測量的幾何性質,即網形的幾何強度。 觀測量的精度與網形的幾何強度,因受測區的情 況與使用的設備等因素影響,變化相當大。 爲了獲得合理的結果,通常會對測區的可用控制 點,並進行初步的選點(測量的幾何性質)以及所要 使用的設備(觀測量的精度)等因素,進行模擬平差, 此過程稱之為網形設計。 再根據模擬平差的結果,來調整網形的設計。